Decimos que una variable aleatoria \(X\) tiene una distribución uniforme discreta sobre el conjunto finito de números \(\{x_1,\ldots,x_n\}\) si la probabilidad de que \(X\) tome cualquiera de estos valores es la misma, es decir, \(1/n\).

Escribimos entonces \(X \sim U(n)\) si \[P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1/n & \text{si} & x=x_1,x_2,\ldots,x_n. \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

Donde \(E(X)=\bar{x}=\frac{n+1}{2}\) y \(Var(X)=\frac{(n-1)S^2}{n}=\frac{n^2-1}{12}\)

Distribucion Uniforme en R

• dunifdisc<-function(x, min=0, max=1) ifelse(x>=min & x<=max & round(x)==x, 1/(max-min+1), 0): Devuelve resultados de la función de probabilidad, \(f(x)=P(X=x)\).

• punifdisc<-function(q, min=0, max=1) ifelse(q<min, 0, ifelse(q>=max, 1, (floor(q)-min+1)/(max-min+1))): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, \(F(q)=P(X \leq q)\).

• qunifdisc<-function(p, min=0, max=1) floor(p*(max-min+1)): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, \(P(X \leq q) = p\).

• runifdisc<-function(n, min=0, max=1) sample(min:max, n, replace=T): Devuelve un vector de valores de la distribución Uniforme aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim U(6)\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X=2\)

dunifdisc<-function(x, min=1, max=6) ifelse(x>=min & x<=max & round(x)==x, 1/(max-min+1), 0)
dunifdisc(2)

## [1] 0.1666667

2. Calcular la probabilidad de que \(X \leq 4\)

punifdisc<-function(q, min=1, max=6) ifelse(q<min, 0, ifelse(q>=max, 1, (floor(q)-min+1)/(max-min+1)))
punifdisc(4)

## [1] 0.6666667

3. Graficar la distibrucion de \(X\)

plot(1:6,dunifdisc(1:6),type="h", lty  = 3, lwd  = 3, pch = 16, xlab="x",ylab="P(X=x)", main="Función de Probabilidad U(6)", col=terrain.colors(15), ylim = c(0,0.2))

Aplicación en Shiny

Distribución uniforme

Experimento Bernoulli

Un experimento es un experimento de Bernoulli si cumple las siguientes caracteristicas:

• El experimento se repite \(n\) veces de forma independiente.

• Cada evento ocurre (Éxito) con probabilidad \(p\) lo que en consecuencia deja una probabilidad de \((1-p)\) de que el evento no ocurra (Fracaso)

• La probabilidad de exito \(p\), permanece constante en cada repeticion.

Distribución de Bernoulli

La probabilidad de obtener \(x\) éxitos de un experimento bernoulli repetido \(n\) veces corresponde a una distribución binomial para la variable aleatoria discreta \(X\), la cual se denota por \(X \sim \text{Ber}(p)\); y que tiene por función de probabilidad

\[P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} p^x(1-p)^{1-x} & \text{si} & x=0,1. \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

Donde \(x = 0\) cuando el experimento da como resultado un fracaso y \(x = 1\) cuando éxito. Por otro lado, \(E(X)=p\) y \(Var(X)=p(1-p)\)

La probabilidad de obtener \(x\) éxitos de un experimento bernoulli repetido \(n\) veces corresponde a una distribución binomial para la variable aleatoria discreta \(X\), la cual se denota por \(X \sim \text{Bin}(n,p)\), y que tiene por función de probabilidad

\[ P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle{n \choose x}p^x q^{n-x}, & \text{si} & x=0,1,2, \cdots,n. \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

Con \(E(X)=np\) y \(Var(X)=np(1-p)\)

Distribucion Binomial en R

• dbinom(x, n, prob, log = F): Devuelve resultados de la función de probabilidad, \(f(x)=P(X=x)\).

• pbinom(q, n, prob, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, \(F(q)=P(X \leq q)\).

• qbinom(p, n, prob, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, \(P(X \leq q) = p\).

• rbinom(#Ran, n, prob): Devuelve un vector de valores binomiales aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{Bin} (15,\frac{1}{3})\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X=6\)

n=15
p=1/3
dbinom(6,n,p)

## [1] 0.1785892

2. Calcular la probabilidad de que \(X \geq 10\)

1-pbinom(9,n,p)

## [1] 0.008504271

3. Graficar la distibrucion de \(X\)

plot(0:15,dbinom(0:15,n,p),type="h", lty  = 3, lwd  = 3, pch = 2, xlab="x",ylab="P(X=x)", main="Función de Probabilidad Bin(15,1/3)", col="blue", ylim = c(0,0.25))

4. Generar 10 numeros aleatorios de \(X\)

rbinom(10,n,p)

##  [1] 7 3 4 5 9 6 4 2 5 7

Aplicación en Shiny

Distribución binomial

Considérese un conjunto de tamaño \(N\), con \(K\) elementos característicos y del cual se extrae una muestra sin reemplazo de tamaño \(n\), la variable aleatoria \(X\) representará el número de elementos característicos presentes en la muestra tal que \(0 \leq X \leq \text{min}(k,n)\).

La probabilidad de que hayan \(x\) elementos característicos presentes en la muestra, denotado de la forma \(X \sim \text{Hyper}(n,k,N)\) es

\[P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{\displaystyle{k \choose x} \displaystyle{N-k \choose n-x}}{\displaystyle{N \choose n}}, & \text{si} & x=0,1,2, \cdots, \text{min}(K,n). \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

Con \(E(X)=\frac{n}{N}\) y \(Var(X)=\frac{nK(N-k)(N-n)}{N^2(N-1)}\)

Distribucion Hipergeometrica en R

• dhyper(x, n, N-n, k, log = F): Devuelve resultados de la función de probabilidad, \(f(x)=P(X=x)\).

• phyper(q, n, N-n, k, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, \(F(q)=P(X \leq q)\).

• qhyper(p, n, N-n, k, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, \(P(X \leq q) = p\).

• rhyper(#Ran, n, N-n, k): Devuelve un vector de valores de la Hipergeométrica aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{Hyper} ( 7,10,30)\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X=3\)

n=7
k=10
N=30
dhyper(3,n,N-n,k)

## [1] 0.285588

2. Calcular la probabilidad de que \(3 \leq X \leq 6\)

phyper(6,n,N-n,k)-phyper(2,n,N-n,k)

## [1] 0.4287651

3. Graficar la distibrucion de \(X\)

plot(0:5,dhyper(0:5,n,N-n,k),type="h", lty  = 3, lwd  = 3, pch = 2, xlab="x",ylab="P(X=x)", main="Función de Probabilidad Hyper(7,10,30)", col="blue", ylim = c(0,0.4))

Sea \(X\) una variable aleatoria que toma valores del conjunto \({0,1,2, \cdots }\) y sea \(\lambda\) un parámetro de media que representa la cantidad de veces que un evento ha sucedido en promedio dada una unidad de medida. La probabilidad de que el evento en cuestión suceda \(x\) veces en la misma unidad de medida denotada por \(X \sim \text{pois}(\lambda)\), viene dada por la expresión

\[P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, & \text{si} & x=0,1,2,\ldots. \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

Con \(E(X)=\lambda\) y \(Var(X)=\lambda\)

Distribucion Poisson en R

• dpois(x, \(\lambda\), log = F): Devuelve resultados de la función de probabilidad, \(f(x)=P(X=x)\).

• ppois(p, \(\lambda\), lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, \(F(q)=P(X \leq q)\).

• qpois(q, \(\lambda\), lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, \(P(X \leq q) = p\).

• rpois(#Ran, \(\lambda\)): Devuelve un vector de valores de Poisson aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{Pois} (9)\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X=7\)

Lambda=9
dpois(7,Lambda)

## [1] 0.1171161

2. Calcular la probabilidad de que \(X \leq 12\)

ppois(12,Lambda)

## [1] 0.8757734

3. Graficar la distibrucion de \(X\)

plot(0:20,dpois(0:20,Lambda),type="h", lty  = 3, lwd  = 3, pch = 2, xlab="x",ylab="P(X=x)", main="Función de Probabilidad Pois(9)", col="blue", ylim = c(0,0.15))

Aplicación en Shiny

Distribución Poisson

Sea \(X\) la variable aleatoria determinada por el número de ensayos Bernoulli requeridos para obtener \(k\) éxitos denotada por \(X \sim \text{nbinom}(k,p)\), la probabilidad de necesitar \(x\) intentos para lograr estos éxitos, está dada por la expresión

\[P(X=x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle{{x-1} \choose {k-1}}p^k q^{x-k}, & \text{si} & \ x=k,k+1,k+2, \cdots. \\ \\ 0 & & \text{otro caso}. \end{array} \right.\]

en donde \(x \geq r\), \(r \geq 1\), con probabilidad de éxito \(p(0 \leq p \leq 1)\) en un experimento bernoulli y \(x,r \in Z^+\).

Con \(E(X)=\frac{k(1-p)}{p}\) y \(Var(X)=\frac{k(1-p)}{p^2}\)

Distribucion Binomial Negativa en R

• dnbinom(x, size, prob, mu, log = F): Devuelve resultados de la función de probabilidad, \(f(x)=P(X=x)\).

• pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, \(F(q)=P(X \leq q)\).

• qnbinom(p, size, prob, mu, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, \(P(X \leq q) = p\).

• rnbinom(n, size, prob, mu): Devuelve un vector de valores de la Binomial Negativa aleatorios.

Ejemplo: Sea \(X \sim \text{NBinom} \{6,\frac{1}{5}\}\)

1. Calcular la probabilidad de que \(X=8\)

k=6
p=1/5
dnbinom(8-k,k,p)

## [1] 0.00086016

2. Calcular la probabilidad de que \(X \leq 10\)

pnbinom(10-k,k,p)

## [1] 0.006369382

3. Graficar la distibrucion de \(X\)

plot(6:50,dnbinom(6:50,k,p),type="h", lty  = 3, lwd  = 3, pch = 2, xlab="x",ylab="P(X=x)", main="Función de Probabilidad NBinom(6,1/5)", col="blue", ylim = c(0,0.05))

Aplicación en Shiny

Distribución Binomial Negativa