MODELO ARIMA Y MODELOS DE VOLATILIDAD
HERNANDEZ JIMENEZ KARLA VANESSA
26 de enero de 2021
Acciones de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Acciones de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund es uno de los ETF más grandes del mundo, y los inversores lo han adoptado como una forma eficiente de establecer exposición a los mercados emergentes.[1] VWO rastrea un índice ponderado por capitalización de mercado de acciones de mercados emergentes, excluyendo Corea del Sur.[2] Los países emergentes es una clasificación que permite agrupar a aquellos mercados que ya no son países en vías de desarrollo pero que a su vez no han alcanzado el estatus de país desarrollado.Para esto se deben considerar las siguientes condiciones:
Riqueza de materias primas y recursos
Fuerte industrialización
Creciente número de trabajadores jóvenes
Estabilidad política
Fuerte inversión extranjera directa (IED)
Fuerte crecimiento de consumidores locales
Influencia política y económica en los países de su espacio económico
Según el Banco Mundial los cinco mayores países emergentes son China, India, Indonesia, Brasil y Rusia. También son considerados como países emergentes: México, Argentina, Sudáfrica, Polonia, Turquía, o Corea del Sur.[3]
Comportamiento del precio de cierre de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund: 01 de Enero de 2015 al 10 de noviembre de 2020
En la figura 1 se observa el comportamiento del ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund de Enero de 2013 a Enero de 2021 con una tendencia lateral con un rango de entre los $45.00 USD a los $53.00 USD. Se destacan dos caidas significativas en Enero de 2016 con un precio de 28.55 USD debido a que en este año China cambio su modelo económico a servicios dejando de lado las industrias, el desplome del crudo y la subida del cambio de la Reserva Federal [4] provoco esta caída dramática, sin embargo para Marzo del mismo año la inversion fue captada por estos países, nada alejado de la realidad, se observa una tendencia a la alza registrando su máximo historico de este periodo en Enero de 2018 con un precio de $50.98 a pesar de los conflictos que provocó el ex-Presidente Donald Trump el Fondo Monetario Internacional previa un incremento en el PIB mundial cercano al 4% “Pero el escenario central sigue siendo el de una recuperación sincronizada de las economías desarrolladas y emergentes con una convergencia a sus niveles de crecimiento potencial”, subraya Ángel Melguizo, de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE).[5]
Figura 1. Precio de cierre de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Comportamiento de los rendimientos de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund: 02 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
Los rendimientos nos permiten ver esta reversión a la media, mostrando una serie más estandarizada, sin embargo, la serie no presenta una varianza constante. Se observan diferentes clústeres, en julio 2013 que va de ± 0.05% o el más notable en marzo 2020 de ± 0.01% los rendimientos para este instrumento son bajos ya que la variación no es tan significativa a comparación de otros, el objetivo de exposición de los mercados emergentes lo limita debido al progreso limitado de estos países. El clúster del 2020 se debe a la pandemia del COVID-19 que entro en marzo de ese año en casi todo el mundo, el confinamiento solicitado por la OMS y ejecutado por la mayoría de las autoridades provoco un paro en las actividades económicas resultando afectados principalmente estos países emergentes se vieron afectados, si las economías desarrolladas se vieron afectadas, este fenómeno se agravo más en las emergentes. La recuperación de este ETF fue paulatina, pero podemos observar que poco a poco se va generando una estabilidad en los rendimientos. En la actualidad el país más representativo de este ETF es Hong Kong con una participación del 33.78% y el sector tecnológico es el que más destaca con un 32.90% de participación [6], con la situación actual la tecnología ha tenido un papel muy importante podría explicar su recuperación en los siguientes meses de la pandemia.
Figura 2. Rendimientos de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Fuente: elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Histogramas de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno y los que se presentan a continuación nos muestran la distribución de los datos del precio de cierre y rendimientos del ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se pueden identificar el número de veces que los precios o rendimientos caen en dicho intervalo. El histograma de la Figura 3 nos muestra que la serie que a simple vista podría parecer una campana de Gauss sin embargo está más cargada a la derecha donde hay una segunda concentración de los datos, la primera concentración cae entre 40USD y 45USD, esto es la frecuencia en la que se repiten los datos
Figura 3. Histograma precios de cierre de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Fuente: elaboración propia con salida de R
En la Figura 4 observamos que la serie toma una forma parecida a una distribución normal , pero si se ve a detalle se descubre que presenta problemas de leptocurtosis , hay un exceso de concentración de datos en la media. También se presentan problemas de colas pesadas presente de lado izquierdo lo que quiere decir que existen valores atipicos que podrian manifestar complicaciones en los modelos ARIMAS.
Figura 4. Histograma rendimientos de ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Fuente: elaboración propia con salida de R
Gráficos Q-Q
A continuación se observaran los gráficos Q-Q donde en la parte inferior se observan los cuantiles teóricos , se analizan con la finalidad de observar si efectivamente tanto los precios de cierre como los rendimientos del ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund, una curva teorica contra una curva empirica.
En la Figura 5 se observa que los precios de cierre se apegan un poco a la línea que representa la distribución normal, sin embargo esta no es perfecta aunque no se aleja demasiado de esta, aun así confirma que no sigue una distribución normal.
Figura 5. Q-Q Plot precio de cierre ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund
Fuente: elaboración propia con salida de R
En la Figura 6 observamos que se apega más a la línea de la distribución normal sin embargo confirma el problema de colas pesadas ya que observamos datos típicos que se alejan mucho de la distribución normal, a comparación de la Figura 4 los rendimiento tiene más el fenómeno de la reversión a la media.Sin embargo seguimos teniendo problemas con las colas
Figura 6. Q-Q Plot rendimientos de VWO
Fuente: elaboración propia con salida de R
Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1
\(E(Y_{t}|\phi _{t})=0\)
Donde \(Y_{t}\) es el valor esperado de la variable condicionado a \(phi_{t}\), que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir:
Ecuación 2
\(f(Y_{t}|Y_{t-1})=f(Y_{t})\)
Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de Raices Unitarias
Precios Cierre Rendimientos Dickey Fuller 0.84 0.99 Phillips Perron 0.4723 0.01 KPSS 0.1 0.1
Fuente: elaboración propia con salida de R
Prueba Dickey Fuller Aumentada
El objetivo de la prueba es examinar la hipótesis nula de =1
\(Y_{t} = Y_{t-1}+u_{t}\)
\(H_{0}\) : La serie tiene raíz unitaria
\(H_{a}\): La serie es estacionaria
Para los precios de cierre la probabilidad es mayor al 5% por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la serie tiene problemas de raíz unitaria
Para el caso de los rendimientos la probabilidad es mayor al 5% por lo que no se rechaza la hipóstesis nula y se concluye que la serie tiene problemas de raíz unitaria
Prueba Phillips Perron
La prueba PP incorpora la existencia de raíces unitarias en el proceso de Media movil (MA). Esta prueba se puede aplicar con intercepto y tendencia o sin ninguno de los anteriores componentes. La prueba PP originalmente está diseñada para encontrar rompimientos o cambios estructurales en las series.
\(\Delta Y_{t}=\psi Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\alpha \Delta Y_{t-1}+u_{t}\)
\(H_{0}\) : La serie tiene raíz unitaria
\(H_{a}\): La serie es estacionaria
Para los precios de cierre la probabilidad es mayor al 5% por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la serie tiene problemas de raíz unitaria
Para el caso de los rendimientos la probabilidad es menor al 5% por lo que se rechaza la hipóstesis nula y se concluye que la serie es estacionaria
Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS)
Prueba directamente a la estacionariedad de la variable , descomponiendo la serie en: tendencia determinística , caminata aleatoria y error estacionario.
\(Y_{t}=\varepsilon t+r_{t}+\epsilon _{t}\)
\(H_{0}\): La serie es estacionaria
\(H_{a}\): La serie no es estacionaria
Para los precios de cierre la probabilidad es mayor al 5% por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la serie es estacionaria
Para el caso de los rendimientos la probabilidad es mayor al 5% por lo que no se rechaza la hipóstesis nula y se concluye que la serie es estacionaria
Pronósticos ARIMA
ESPECIFICACIÓN DEL ARIMA AIC RMSE DATO PRONOSTICADO DATO REAL DIFERENCIAL Prueba L-Jung-Box NORMALIDAD ESTABILIDAD AUTO ARIMA (2,1,2) 2908.33 0.4951649 53.06085 53.45 0.38915 0.8162 SI CUMPLE SI CUMPLE ARIMA (2,1,4) 2910.83 0.4949815 53.07457 53.45 0.37543 0.8381 SI CUMPLE SI CUMPLE ARIMA (2,1,3) 2910.33 0.4951651 53.0613 53.45 0.3887 0.7068 SI CUMPLE SI CUMPLE ARIMA (1,1,3) 2919.42 0.4949815 53.12539 53.45 0.32461 0.2454 SI CUMPLE SI CUMPLE ARIMA (2,1,1) 2929.82 0.4980592 53.07688 53.45 0.37312 0.002655 NO CUMPLE SI CUMPLE ARIMA (1,1,4) 2918.55 0.4961773 53.13037 53.45 0.31963 0.3984 SI CUMPLE SI CUMPLE
Fuente: elaboración propia con salida de R
De acuerdo a los datos observados después de proponer 6 modelos el ARIMA(2,1,4) es el mejor modelo , en comparación con el autoarima (2,1,2) presenta un menor error cuadrático así como un diferencial menor , esto quiere decir que el dato pronosticado con este ARIMA tiene un mejor ajuste. La prueba de L-Jung Box nos indica que al tener una probabilidad mayor al 5% no se rechaza la hipótesis nula , la cual establece que los residuales siguen una distribución normal. Cumple con ambos supuestos : no autocorrelación y distribución normal de los residuales.
Correlograma y prueba de estabilidad
La Figura 7 en el gráfico de autocorrelación (ACF) muestra que se han corregido los problemas de autocorrelación debido a que ningún valor está fuera de las líneas punteadas. Aunque el histograma que se observa de lado derecho no muestre completamente el comportamiento de una distribución normal la prueba de Ljung-Box nos indica que los residuales se distrubuyen normalmente ya que presenta un P-Value de 0.8381 lo que nos indica que no rechazamos la hipotésis nula y nos permite afirmar que presenta distribucion normal.
Figura 7. Correlograma ARIMA(2,1,4)
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(2,1,4)
Q* = 1.4352, df = 4, p-value = 0.8381
Model df: 6. Total lags used: 10Fuente: elaboración propia con salida de R
Figura 8. Prueba de estabilidad ARIMA(2,1,4)
Fuente: elaboración propia con salida de R
En la Figura 8 se muestra que no se generaron problemas de raíces unitarias y podemos decir que el modelo es estable
CONCLUSIÓN MODELO ARIMA
Después de analizar varios modelos, el ARIMA (2,1,4) fue el elegido porque presenta un menor error cuadrático, se acerca más al dato real, cumple con los supuestos de estacionariedad y normalidad. quizás no es el de menor dato en el criterio de información, pero a largo plazo es el que mejor puede funcionar. Para mi ETF el 18 de Enero no cotizó así que el 19 fue el día pronosticado y se acerca pero en la banda de confianza más una desviación se va hasta 53.69 y entra el valor real 53.45 en el valor pronosticado.
MODELOS DE VOLATILIDAD
Prueba ARCH
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: VWO_R
Chi-squared = 760.01, df = 12, p-value < 2.2e-16La prueba nos permite observar si la serie necesita un modelo volatilidad.
\(H_{0}\) : Residuos homocedasticos (No tiene efectos ARCH)
Dado que la probabilidad de la prueba es 2.2e-16 menor al 5% se rechaza la hipótesis nula por lo que el modelo si tiene efectos ARCH y la varianza no es constante por lo que la serie necesita una especificación de un modelo no lineal.
Modelos ARCH y GARCH
MODELO OMEGA ALFA1 ALFA2 BETA1 BETA2 AKAIKE BAYES ARCH(1) 0.000107 0.306077 -6.0295 -6.024 ARCH(2) 0.00009 0.21733 0.18746 -6.0579 -6.0496 GARCH(1,1) 0.000007 0.128389 0.830422 -6.1171 -6.1087 GARCH(1,2) 0.000007 0.134567 0.761146 0.061207 -6.1159 -6.1048 GARCH(2,1) 0.000007 0.128442 0.000012 0.830175 -6.1158 -6.1047 GARCH(2,2) 0.000007 0.134464 0.000425 0.759727 0.062095 -6.1149 -6.101
Mejor Modelo : GARCH (1,1)
ECUACIÓN DE LOS COEFICIENTES. \(\sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}u_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{p-1}^{2}\)
Los coeficientes nos indican que la varianza condicional se explica en un 12.83% por la volatilidad de un día anterior y en un 83.04% por la varianza ajustada de hace un día
Los coeficientesdemuestran que el modelo está bien especificado y es estable debido a que :
La suma de los coeficientes no son igual o mayor a 1
Todos los coeficientes son significativos
Los coeficientes son positivos
Tienen el menor criterio de información
Tambien el menor en bayes
La Figura 9 muestra el gráfico de varianza condicional , que recibe este nombre debido a que los rendimientos están condicionados a la varianza rezagada , es decir , que dependen del tiempo. La parte gris nos muestra los rendimientos obtenidos al inicio del análisis y el azul expresa la ecuación del Modelo GARCH(1,1), donde se ver la condición de dependencia de los rendimientos en relación al dato anterior y la volatilidad ajustada de un día antes, ejemplo de esto es en marzo del 2020 donde observamos los picos en ambas líneas.
Figura 9.Gráfico de varianza condicional
Fuente: elaboración propia con salida de R
Pronóstico de los rendimientos
*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=2021-01-14]:
Series Sigma
T+1 0 0.0117El rendimiento esperado para el Martes 19 de enero del ETF de Vanguard FTSE Emerging Markets Index Fund es de 1.17%
Considero que después del análisis realizado el modelo que nos explica la volatilidad para este ETF es mínima, si bien los rendimientos son pocos el riego también es mínimo, ya que este es un instrumento considerado a largo plazo, según la teoría estos instrumentos financieros tienden a ser más estables y según el modelo ARIMA así es, no me causo problema encontrar los mejores modelos ya que no es un ETF con mucha volatilidad. Sin embargo, sí creo que, si algunos de los países representativos del VWO entraran en conflictos económicos, bélicos y/o sociales posiblemente podría darse algún tipo de perturbación provocando volatilidad. Pero aun así durante la pandemia se demostró que lograron recuperarse.
Referencias
[1]https://etfdb.com/etf/VWO/#etf-ticker-profile
[3]http://www.reingex.com/Paises-Emergentes-China-India.asp#
[5]https://elpais.com/economia/2018/02/23/actualidad/1519380339_401396.html