Sea \(X\) una variable continua con soporte establecido entre los valores \(x=a\) y \(x=b\), la función de distribución uniforme viene dada por la expresión

\[f_X(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{b-a}, & \text{si} & a\leq x \leq b \\ \\ 0 & & \text{en otro caso}. \end{array} \right.\]

Con \(E(X)=\frac{a+b}{2}\) y \(Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)

Distribución Uniforme en R

• dunif(x, min=0, max=1, log = F): Devuelve resultados de la función de densidad.

• punif(q, min=0, max=1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada.

• qunif(p, min=0, max=1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución Uniforme.

• runif(n, min=0, max=1): Devuelve un vector de valores de la distribución Uniforme aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{unif} \{ 5,10 \}\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X>7.5\)

1-punif(7.5,5,10)

## [1] 0.5

2. Calcular la probabilidad de que \(X \leq 6.2\)

punif(6.5,5,10)

## [1] 0.3

3. Graficar la distribución de \(X\)

curve(dunif(x,5,10),from = 4, to=11, lwd  = 2, pch = 16, xlab="x", ylab="dunif(x,5,10)", main="Función de densidad Unif(5,10)", col="red", ylim = c(0,0.25))

Aplicación en Shiny

Distribución Uniforme

Sea \(X\) una variable continua con soporte establecido para todos los reales, con parámetros de media y varianza \(\mu\) y \(\sigma^2\) respectivamente, la función de densidad de la distribución normal viene dada por la expresión

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2 \sigma^2}(x-\mu)^2}\] Con \(E(X)=\mu\) y \(Var(X)=\sigma^2\)

El cálculo de estas probabilidades está condicionado a la definición de variable aleatoria continua, lo que implica que

\[P(X<x)=\int_{-\infty}^{t}f(t)dt\]

Sin embargo, esta función no tiene antiderivada conocida, por lo que el cálculo de esta probabilidad está condicionada al uso de métodos numéricos. Y fue Pierre-Simón Laplace quien haciendo uso de la ley de aproximación de la binomial a la normal, logró en su época (finales de S. XVIII y comienzos del s. XIX) establecer una tabla de valores de probabilidad aproximada para la distribución normal centrada en 0 y con una desviación estándar de 1. Está especifica forma de la curva se conoce como distribución normal estándar. Solo hasta el siglo XX , Kendall logra formalizar la tabla de valores para la distribución estándar, utilizando el método de la estandarización

Distribución Normal en R

• dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = F): Devuelve resultados de la función de densidad.

• pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada.

• qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la Normal.

• rnorm(n, mean = 0, sd = 1): Devuelve un vector de valores de la Normal aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{norm} \{ 200,15 \}\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X\leq 210\)

mu=200; sd=15; pnorm(210,mu,sd)

## [1] 0.7475075

2. Calcular la probabilidad de que \(X > 230\)

1-pnorm(230,mu,sd)  #Opcion 1

## [1] 0.02275013

pnorm(230,mu,sd, lower.tail = FALSE)  #Opcion 2

## [1] 0.02275013

3. Calcular la probabilidad de que \(180< X < 205\)

pnorm(205,mu,sd)-pnorm(180,mu,sd)

## [1] 0.5393474

4. Si \(P(X \leq K)=0.25\), ¿cual es el valor de \(k\)?

qnorm(0.25,mu,sd)

## [1] 189.8827

5. Graficar la distribución de \(X\) y el área calculada en el literal c.

area=seq(180,205,0.01); xP=c(180,area,205); yP=c(0,dnorm(area,mu,sd),0); curve(dnorm(x,mu,sd), xlim=c(150,250),yaxs="i", ylim=c(0,0.03),ylab="f(x)", main='Densidad n(200,15)'); polygon(xP,yP,col="green")
box()

Aplicación en Shiny

Distribución Normal

Función Gamma

La función gamma de Euler denotada por \(\Gamma(\alpha)\) se define como

\[\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} x^{\alpha -1}e^{-x} dx, \ \alpha>0\]

Distribución Gamma

La variable aleatoria continua \(X\) tiene una distribución gamma, con parámetros \(\alpha\) y \(\beta\), si su función de densidad está dada por

\[f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha -1}e^{\frac{-x}{\beta}}, \ x>0\] Con \(E(X)=\alpha \beta\) y \(Var(X)=\alpha \beta^2\)

Distribución Gamma en R

• dgamma(x, shape, rate, scale = 1/rate, log = F): Devuelve resultados de la función de densidad.

• pgamma(q, shape, rate, scale = 1/rate, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada.

• qgamma(p, shape, rate, scale = 1/rate, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución Gamma.

• rgamma(n, shape, rate, scale = 1/rate): Devuelve un vector de valores de la distribución Gamma aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{Gamma} \{ 2,3 \}\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X\leq 7\)

alpha=2; beta=3; pgamma(7,alpha,1/beta)

## [1] 0.6767601

2. Calcular la probabilidad de que \(X > 4.5\)

1-pgamma(4.5,alpha,1/beta) #Opcion 1

## [1] 0.5578254

#Opcion 2
pgamma(4.5,alpha,1/beta, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.5578254

3. Calcular la probabilidad de que \(4 < X < 9\)

pgamma(9,alpha,1/beta)-pgamma(4,alpha,1/beta)

## [1] 0.4159117

4. Si \(P(X \leq K)=0.3\), ¿cual es el valor de \(k\)?

qgamma(0.3,alpha,1/beta)

## [1] 3.292048

5. Graficar la distribución de \(X\) y el área calculada en el literal c.

area=seq(4,9,0.01); xP <- c(4,area,9); yP <- c(0,dgamma(area,alpha,1/beta),0); curve(dgamma(x,alpha,1/beta),xlim=c(0,20),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad gamma(2,3)'); polygon(xP,yP,col="orange2")
box()

Aplicación en Shiny

Distribución Gamma

La variable aleatoria continua \(X\) tiene una , con parámetro \(\beta\), si su función de densidad está dada por

\[f(x,\beta)=\frac{1}{\beta}e^{\frac{-x}{\beta}}, \ x>0\]

donde \(\beta>0\)

Con \(E(X)=\beta\) y \(Var(X)=\beta^2\)

Notese que la distribución exponencial resulta del caso especial de la distribución gamma cuando \(\alpha=1\)

Distribución Exponencial en R

• dexp(x, rate = 1, log = F): Devuelve resultados de la función de densidad.

• pexp(q, rate = 1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada.

• qexp(p, rate = 1, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución Exponencial.

• rexp(n, rate = 1): Devuelve un vector de valores de la distribución Exponencial aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{Exp} \{ 10 \}\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X\leq 5\)

Beta=10; pexp(5,1/Beta)

## [1] 0.3934693

2. Calcular la probabilidad de que \(X > 12\)

#Opcion 1
1-pexp(12,1/Beta)

## [1] 0.3011942

#Opcion 2
pexp(12,1/Beta, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.3011942

3. Calcular la probabilidad de que \(15 < X < 25\)

pexp(25,1/Beta)-pexp(15,1/Beta)

## [1] 0.1410452

4. Si \(P(X \leq K)=0.15\), ¿cual es el valor de \(k\)?

qexp(0.15,1/Beta)

## [1] 1.625189

5. Graficar la distribución de \(X\) y el área calculada en el literal c.

area=seq(15,25,0.01); xP <- c(15,area,25); yP <- c(0,dexp(area,1/10),0); curve(dexp(x,1/10),xlim=c(0,40),yaxs="i",
      ylim=c(0,0.11),ylab="f(x)",
      main='Densidad exp(10)'); polygon(xP,yP,col="yellow")
box()