Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) es una cuenta negociada en bolsa (ETN) que rastrea un índice de contratos de futuros en el índice de Futuros a Corto Plazo Standard & Poor’s 500 (S & P 500) VIX, con un 200% de apalancamiento en los movimientos de volatilidad. TVIX fue emitido por Credit Suisse Securities (NYSE: CS ) el 29 de noviembre de 2010. TVIX es un producto estructurado que apuesta al aumento de la volatilidad, el cual tiene un apalancamiento x2 al VIX, indicador del miedo que sube de valor frente a caídas de los Índices Americanos. Es atractivo porque tiene el potencial de brindarle ganancias masivas en un período de tiempo muy corto. TVIX, es un ETN que duplica el comportamiento del VIX el cual sube de precio cuando los mercados enfrentan situaciones de incertidumbre y alta volatilidad en escenarios correctivos, pues en mi opinión TVIX es el activo mejor configurado estructuralmente para beneficiarse de un mercado bajista o bear market.

Comportamiento del precio de cierre de TVIX: 02 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021

En la figura 1 se presenta el comportamiento de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) a partir del 02 de enero de 2018 al 15 de enero de 2021. En los últimos años, el VIX (conocido también como el índice del miedo) había estado en niveles históricamente bajos. A principios del año, en enero de 2018 el ETN presentaba una tendencia a la alta, llegando a registrar un máximo de 1350 dólares el 8 de febrero de 2018, esto provocado porque su tenedor Credit Suisse trató de finalizar la negociación de su ETN de volatilidad inversa, el VelocityShares Daily Inverse VIX Short-Term (NASDAQ:XIV), teniendo después de un colapso del 84% que detuvo la negociación de los certificados. Sin embargo, posteriormente se ha presentado una tendencia a la baja de mediados de febrero de 2018 hasta noviembre de 2020, llegando a registrar un minimo de 38.56 dólares el 12 de febrero de 2020. Durante los últimos meses del 2020 siguio presentando una baja hasta principios del 2021 llegando a sus puntos más bajos hasta ahorita. Por lo que debido al gran colapso que ha presentado se opto por tomar esta muestra para que los valores pronósticados sean los mejores.

Figura 1. Precio de cierre de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

En la figura 2 se pueden observar los rendimientos de TVIX, podemos visualizar clusters de volatilidad el 5 de febrero la volatilidad más alta y el 6 de febrero de 2018 la volatilidad más baja del 2018, posteriormente en el 2020 el 16 de marzo presentó un cluters el más alto de lo que estamos analizando (2018-2020) y el 23 de marzo el segundo más bajo posteriormente no presentó cluters tan altos pero si algunos significativos. Esto debido a los momentos de alta sorpresa y volatilidad en los mercados que se estan atravesando debido a la pandemia Covid 19 que esta atravesando todo el mundo. En un mercado que no se mueve mucho, sus compradores querrán pagar poco por esa variación estimada. En cambio, si el mercado está en un momento de estrés, el impacto en el precio de la opción será mayor. Dicho de una manera simple, la volatilidad no es más que la magnitud y la velocidad con que el precio de un activo cambia.

Figura 2. Rendimientos de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

Histogramas y gráficos Q-Q de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

El histograma a niveles de TVIX donde en el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables, observando el histograma podemos analizar que presenta problemas de concentración debido a que el precio entre 150 y 250 dólares se repite más de 25 veces en el mercado accionario, ya que al observar los demás valores no hay una gran diferencia pero no se repiten tantas veces como estos. Se puede concluir que los datos presentan un sesgo a la derecha, ahi presetan datos atipicos a la derecha por lo que presenta problemas de curtosis o normalidad en los datos.

Figura 3. Histograma a niveles de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

En la gráfica Quantil-Quantil a niveles de TVIX se puede apreciar como la distribución empírica presenta problemas en la media y de varianza debido a los puntos que se pueden visualizar a a que no parace a la distribución teórica que es la linea de 45ª, provocado por que en esos días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos. Sin embargo, también podemos ver como n los datos, en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto debido a la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series).

Figura 4. Gráfica Q-Q a niveles de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

A diferencia del histograma anterior de los niveles, en esta podemos observar los rendimientos de TVIX podemos observar como este histogrma tambien presenta problemas de concentración en la media, en comparación con la primera no se sesga completamnete hacia un lado como la anterior, pero si se puede ver como presenta un pequeño sesgo a la derecha por lo que también tiene problemas de curtosis o normalidad en los datos. En lo que refiere a los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos de TVIX oscila entre 0.13% y 0.35%, tal cual como se observó en la figura 5.

Figura 5. Histograma en rendimientos de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance

En la gráfica Quantil-Quantil en rendimientos de TVIX se puede apreciar como la distribución empírica presenta problemas en la media y de varianza debido a los puntos que se pueden visualizar a a que no parace a la distribución teórica que es la linea de 45ª, provocado por que en esos días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos donde la distribución se despega de la normalidad. Sin embargo, también podemos ver como n los datos, en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto debido a la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series).

Figura 6. Gráfica Q-Q en rendimientos de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Estacionariedad y pruebas de raices unitarias de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.

Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:

Ecuación 1

                                 E(Yt|ϕt)=0

Donde Yt es el valor esperado de la variable condicionado a ϕt , que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir:

Ecuación 2

                                f(Yt|Yt−1)=f(Yt)

Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.

Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.

Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).

Raíces unitarias a niveles y en rendimientos de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 1 muestra los resultados de TVIX a niveles y en rendimientos.

Tabla 1. Pruebas de raíces unitarias a niveles y en rendimientos de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) 

            |         VARIABLE        |    DFA     |     PP    |     KPSS   |   
            |:-----------------------:|:----------:|:---------:|:--------:|
            |     TVIX (a niveles)    |    0.045   |   0.0169  |    0.01  | 
            |:-----------------------:|:----------:|:---------:|:--------:|
            | TVIX (en rendimientos)  |    0.01    |    0.01   |    0.1   |

De acuerdo a los resultados anteriores de las pruebas de raíces unitarias a niveles de TVIX, podemos concluir: - En la prueba Dickey Fuller Aumentada el valor de p es de 0.045 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, la serie no tiene raiz unitaria. - En la prueba de Phillips Perron el valor de p es de 0.0169 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, la serie no tiene raiz unitaria. - En la prueba KPSS el valor de p value es de 0.01 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, la serie no es estacionaria.

Mientras que en los resultados anteriores de las pruebas de raíces unitarias en rendimientos de TVIX, podemos concluir: - En la prueba Dickey Fuller Aumentada el valor de p es de 0.01 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, la serie no tiene raiz unitaria. - En la prueba de Phillips Perron el valor de p es de 0.01 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, la serie no tiene raiz unitaria. - En la prueba KPSS el valor de p value es de 0.1 por lo que no rechazo la Hipótesis Nula, es decir, la serie es estacionaria.

Recordemos:

DFA/H0: La serie tiene raíz unitaria DFA/H1: La serie no tiene raíz unitaria

PP/H0: La serie tiene raíz unitaria PP/H1: La serie no tiene raíz unitaria

KPSS/H0: La serie es estacionaria KPSS/H1: La serie no es estacionaria

Fuente. Elaboración propia con salida de R.

Fuente.

NUNCA OLVIDAR:

Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.

Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.

¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?

Se debe a lo siguiente:

                            Yt=α+βYt−1+et

Suponga β=1.

                            Yt=α+Yt−1+et

Donde Yt depende del valor pasado Yt−1, si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).

A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”.

Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.

                            Yt−Yt−1=α+βYt−1−Yt−1+et

                            ΔYt=α+Yt−1(β−1)+et

Recordemos que β=1 .

                            ΔYt=α+Yt−1(1−1)+et

                            ΔYt=α+Yt−1(0)+et

∴

                            ΔYt=α+et

La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.

A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.

Modelos ARIMA

Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.

Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.

Modelos ARIMA de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) 

Series: TVIX 
ARIMA(2,1,2) 

Coefficients:
          ar1      ar2     ma1     ma2
      -0.5415  -0.5908  0.3098  0.3755
s.e.   0.1282   0.0747  0.1421  0.0978

sigma^2 estimated as 2094:  log likelihood=-3982.21
AIC=7974.41   AICc=7974.49   BIC=7997.58


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)
Q* = 10.414, df = 6, p-value = 0.1083

Model df: 4.   Total lags used: 10

    Point Forecast      Lo 80     Hi 80      Lo 95    Hi 95
762       24.78291  -33.85513  83.42095  -64.89623 114.4620
763       24.38605  -49.56088  98.33298  -88.70602 137.4781
764       24.72919  -59.23942 108.69781 -103.68972 153.1481
765       24.77785  -73.29026 122.84596 -125.20438 174.7601
766       24.54878  -84.58546 133.68301 -142.35763 191.4552
767       24.64407  -92.64140 141.92954 -154.72858 204.0167
768       24.72781 -101.72416 151.17978 -168.66379 218.1194
769       24.62617 -110.57440 159.82673 -182.14525 231.3976
770       24.63173 -117.85710 167.12056 -193.28613 242.5496
771       24.68877 -125.10081 174.47834 -204.39462 253.7721
772       24.65460 -132.40411 181.71331 -215.54597 264.8552
773       24.63940 -139.00457 188.28337 -225.63245 274.9113

Call:
arima(x = TVIX, order = c(3, 1, 1))

Coefficients:
          ar1      ar2     ar3      ma1
      -0.1406  -0.1272  0.1770  -0.0787
s.e.   0.1613   0.0526  0.0449   0.1620

sigma^2 estimated as 2087:  log likelihood = -3982.95,  aic = 7975.9


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(3,1,1)
Q* = 11.155, df = 6, p-value = 0.08369

Model df: 4.   Total lags used: 10

    Point Forecast      Lo 80     Hi 80      Lo 95    Hi 95
762       24.71700  -33.82387  83.25788  -64.81353 114.2475
763       24.44122  -49.82619  98.70862  -89.14099 138.0234
764       24.68417  -59.69805 109.06640 -104.36730 153.7356
765       24.63500  -74.93077 124.20077 -127.63771 176.9077
766       24.56218  -86.62733 135.75170 -145.48751 194.6119
767       24.62169  -96.22634 145.46972 -160.19943 209.4428
768       24.61388 -106.29751 155.52527 -175.59781 224.8256
769       24.59452 -115.39597 164.58501 -189.50246 238.6915
770       24.60877 -123.68836 172.90589 -202.19212 251.4097
771       24.60784 -131.78077 180.99645 -214.56790 263.7836
772       24.60273 -139.43405 188.63952 -226.26988 275.4753
773       24.60609 -146.68393 195.89612 -237.35939 286.5716

Call:
arima(x = TVIX, order = c(3, 1, 2))

Coefficients:
          ar1      ar2     ar3     ma1     ma2
      -0.2743  -0.4236  0.0982  0.0523  0.2843
s.e.   0.1988   0.1557  0.0689  0.1981  0.1386

sigma^2 estimated as 2078:  log likelihood = -3981.44,  aic = 7974.89


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(3,1,2)
Q* = 8.489, df = 5, p-value = 0.1313

Model df: 5.   Total lags used: 10

    Point Forecast      Lo 80     Hi 80      Lo 95    Hi 95
762       24.76216  -33.66221  83.18654  -64.59021 114.1145
763       24.32131  -49.69995  98.34257  -88.88444 137.5271
764       24.63630  -59.91976 109.19236 -104.68103 153.9536
765       24.71327  -75.27318 124.69973 -128.20281 177.6294
766       24.51543  -87.54598 136.57684 -146.86770 195.8986
767       24.56804  -96.42286 145.55893 -160.47157 209.6076
768       24.64497 -106.03538 155.32532 -175.21337 224.5033
769       24.58215 -115.40451 164.56881 -189.50898 238.6733
770       24.57196 -123.37779 172.52172 -201.69766 250.8416
771       24.60892 -131.10120 180.31905 -213.52916 262.7470
772       24.59693 -138.76717 187.96103 -225.24690 274.4408
773       24.58356 -145.87713 195.04425 -236.11357 285.2807

Tabla 2.Modelos ARIMA de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) a niveles y rendimientos

ARIMA JUNG BOX AIC DATO REAL DATO PRONOSTICADO DIFERENCIAL
(2, 1, 2) 0.1083 7974.49 $26 $24.78 $1.22
:———-: :———–: :———: :———–: :—————–: ————-:
(3, 1, 1) 0.08 7975.9 $26 $24.44 $1.56
:———-: :———–: :———: :———–: :—————–: ————-:
(3, 1, 2) 0.13 7974.89 $26 $24.76 $1.24

En base a los resultados anteriores podemos concluir que el Autorima (2, 1, 2) en la prueba de Jung Box el valor de p es de 0.1083 siendo mayor a 0.05, es decir, que los residuales se distribuyen normalmente por lo que es un buen modelo. En el criterio de información Akaike tiene un valor de 7974.49, por lo que podemos concluir que es el mejor entre los tres modelos analizados, también se puede concluir esto debido a que es el modelo que presenta un menor diferencial entre el dato real ($26) y el pronosticado ($24.78) siendo este de 1.22. En los modelos Arima pronosticados también son buenos modelos, ya que ambos su valor de p es mayor a 0.05, es decir, que ambos modelos sus residuales se distribuyen noormalmente. En su criterio de Akaike tiene un valor muy similar al ARIMA teniendo poca diferencia con este modelo, al igual que en el diferencial con el dato real y dato pronósticado no es muy alto. Por lo que se puede concluir que el mejor modelo es el ARIMA (2, 1, 3), por todos los resultados analizados.

Mejor modelo ARIMA para Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Figura 7. Correlogramas ACF y PACF de ARIMA (2, 1, 2) 


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)
Q* = 10.414, df = 6, p-value = 0.1083

Model df: 4.   Total lags used: 10

Figura 8. Raices invertidas sobre AR y MA 

Series: TVIX 
ARIMA(2,1,2) 

Coefficients:
          ar1      ar2     ma1     ma2
      -0.5415  -0.5908  0.3098  0.3755
s.e.   0.1282   0.0747  0.1421  0.0978

sigma^2 estimated as 2094:  log likelihood=-3982.21
AIC=7974.41   AICc=7974.49   BIC=7997.58

Training set error measures:
                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
Training set -0.8166879 45.60494 21.32639 -1.032502 6.578264 0.9944454
                    ACF1
Training set 0.009869913

Aunque es un buen modelo debido que sus residuales se distribuyen normalmenete, su citerio de Akaike es el mejor y no tiene un gran diferencial, el correlograma presenta omponentes de autocorrelación tanto en el proceso Autorregresivo-Función de Autocorrelación Parcial (PACF) y en el proceso de media móvil-Función de Autocorrelación (ACF). En el histograma se puede ver cmo ahora los datos se van a concentrar de manera leptocurtica. Las Raices invertidas sobre AR y MA, las raíces asociadas a los rezagos del componente autoregresivo son estables ya que se presentan dentro del circulo unidad, por lo que se puede concluir que este es un modelo estable.

Respecto al dato pronosticado para el 19 de enero ya que el 18 de enero no cotizo por lo que no tuvo operaciones de acuerdo al mejor modelo ARIMA es de $24.78 siendo el dato real de $26, por lo que tiene un diferencial de $1.22, siendo un buen modelo para pronostica debido a que no presenta una gran diferencia.

Modelos de Volatilidad

Modelos ARCH

Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle2 sirven para modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen lineales, por ejemplo, considera un modelo ARMA (1,0):

                                    yt=β0+β1yt−1+ut

Donde yt representa el precio de cierre de TVIX; la acción en este ejemplo se explica por un autorregresivo de orden 1, o bien, se puede interpretar que yt es explicada por el precio del periodo anterior (suponiendo que estamos modelando cotizaciones con frecuencia diaria, la interpretación sería que el comportamiento del precio de cierre se ve explicado por el precio del día anterior y ese peso nos lo indicaría el parámetro β).

Asimismo, se asume que ut∼N(0,σ2), es decir, que el término de error de distribuye como una normal con media cero y varianza constante. Sin embargo, las series financieras se caracterizan por ser series no lineales.

Entonces ¿cómo podemos modelar una serie de tiempo no lineal? Un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH).

La varianza condicional de ut se puede expresar como σ2t:

          σ2t=var(ut|ut−1,ut−2,...,ut−q)=E[(ut−E(ut))2|ut−1,ut−2,...,ut−q]

Sin embargo, se asume que E(ut)=0, por lo tanto:

          σ2t=var(ut|ut−1,ut−2,...,ut−q)=E[u2t|ut−1,ut−2,...,ut−q]

La ecuación anterior indica que la varianza condicional de una variable aleatoria (que se distribuye normalmente y que tiene media cero) es igual a la varianza condicional del residuo al cuadrado. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error, σ2t, dependa del valor anterior del error al cuadrado:

                                  σ2t=ω+α1u2t−1

El modelo anterior se conoce como ARCH(1) ya que la varianza condicional depende solo de un rezago del error al cuadrado. El modelo propuesto en la ecuación anterior se puede extender al caso general, donde la varianza del error depende de q rezagos de los errores al cuadrado. Esto se conoce como el modelo ARCH(q).

                        σ2t=ω+α1u2t−1+α2u2t−2+...+αqu2t−q

En la literatura, por lo general se utiliza la letra griega Eta (η) para denotar la varianza condicional σ2t=ηt Considerando la ecuación del modelo ARMA(1,0) y la ecuación del ARCH(1), se tiene:

                            yt=β1+β1yt−1+utut∼N(0,η)

                                ηt=ω+α1u2t−1

Confirmar que hay efectos ARCH en las series: En esta prueba, la hipótesis nula es que hay efectos ARCH, es decir, que los q rezagos de los errores al cuadrado son significativos (o que son distintos de 0) en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional.

La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1: si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota con el tiempo, en otras palabras, el modelo es inestable.

  1. No hay una forma precisa de calcular el número de rezagos óptimos (q) para el modelo ARCH.
  2. El valor de (q), es decir, el número de rezagos del error al cuadrado que es requerido para capturar toda la dependencia en la varianza condicional, puede llegar a ser muy largo, esto resultaría en un modelo de varianza condicional que no es parsimonioso.
  3. Lo anterior (tener muchos rezagos q) puede llegar a ocasionar que uno de los coeficientes se vuelva negativo, lo cual no tendría sentido en la interpretación.

Modelos GARCH

Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que σ2t se vuelve recursivo.

El modelo GARCH se desarrolló, en trabajos independientes, por Tim Bollerslev[3] (1986) y Stephen Taylor[4] (1986). El modelo GARCH permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos. La ecuación de la varianza condicional es:

                           σ2t=ω+α1u2t−1+β1σ2p−1(1)

Este es el modelo GARCH (1,1), σ2t es conocida como la varianza condicional ya que es una estimación anticipada de la varianza calculada. El uso de los modelos GARCH permite interpretar:

la varianza ajustada (recordar que:ηt=σ2t)ω como una función ponderada de un promedio de largo plazo la información de la volatilidad previa representada por α1u2t−1 y la varianza ajustada del modelo del periodo anterior β1σ2p−1. De hecho, el modelo GARCH se puede expresar de tal manera que representa un modelo ARMA para modelar la varianza condicional. Para demostrar esto, considera que los residuales al cuadrado u2t−1 en relación a su varianza condicional σ2t está dado por:

                                  εt=u2t−σ2t

Despejamos la varianza condicional σ2t

                                σ2t=u2t−εt(2)

Sustituimos ecuación (2) en (1)

                          u2t−εt=ω+α1u2t−1+β(u2t−1−εt−1)

Ordenamos:

                          u2t=ω+α1u2t−1+βu2t−1−βεt−1+εt

Sacamos factor común u2t−1

                          u2t=ω+(α1+β)u2t−1−βεt−1+εt(3)

La ecuación (3) representa un proceso ARMA (1,1) sobre los errores al cuadrado.

Así, el modelo GARCH (1,1), contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual.

El modelo GARCH (1,1) se puede extender a un modelo GARCH (p,q) donde la varianza condicional actual se parametriza para depender de q rezagos del error al cuadrado y los p rezagos de la varianza condicional:

            σ2t=ω+α1u2t−1+α2u2t−2+...+αqu2t−q+β1σ2t−1+β2σ2t−2+...+βpσ2t−p

De manera general, un GARCH(q,p) se denota como:

                          σ2t=ω+∑i=1qα1u2i−1+∑i=1pβ1σ2j−1

Aunque, usualmente un modelo GARCH (1,1) será suficiente para capturar los clústeres o concentraciones de volatilidad en los datos.

Prueba ARCH de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX) 


    ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

data:  TVIX_R
Chi-squared = 112.78, df = 12, p-value < 2.2e-16

En la prueba ARCH el valor de p es de 2.2e-16 por lo que se rechaza la Hipótesis Nula, es decir, los residuos no son homocedásticosno. Los residuales al cuadrado no son homocedasticos, por lo que también podemos rechazar que tenga varianza constante.

Modelos de Volatilidad de Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIX)

Referencias

[1] https://es-us.finanzas.yahoo.com/quote/TVIX/history?p=TVIX

[2] https://es.talkingofmoney.com/overview-of-velocityshares-tvix

[3] https://gestion.pe/blog/bullabear-by-ruartes-reports/2020/05/tvix-ave-fenix-vuelve-la-incertidumbre-y-volatilidad-a-los-mercados.html/?ref=gesr

[4] https://es.talkingofmoney.com/velocityshares-daily-2x-vix-short-term-etn-who-is-invested

[5] https://www.expansion.com/mercados/2018/02/06/5a79bf5f46163f71198b45cf.html