MODELOS ARIMA, ARCH Y GARCH
VelocityShares Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIXF)
VelocityShares Daily 2x VIX Short-Term ETN (TVIXF) es un certificado negociado en Bolsa que, rastrea un índice de contratos de futuros en el Índice VIX Short-Term de Standard & Poor’s (S&P 500), con un apalacamiento del 200% en la volatilidad, lo que lo hace popular entre aquellos que quieran apostar en el mercado a corto plazo. El TVIXF fue emitido por Credit Suisse Secutities (CS) el 29 de Noviembre de 2010.
Por otra parte, dicho certificado ha tenido varias divisiones de acciones inversas de 10 a 1 desde su inicio, la última de las cuales tuvo lugar el 2 de diciembre de 2019. Por lo tanto, es mejor reservar este ETN para fines comerciales a muy corto plazo[1].
Comportamiento del precio de cierre de TVIXF: julio de 2019 a enero de 2021
En la Figura 1 se presenta el comportamiento del precio de cierre del ETN VelocityShares Daily 2x VIX Short-Term del 01 de julio de 2019 al 15 de enero de 2021, esto conlleva a utilizar un tamaño de muestra relativamente pequeño, la justificación se puede consultar en el análisis: Descomposición de Variables [1]. De esta forma, se puede notar que en dicho intervalo de tiempo, el precio de cierre de TVIXF ha tenido una tendencia relativamente a la baja con valores cercanos a los 100 USD, aunque, de repente, llegó a presentar una inesperada volatilidad, como es el caso del 18 de marzo de 2020, que alcanzó su máximo histórico con un precio de 806.36 USD por el hecho de que, el S&P 500 terminó la sesión del miércoles con fuertes bajas del 5.18%, hasta los 2,398 puntos [2] y, esto, automáticamente provocó que el Índice VIX Short-Term de Standard & Poor’s (S&P 500) tuviera un alza de 119.39 puntos [3], por ende el ETN en cuestión mostró dicho comportamiento.
Figura 1. Precio de cierre de TVIXF: julio 2019 - enero 2021
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
En la Figura 2 se presentan los rendimientos de TVIXF, considerando el mismo intervalo de tiempo antes mencionado, mismo que oscilaron entre el 10% y -10%, sin dejar de lado los clústeres de volatilidad en la serie que, fluctuaron entre el -30% y el 70% aproximadamente. El 16 de marzo de 2020 se presentó un cluster de volatilidad debido al COVID 19. Mismo que, empezó a generar ecos de incertidumbre económica. Consecuentemente, en el mercado de capitales hubo fluctuaciones considerables, tal es el caso del Índice VIX Short-Term de Standard & Poor’s (S&P 500) que, en dicha fecha, alcanzó grandes subidas del 18.76% [4], generandose dicho cluster de volatilidad en el TVIXF, debido a que, el ETN replica el comportamiento del índice antes mencionado.
Figura 2. Rendimientos de TVIXF: julio 2019 - Enero 2021
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Histogramas y gráficos Q-Q
A continuación se presentan los histogramas que representan la frecuencia del comportamiento de una variable mendiante la distribución de sus datos, en este proceso se busca que, el comportamiento del TVIXF tenga una distribución normal.
De esta forma en la Figura 3, se presenta el histograma a niveles del TVIXF, el eje vertical representa las frecuencias y, el eje horizontal los valores de la variable (precios de cierre), lo que indica, dentro del periodo del análisis que, la mayor parte de la distribución se centra entre los 24 y los 100 USD (217 veces), lo cual denota que la serie no tiene una distribución normal.
Figura 3. Histograma del precio de cierre de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Por otra parte, los rendimientos del TVIXF, en promedio, no cumplen estrictamente con el proceso de reversión a media (0) tal como se puede ver en la Figura 4. En esta gráfica se observa que, la mayor parte de la distribución de los rendimientos oscila entre el -21% y el 13%. Asimismo, con el tratamiento de los datos originales, se obtuvo una distribución parecida a la normal, aunque, con problemas leptocúrticas que, es una característica inherente a las series financieras.
Figura 4. Histograma de los rendimientos de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Respecto a los gráficos Cuantil-Cuantil (o q-q plots), muestran la representación gráfica de la distribución de la totalidad de una muestra contra alguna distribución ideal. El objetivo de estos gráficos es equiparar la distribución teórica con la distribución empírica.
Para ello, a continuación se muestra este tipo de gráfico, a fin de, comparar el comportamiento de la distribución de los precios de TVIXF contra una distribución normal, en la que se busca que la cantidad de observaciones que la componen se ubiquen en la linea recta de la Figura 5, mostrando si estos tienen una distribución normal. Se observa que, este supuesto no se cumple en totalidad, ya que, los extremos de la linea que representa la distribución de los precios del ETN se despegan de la linea de normalidad.
Figura 5. Gráfico Q-Q plot del precio de cierre de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Para el caso de los rendimientos del TVIXF, se observa que, en gran parte, su comportamiento se apega a la línea de la distribución normal, pero con el extremo superior totalmente despegado.
Figura 6. Gráfico Q-Q plot de los rendimientos de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Pruebas de raíces unitarias
Con estas pruebas, se pretende, detectar si la serie en cuestión es estacionaria o no, para conocer si tiene alguna estructura de dependencia con los datos pasados, a fin, de evitar problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
En el análisis, se utilizan las pruebas Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron (PP) y, la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schimidt - Shin (KPPSS).
En donde:
- DFA - H0: La serie tiene raíz unitaria.
- PP - H0: La serie tiene raíz unitaria.
- KPSS - H0: La serie es estacionaria.
Tabla 1. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | a. \(DFA\) (Valor p) | b. \(Phillips - Perron\) (Valor p) | c. \(KPSS\) (Valor p) |
|---|---|---|---|
| TVIXF (niveles) | 0.1643 | 0.1114 | 0.01 |
| TVIXF (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Considerando que:
- Si valor p mayor a 0.05 - No rechazo (acepto) H0.
- Si valor p menor a 0.05 - Rechazo H0.
Con los resultados obtenidos, se puede decir que, para los precios de cierre del TVIXF a niveles, los valores p, de las pruebas DFA y PP al ser mayores no se rechazan las H0, es decir, la serie tiene raíz unitaria. En cuanto al valor p, de la prueba KPSS al ser menor, se rechaza la H0, es decir, que la serie sea estacionaria.
Por otra parte, para la serie de TVIXF en rendimientos, se observa que los valores p, de las pruebas DFA y PP, al disminuir se rechazan las H0, es decir, la serie no tiene raís unitaria. Asimismo, el valor p, de la prueba KPSS, aumenta, esto conlleva que no se rechaza la H0. Por tanto, se concluye que, la serie es estacionaria.
Modelos ARIMA
A continuación se procede a calcular dos modelos ARIMA, para hacer los pronósticos utilizando la metodología BOX & Jenkins.
De inicio, se obtienen la Función de Autocorrelación (MA) y la Función de Autocorrelación parcial (AR); de la Figura 7, se observa que a la serie se le tiene que aplicar una primera diferencia para que, pueda ser estacionaria a la media. Para ello, se retoma lo establecido en las pruebas unitarias, donde se observa que al aplicar rendimientos a las series, los resultados obtenidos inidican que la serie es estacionaria.
Figura 7. Componentes de autocorrelación ACF y PACF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Asimismo, al revisar el correlograma, se identifican componentes de autocorrelación, tanto en el proceso Autorregresivo (PACF) como en el proceso de media móvil (ACF).
Modelo AUTOARIMA (0,1,3)
En el primer modelo ARIMA para el pronóstico de TVIXF, se utilizó la función auto.arima de R, que, propone una combinación de ARIMA (0,1,3) para corregir los problemas de autocorrelación; más adelante se procederá a comparar con otra propuesta de modelo ARIMA.
Tabla 2. Resultados del AUTOARIMA (0,1,3), para TVIXF
Series: TVIXF
ARIMA(0,1,3)
Coefficients:
ma1 ma2 ma3
-0.0911 0.4645 -0.1937
s.e. 0.0505 0.0435 0.0535
sigma^2 estimated as 583.9: log likelihood=-1794.26
AIC=3596.53 AICc=3596.63 BIC=3612.39Figura 8. Resultados del AUTOARIMA (0,1,3), para TVIXF
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(0,1,3)
Q* = 18.325, df = 7, p-value = 0.01059
Model df: 3. Total lags used: 10Fuente: Elaboración propia con salida de R.
El resultado muestra que con el modelo planteado, continúan con los problemas de autocorrelación y que, al aplicar la prueba de Ljung-Box, en donde la H0: los datos se distribuyen de forma independiente, se esblece que para este modelo, se rechaza H0, es decir, los residuales del ARIMA (0,1,3) están correlacionados. Por lo tanto, al generar el pronóstico, se cae en el riesgo de obtener resultados sesgados.
En la Figura 9, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces unitarias, en este caso solo para para el proceso MA, de acuerdo a las especificaciones del modelo AUTOARIMA (0,1,3) en estudio.
Figura 9. Prueba de raíces unitarias (0,1,3), para TVIXF - circulo unitario
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
En la Figura 9, se observa que, el modelo es estable, pero, los problemas de autocorrelación no han sido corregidos en su totalidad. Por ello se propone el siguiente modelo.
Propuesta de modelo ARIMA (6,1,3) para TVIXF
Con este modelo, se observa que, mejoran significativamente los resultados propuestos, mismos que, corrigen los problemas de autocorrelación en los residuales de acuerdo con la prueba de Ljun-Box.
Tabla 3. Resultados del ARIMA (6,1,3), para TVIXF
Call:
arima(x = TVIXF, order = c(6, 1, 3))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ma1 ma2
-1.4966 -0.7917 0.2346 0.0828 -0.3886 -0.3258 1.4592 1.1793
s.e. 0.1205 0.1773 0.1331 0.1031 0.0938 0.0577 0.1241 0.1619
ma3
0.1888
s.e. 0.1298
sigma^2 estimated as 526.7: log likelihood = -1776.25, aic = 3572.51Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Se encuentra que el criterio AKAIKE se reduce al compararlo con el modelo anterior, mostrando que, con esta específicación el modelo es estable en el tiempo.
Figura 10. Resultados del ARIMA (6,1,3), para TVIXF
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(6,1,3)
Q* = 4.2606, df = 3, p-value = 0.2347
Model df: 9. Total lags used: 12Fuente: Elaboración propia con salida en R.
En la Figura 10 se observa que, finalmente, se han corregido los problemas de autocorrelación. Por lo que, aplicando la prueba Ljung-Box, antes mencionada, con este modelo, se procede a no rechazar la H0. Con esto, se puede considerar que es posible tener un buen pronóstico, tal y como se verá más adelante.
Figura 11. Prueba de raíces unitarias (6,1,3), para TVIXF - circulo unitario
Fuente: Elaboración propia con salida en R.
El objetivo de la Figura 11, es mostrar la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces unitarias de forma que, los procesos AR como los de MA, están dentro del área de la circunferencia o, dicho de otro modo, que no tienen valores cercanos o iguales a 1. Por lo tanto, se observa que el modelo tiene estabilidad.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de TVIXF con AUTOARIMA (0,1,3)
Fuente: Elaboración propia con salida en R.
En el pronóstico obtenido a 20 días con el AUTOARIMA, se puede notar un comportamiento de lateralidad.
Figura 13. Pronóstico a 20 días de TVIXF con ARIMA (6,1,3)
Fuente: Elaboración propia con salida en R.
Asimmismo, con el modelo propuesto. Pero, que tendrá mayor sentido cuando se presenten los datos pronósticados. Del cual, a continuación se hace una comparación de los modelos, considerando las características esenciales y así, escorger el mejor modelo.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS DE LOS DOS MODELOS
Tabla 4. Resultados
| ARIMA | Ljung-Box test | AIC | Fecha | Datos Real | DATOS PRONOSTICADOS | DIFERENCIAL |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (0,1,3) | 0.01059 | 3596.53 | 19-ene-21 | 24.76 | 27.25843 | 2.49843 |
| (6,1,3) | 0.2347 | 3572.51 | 19-ene-21 | 24.76 | 26.60451 | 1.84451 |
A través de la tabla comparativa, se puede notar que el modelo propuesto, ARIMA (6,1,3), cumple con las características de mejor modelo ya que, el criterio AKAIKE disminuye significativamente, el valor de la prueba de Ljung-Box es mayor que 0.05, es decir, se corrigieron los problemas de autocorrelación. Finalmente, el punto esencial del trabajo, que es el diferencial entre el pronósticado y el precio real, resultó ser bajo.
Por otra parte, al desarrollar los modelos ARIMA, dejamos de lado el comportamiento de la volatilidad que tienen los precios de cierre de TVIXF o, casí cualquier activo financiero, es decir, se asumió el supuesto de \(U_t \sim N(0,\sigma^{2} )\). Asimismo, al representar la serie tanto, a niveles como en rendimientos en los histogramas, se observó que tienen problemas leptocúrticas. Con esto se establece que las series financieras se caracterizan por ser series no lineales[5].
Con esto surge la cuestión de ¿cómo se puede modelar este tipo de series?. Afortunadamente hay modelos que se utilizan en las finanzas, que son; los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH) y los Modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH), mismos que se desarrollarán a continuación para generar pronósticos un poco más ajustados. Cabe mencionar que, para profundizar en la parte teórica de estos modelos se recomienda consultar la investigación TESLA Modelos ARCH - GARCH[6].
Aplicación de los Modelos ARCH-GARCH para TVIXF
Autocorrelación de los rendimientos al cuadrado del TVIXF y prueba ARCH
La primera fase para desarrollar estos modelos, es analizar la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de TVIXF. De esta forma, se conocerá si hay posibles efectos de memoria que puede tener la serie en cuestión dentro del intervalo de tiempo analizado.
Figura 14. Autocorrelación de los rendimientos al cuadrado de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida en R.
En la Figura 14, se observa que los correlogramas, tanto en el proceso Autorregresivo (PCFA) como, en el proceso de media móvil (ACF), las líneas verticales sobresalen de las bandas de confianza, es decir, se identifican problemas de autocorrelación sobre los rendimientos al cuadrado de TVIXF.
Tabla 5. Prueba de efectos ARCH
| Prueba | Valor P | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH test | 2.98E-11 | La serie No tiene efectos ARCH | Se rechaza H0 |
Fuente: Elaboración propia con salida en R.
Para proceder a desarrollar los modelos ARCH y GARCH, se debe realizar la prueba de ARCH, con el fin de conocer si los rendimientos de TVIXF tienen efectos de volatilidad. Por lo tanto, considerando los resultados de la Tabla 5, se prodecede a rechazar la H0, es decir, la serie tiene efectos ARCH. Por lo tanto, resulta oportuno desarrollar los modelos de la familia ARCH.
Selección del mejor modelo y simulación de los rendimientos
Para elegir el mejor modelo, se muestran los resultados obtenidos del conjunto de modelos realizados, tanto para los ARCH como los GARCH.
Tabla 6. Prueba de efectos ARCH
| MODELO | Omega | Alfa1 | Alfa2 | Beta1 | Beta2 | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.000177 | 0.499374 | 4.9572 | 4.9776 | |||
| ARCH(2) | 0.00311 | 0.25908 | 0.73992 | -1.9327 | -1.9022 | ||
| GARCH(1,1) | 0.001029 | 0.413207 | 0.585793 | -1.9045 | -1.874 | ||
| GARCH(1,2) | 0.001037 | 0.413721 | 0.585279 | 0 | -1.8981 | -1.8574 | |
| GARCH(2,1) | 0.00195 | 0.18812 | 0.5856 | 0.22529 | -1.9525 | -1.9118 | |
| GARCH(2,2) | 0.001908 | 0.191 | 0.605173 | 0.082732 | 0.120095 | -1.95 | -1.8992 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Se elige GARCH (2,1) como el mejor modelo, considerando que, comple con el totalidad de los supuestos, es decir, los criterios de AKAIKE y BAYES son menores y, la suma de los parámetros son menores a 1 (el modelo no está sujeto a una explosión),
Varianza condicional
El resultado obtenido con el modelo GARCH (2,1) es:
\[{\sigma}_{t}^{2} = 0.0020 + 0.1881{\upsilon}_{t-1}^{2} + 0.5856{\upsilon}_{t-2}^{2} + 0.2253{\sigma}_{t-1}^{2}\] La volatilidad de TVIXF se explica en un 18.81% por la volatilidad de un día y en un 58.58% por la volatilidad de dos días. También se explica en un 22.53% por la varianza ajustada a 1 periodo.
A continuación de presenta la caracterización de la varianza con el GARCH (2,1).
Figura 15. GARCH (2,1) vs rendimientos
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
En la Figura 16 se muestran los resultados de la simulación del modelo GARCH (2,1) que, se comparan con el comportamiento de los rendimientos del TVIXF.
Figura 16. Autocorrelación de los rendimientos al cuadrado de TVIXF
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Para simular las series, se generan números aleatoriios del tamaño de la muestra descargarda (391 datos) y se utilizan los parámetros obtenidos del GARCH (2,1). De esta manera, se permite visualizar la volatilidad de los rendimientos de TVIXF a partir del modelos seleccionado.
Tabla 7. Prueba de efectos ARCH
| MODELO | AIC | FECHA | DATO EN RENDIMIENTOS | DATO PRONOSTICADO | DIFERENCIAL |
|---|---|---|---|---|---|
| GARCH(2,1) | -1.9525 | 19-ene-20 | -0.051704328 | 0.06584 | 0.014135672 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R.
Finalmente, se llega al dato pronosticado mediante el modelo GARCH (2,1). De forma que, en la Tabla 7 se observa que el diferencial fue solamente de un 1.4%. Por lo que, se considera que, el modelo escogido, es bueno para pronósticar el compartamiento de los rendimientos del TVIXF.
Conclusión
Para calcular pronósticos a partir de la serie del precio de cierre de un activo financiero, ya sea de una emisora, un ETF o un ETN, hay que considerar que inherentemente tienen comportamientos muy volátiles.
Por esta razón se implementaron, este conjunto de modelos a fin de, mostrar cuáles permiten modelar de mejor manera el comportamientos del activo financiero.
Este caso, se utilizaron en la primera fase, los precios de cierre del TVIXF para calcular el pronóstico del 19 de enero de 2021 en donde, se obtuvo un diferencial tan solo de 1.8 a través del modelo ARIMA (6,1,3). Sin embargo, al visualizar los histogramas tanto, en las serie a niveles como, en los rendimientos, se observó que, tuvieron problemas leptucórticas.
Por eso, en la segunda fase, se desarrollaron los modelos ARCH y GARCH ya que, permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional, es decir, de la varianza rezagada. Para estos modelos, se utilizaron los rendimientos del TVIXF, es donde se concluyó que el mejor modelo fue el GARCH (2,1) ya que, el diferencial del pronóstico respecto al rendimiento real para el 19 de enero, fue tan solo de 1.4%. He aquí lo padre, de esto modelos que, permiten modelar y capturar mejor la información del comportamiento de los activos financieros y así, generar pronósticos que se ajusten al comportamiento de real de los mismos.
Referencias
[1] https://rpubs.com/Edu_Fra/700553
[2] https://www.lainformacion.com/mercados-y-bolsas/cotizacion-sp-500-18-marzo/6552829/
[3] https://www.spglobal.com/spdji/en/indices/strategy/sp-500-vix-short-term-index-mcap/#overview