Modelos ARIMA, ARCH-GARCH del ETF XLI
Mancera Martínez Lisset Angélica
27/1/2021
ETF Industrial Select Sector SPDR [XLI]
Imagen descriptiva del ETF XLI
Principales participantes del ETF XLI
Industrial Select Sector SPDR Las empresas que están incluidas se seleccionan en base a la clasificación de industria definidos por el S&P 500[1].Dentro del ETF se incluyen los valores de empresas que se dedican a espacio aéreo y defensa; conglomerados industriales; marina; infraestructura de transporte; maquinaria; carretera y ferrocarril; transporte aéreo y logística; servicios y suministros comerciales, entre otros [2]. Cabe destacar que cuenta con más de 10.950 millones de dólares en activos totales y posee un volumen medio trimestral que asciende a 10 millones [3].
Comportamiento del precio de cierre de Industrial Select Sector SPDR: 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
En el gráfico 1 se presenta el comportamiento del ETF de Industrial Select Sector SPDR [XLI] a partir del 01 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021. La tendencia que presenta el ETF es bastante volatil, se puede observar que en el último trimestre del 2018 se dio una caída del precio ocasionado por la guerra comercial entre los socios comerciales más importantes del mundo (Estados Unidos y China), ya que el sector industrial es el más sensible ante el conflicto de guerra comercial [4].
Figura 1. Precio de cierre de Industrial Select Sector SPDR
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Para Industrial Select Sector SPDR el ETF en febrero del 2020 obtuvo el mayor precio registrado con $85.23, sin embargo, se registro una segunda caída para Marzo a $48.77 siendo este, el menor precio registrado para el Sector Industrial, ocasionado por la crisis sanitaria, cabe destacar que debido a ello, se ha visto una alta volatilidad en este año observando que, para noviembre el sector obtuvo una recuperación y por ende mejoro su precio superando inclusive el nivel máximo registrado en febrero, obteniendo un precio de $85.59 USD. En general, la tendencia que presenta el precio de cierre del ETF, tiende a ir a la alza, con excepción de los clusters de volatilidad que se encuentran el primer bimestre del 2020, durante los siguientes meses el sector industrial ha recuperado fuerza poco a poco después de las perdidas que trajo consigo el covid-19, sin embargo se espera que con la introducción de la vacuna contra el coronavirus, tenga un impacto positivo en el sector industrial.[5]
Dentro de sus rendimientos oscilan entre ±1%, sin embargo, se muestran clusters de volatilidad a mediados del 2015 obteniendo rendimientos ±3% y a mediados del 2016 también se encuentran rendimientos ±4%, uno de los más acentuados clusters de volatilidad es a finales del 2018 e inicios del 2019 oscilando entre ±5%, sin embargo, el que presenta mayor volatilidad es durante el primer trimestre del 2020 debido a la crisis sanitaria ocasionada por el covid-19, obteniendo redimientos de ±11%.
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fénomeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En la figura número 3, se muestran dos gráficos que representan el histograma a precio de cierre y a rendimientos. En donde el eje vertical representa las frecuencias y el eje horizontal los valores de las variables. Dentro del histograma a nivles de cierre del XLI, el ETF tuvo una mayor repetición entre los puntos 50 - 60 dls. Mientras que el valor que tuvo menos repeticiones se encuentra en 86 dls. En el histograma de rendimientos se observa una concentración en la media (0), y sus rendimiendos oscilan entre 2%.
Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
En la figura 4 se muestran los gráficos de Q-Q a niveles (izquierdo)y rendimientos (derecha). En el gráfico a niveles, se observa que la distribución de los precios no va con la distribución normal, dado que los puntos de dispersión no van en torno a la recta. A pesar de que hay puntos que si siguen la recta de lo normal, sin embargo, son más los puntos que se encuentran fuera de la linea.
En el gráfico de rendimientos, se nota una mayor concentración de los puntos sobre la linea recta, debido a que los rendimientos se encuentran en concentración en la media cero, pero como se puede apreciar hay rendimientos que rebasaron su media, ocasionando una mayor dispersión en sus datos. Por ello, es que no se puede asegurar una normalidad en sus datos.
Las pruebas que se ulizan para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Peeron y la prueba Kwialkowski-Phillips-Schmidt-Shin(KPSS).La tabla siguiente muestra los resultados del ETF XLI a niveles y a rendimientos.
En la siguiente tabla se aprecian los valores de las pruebas mencionadas con anterioridad:
| variable | DFA(Valor p) | Phillips-Perron(valor p) | KPSS(Valor P) |
|---|---|---|---|
| XLI(a niveles) | 0.01 | 0.04552 | 0.10 |
| XLI(rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.10 |
DFA: La serie tiene raíz unitaria
Phillips-Perron: La serie tiene raíz unitaria
KPSS: La serie es estacionaria
Siguiendo la regla de oro, que reperesenta lo siguiente:
Valor p > 0.05, no se rechaza la H0 y,
Valor p < 0.05, se rechaza H0.
Debido a que los resultados de las pruebas para el ETF XLI, indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable.
Se procedera a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
En el siguiente apartado se presentarán las propuestas del modelo ARIMA, en donde se ecogerá el modelo más óptimo; como premisa se presentará la función de autocorrelación (ACF) y la función de auocorrelación parcial (PACF), con el objetivo de obtener la información necesaria para proponer un modelo ARIMA.
Prosiguiendo con los modelos ARIMA, se procederá a representar el primer ajuste al pronostico, en donde se utilizara la función de autoarima de R, en el cual propone una combinación de ARIMA(0,1,2)para corregir los problemas de autocorrelación.
Sin embargo,la propuesta respecto al gráfico que contiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR), se sugiere la combinación ARIMA(7,1,1).
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(7,1,1)
Q* = 4.5128, df = 3, p-value = 0.2112
Model df: 8. Total lags used: 11Como se puede observar en el correlograma del mejor modelo propuesto, a pesar de cumplir con los supuestos del mejor modelo, se puede encontrar un valor autocorrelacionado. El valor de p-value de la prueba Ljung-Box sugiere que ya no genera correlación en la distribución de los residuales ya que es mayor a 0.05.
De acuerdo a la figura 7, se puede observar que el modelo es estable, ya que los puntos rojos se encuentran dentro de los circulos.
| Especificación ARIMA | AIC | RMSE | Dato pronosticado al 2021-01-19 | Dato real al 2021-01-19 | Diferencial | Ljung-Box | Normalidad | Estabilidad |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARIMA(0,1,2) | 4797.72 | 0.7902451 | 88.90549 | 89.12 | 0.21451 | 2.22e-16 | No | Si |
| ARIMA(7,1,1) | 4617.99 | 0.7724391 | 88.82050 | 89.12 | 0.29995 | 0.2112 | Si | Si |
En el anterior tabulado se representa un cuadro resumen de los valores obtenidos con las funciones aplicadas,con el proposito de seleccionar la mejor opción. Como se menciona con anterioridad, el mejor modelo es ARIMA (7,1,1) que cumple con las especificaciones para seleccionarlo debido a que, posee el menor AIC y RMS, entre los pronosticos, a su vez la prueba de Ljung-Box es mayor a 0.05,es decir, que no existen problemas de autocorrelación. Apesar de que el diferencial del mejor modelo es mayor por 0.08 a comparación del autoarima, se cuenta con normalidad y estabilidad, es por ello que se considera como el modelo más óptimo.
La volatilidad, medida por la desviación estándar o la varianza de los rendimientos, se utiliza como una medida de riesgo de los activos financieros. El modelo más simple para analizar la volatilidad es la estimación histórica.
La volatilidad histórica simplemente implica calcular la varianza (o desviación estándar) de los rendimientos de un determinado activo financiero en un período histórico, y esto se convierte en el pronóstico de volatilidad para todos los periodos futuros. [6]
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle2 sirven para modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen lineales. Asimismo, se asume que ut∼N(0,σ2), es decir, que el término de error de distribuye como una normal con media cero y varianza constante. Sin embargo, las series financieras se caracterizan por ser series no lineales.Un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH). [6]
En los modelos ARCH, la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error, dependa del valor anterior del error al cuadrado.
- No negatividad, es decir el valor de la varianza condicional siempre debe de ser positivo, ya que es el cuadrado de los errores. [7]
- Confirmar que hay efectos ARCH en las series, En esta prueba, la hipótesis nula es que hay efectos ARCH, es decir, que los q rezagos de los errores al cuadrado son significativos (o que son distintos de 0) en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional. [7]
- La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1, si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota con el tiempo, en otras palabras, el modelo es inestable. [7]
El modelo GARCH (1,1), es conocida como la varianza condicional ya que es una estimación anticipada de la varianza calculada. El uso de los modelos GARCH permite interpretar:
- La varianza ajustada
- Una función ponderada de un promedio de largo plazo
- La información de la volatilidad precio
- La varianza ajustada del modelo del periodo anterior.
En general, los modelos GARCH son más parsimoniosos y evitan el sobreajuste, por ello es que el modelo tiene menos quiebre las restricciones de no negatividad. El modelo GARCH (1,1), contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual. [7]
| MODELO | Omega | Alfa(1) | Alfa(2) | Beta(1) | Beta(2) | Akaike | Bayes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.000082 | 0.420128 | -6.2304 | -6.2249 | |||
| ARCH(2)* | |||||||
| GARCH(1,1) | 0.000005 | 0.137624 | 0.815998 | -6.4350 | -6.4267 | ||
| GARCH(1,2) | 0.000006 | 0.150996 | 0.678516 | 0.120098 | -6.4340 | -6.4229 | |
| GARCH(2,1) | 0.000005 | 0.137495 | 0.000001 | 0.816033 | -6.4336 | -6.4226 | |
| GARCH(2,2) | 0.000006 | 0.150826 | 0.000001 | 0.679667 | 0.119277 | -6.4330 | -6.4191 |
En el tabulado 3, se presentan los parámetros obtenidos de las especificaciones de ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Shrarz de los mismos. De acuerdo a los resultados se elige el GARCH (1,1) como el mejor modelo de acuerdo a los criterios de información para simular los rendimientos del ETF XLI.
Se hace el ajuste con un GARCH (1,1)
El resultado obtenido es:
Por lo tanto, la volatilidad de XLI se explica en un 13.76% por la volatilidad de un día anterior y en un 81.59% por la varianza ajustada de un periodo.
La caracterización de la varianza con el GARCH (1,1) se presenta en la figura 8:
*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=2021-01-15]:
Series Sigma
T+1 0 0.01035Como se puede observar, los rendimientos para el 19 de enero del 2021, es del 1.03%
Para Simular las series, se generan números aleatorios del tamaño de la muestra descargada y se utilizan los parametros obtenidos del GARCH(1,1) para simular los rendimientos del ETF XLI. De esta forma es como se logra caracterizar la volatilidad de los rendimientos de XLI a partir de modelos ARCH-GARCH.
De acuerdo a los pronosticos presentados con anterioridad, el mejor modelo para explica al ETF Industrial Select Sector SPDR [XLI] es el GARCH (1,1)ya que cumple con los supuestos planteados en el trabajo, en el cual se puede observar el grado de volatilidad que presenta este ETF; gracias a los graficos se observa que presenta volatilidad, sin embargo, los clusters más acentuados son debido a la guerra comercial en 2018 y a la crisis sanitaria a finales del 2019 inicios del 2020. A pesar de tener volatilidad, si invitiria en el ETF debido a que la tendencia que ha tenido el precio de cierre ha sido a la alza, cabe destacar, que solo invirtiria a corto plazo ya que es un sector muy sensible en el ambito comercial, si bien el panorama pinta bien con el ingreso de la vacuna, es incierto el futuro.
[1] https://www.trackinsight.com/es/fund/US81369Y7040
[3] https://unespeculador.com/etfs-recomendados/
[6] Jiménez, A. (2019). Modelos de Volatilidad.