SPY Modelos

Análisis SPY por SPDR S&P500 (ARIMA, ARCH)

Por J. Alejandro Cruz Muñoz

"If I have seen further, it is by standing upon the shoulders of giants" .

- Isaac Newton.

A la hora de elegir activos financieros en los cuáles invertir, surgen determinadas dudas, ¿cuál es el más conveniente?, ¿cuál puede ofrecer un mejor rendimiento? No solo eso, también surgen dudas sobre qué activos existen en el mercado y cuál es el más adecuado. Entre todos estos, el que ocupa hoy al lector y al autor, son los etf. En específico, uno en especial, uno de los productos estrella y el primer etf estadounidense [1]. Se creó en 1993, bajo el nombre " S&P Depositay Receipts Trust Series 1 " en Estados Unidos. Hoy por hoy, se le denomina SPDR S&P 500 EFT y a su correspondiente ticker se le llama SPY, aunque es bien conocido también como Spider .

Algunas de sus características son: [2]

a) Es uno de los vehículos comerciales de mayor volumen en las bolsas de USA.

b) Está compuesto por empreas estadounidenses de todos los sectores de la Norma de Clasificación Industrial Global (GICS).

c) Al ser un EFT "longevo", tiene una mayor confianza entrelos comerciantes y los que administran el fondo: State Street.

d) Entre otras

Por lo que se puede entender que es uno de los EFT más atractivos a la hora de invertir, además de confiable. En los siguientes apartados se elaborará un análisis y pronóstico del precio de cierre de este EFT, suponiendo que se quiera vender o comprar tal activo.

Gráfico 1.0 - Comportamiento del precio de cierre de SPY, a partir de 1 de enero de 2013 al 11 de enero de 2021

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

En el Gráfico 1.0, se puede observar su tendencia, cuyo crecimiento ha sido constante, con volatilidad persistente. Se puede observar una tendencia a la alza desde 2013, aunque si se tomaran en cuenta periodos anteriores, se podría observar un consistente. Es durante el año 2015 que mantiene una dinámica de estabilidad después de la crisis de 2008/2009, y fue durante ese año que mostró signos de debilitamiento. Sería , no obstante, hasta principios de 2016 que mostraría una caída impresionante. ¿Las razones del fenómeno? las tensiones entre Irán y Arabia Saudita. El mercado reaccionaría de tal forma que buscarían instrumentos mucho más seguros como el oro y Treasurys chinos [3]. Posterior a enero de 2016, tuvo una tendencia de crecimiento constante, tendencia que duró dos años, sin mostrar signos de agotamiento. Al último trimestre de 2018, tuvo una caída abrupta, producto de diversos factores, entre ellos; tensiones sobre tarifas entre China y USA, temor de que la FED cometiera un error al elegir una postura de política monetaria, así como que las economías a nivel internacional mostraban signos de agotamiento y estancamiendo en sus respectivos crecimientos económicos [4,5]. Finalmente, para 2020, tuvo una caída abrupta, sobrepasando los bajos niveles de 2018, a pesar de la recuperación que había tenido posterior al evento de aquel año, recuperó pronto sus niveles de 2020 y su crecimiento constante.Para inicios de 2021, muestra signos de recuperación, superando la caída de 2020. Por otro lado, se puede observar que SPY es una variable estaconaria, esto es, no se presenta como una variable de ruido blanco, por lo cual es menester aplicar pruebas de raíz unitaria, lo cual comprobaría lo anterior.

Gráfico 2.0 - Comportamiento de los rendimientos de SPY, a partir de 1 de enero de 2013 al 11 de enero de 2021

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

En el Gráfico 2.0, se puede observar que, sobre los rendimientos, se encuentran puntos sobresalientes, momentos de alta volatilidad, fechas entre distintos años, como 2016, 2018 y 2020.

Gráfico 3.0 - Comportamiento de los rendimientos logaritmicos de SPY, a partir de 1 de enero de 2013 al 11 de enero de 2021

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

En el Gráfico 3.0, se puede observar es sumamente parecido al Gráfico 2.0. Por lo cual, para uso de modelaje econométrico, es indistinto. No obstante, ambas corregirían - sin aplicar pruebas de raíz unitaria - el problema de estacionariedad.

Gráfico 4.0 - Historigrama de precio de cierre SPY.

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

Se puede apreciar qué tanto se concentran los precios de cierre de SPY, en el Gráfico 4.0. Cuyo precio se ha concentrado en 200. Es decir, su distribución se aleja de ser del tipo “z”, o “t de student”, por el contrario, muestra una distribución del tipo X2, Chi cuadrada.

Gráfico 5.0 - Historigrama de rendimientos SPY.

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

En cuanto a los rendimientos, en el Gráfico 5.0, se puede apreciar que los rendimientos se concentran, cuya distribución es del tipo “normal”. Dicha concentración se encuentra entre rendimientos cercanos a cero.

Gráfico 6.0 - Gráfico QQ de precios de cierre de SPY.

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

El Gráfico 6, de cuantiles teóricos, permite observar que, por lo menos, la parte central de los datos sí se acerca a la recta, esto es, propiedad de media cero o constante. Por otra parte, algunos datos de la distribución sobresalen, esto debido a eventos inesperados, como fue la caída de precios de instrumentos financieros que representan parte del S&P 500, lo cual, invariablemente, afectó a SPY.

Gráfico 7.0 - Gráfico QQ de rendimientos de SPY.

Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance, a través de R.

El Gráfico 7, de cuantiles teóricos de los rendimientos, se puede observar que, por lo menos, la parte central de los datos sí se acerca a la recta, esto es, propiedad de media cero o constante. Por otra parte, algunos datos de la distribución sobresalen, esto debido a eventos inesperados, lo que afectó severamente - tanto positiva como negativamente - los rendimientos del EFT.

Una vez observadas las tendencias, los componentes y teniendo una vista general de las variables (precio de cierre de SPY y sus rendimientos), es necesario comprobar, ya no emperícamente, si la serie es estacionaria. Por lo cual, se muestran las pruebas; Dickey-Fuller aumentada, Philips Perron y KPSS.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  as.numeric(SPY)
## Dickey-Fuller = -3.4608, Lag order = 12, p-value = 0.04606
## alternative hypothesis: stationary

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  SPY
## Dickey-Fuller = -3.12, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.1042

## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  SPY
## KPSS Level = 20.767, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.01

La prueba Dickey-Fuller Aumentada indica que no hay estacionariedad, esto se debe a que expresa un valor de 0.046 en el p-value respecto a la hipotésis que expresa debe ser mayor a 0.05. Por lo tanto se considera no hay estacionariedad. La prueba Dickey-Fuller, por el contrario, indica que sí hay estacionariedad, esto se debe a su valor en el p-value que es de 0.104, respecto a la hipotésis que es de 0.05, por lo que se rechaza la hipotésis nula. Finalmente la prueba de KPSS indica que no hay estacionariedad, dado que su valor respecto en el p-value es de 0.01, respecto al valor de hipotésis, que es de 0.05. Por lo tanto se considera no hay estacionariedad. En cuanto a las consideraciones particulares, resulta de interés los distintos resultados, por lo que es necesario mostrar los resultados respecto a los rendimientos, esperando que las pruebas muestren mejoría.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  SPY_R
## Dickey-Fuller = -12.705, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  SPY_R
## Dickey-Fuller = -52.907, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.01

## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  SPY_R
## KPSS Level = 0.049449, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.1

Los nuevos resultados indican que, esta vez, no hay estacionariedad entre los rendimientos y, por lo tanto, ya se puede modelar a través de los rendimientos.

Modelos ARIMA

El primer modelo se obtuvo a través de la función auto.arima, por lo que los ponderadores (AIC y BIC) aun no pueden ser comparables.

## Series: SPY 
## ARIMA(0,1,2) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ma1     ma2   drift
##       -0.1498  0.1547  0.1166
## s.e.   0.0218  0.0232  0.0599
## 
## sigma^2 estimated as 7.178:  log likelihood=-4853.1
## AIC=9714.2   AICc=9714.22   BIC=9736.64

En la tabla anterior se encuentran los datos obtenidos de la función, donde se observan los ponderadores y los interceptos.

A continuación se presenta un segundo modelo, cuyo cambio no es sustancial, pero que se espera mejoren los resultados y obtengan mejores ponderadores (AIC y BIC).

## 
## Call:
## arima(x = SPY, order = c(2, 1, 4))
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ma1     ma2     ma3     ma4
##       -1.7448  -0.886  1.6460  0.8097  0.0911  0.0438
## s.e.   0.0306   0.027  0.0373  0.0489  0.0469  0.0308
## 
## sigma^2 estimated as 6.79:  log likelihood = -4798.73,  aic = 9611.47

Sustancialmente se modificaa el modelo, de tal forma que el cambio sí tiene un impacto positivo para el modelo, el cual aumenta su eficiencia tomando el Criterio de Akaike comparado con el obtenido por la función auto.arima.

Una vez teniendo los anteriores modelos, es necesario compararlos para seleccionar el más óptimo. Por lo tanto, se puede observar la siguiente tabla y sus resultados.

Modelo	Prueba Ljung-Box	AIC	BIC	Pronóstico	Real	Diferencial
Auto.arima (0,1,2)	2.2e-16	9714.2	9736.64	381.8925	378.65	-3.24
(2,1,4)	7.951e-06	9611.47	-	380.8880	378.65	-2.23

Por lo tanto, el mejor modelo es el que se define por: (2, 1, 4). Se observa que el criterio de Akaike es mejor que la función de auto.arima, lo cual signifca que los resultados serán mucho más eficientes, esto es, mejores pronósticos. Lo anterior se puede observar claramente en los diferenciales, en cuanto a uno y otro, ya que el segundo se ajusta mejor a la realidad.

Dado que el modelo integrado por (2,1,4) es el mejor, se presentan sus correlogramas.

Se puede observar que coinciden los rezagos respecto al modelo tanto en el gráfico de autocorrelación como en el de correlación parcial.

A continuación se presenta la prueba de círculo unitario invertido.

De acuerdo con el Gráfico anterior, los datos de interceptos son estables y, por lo tanto, permiten una correcta estimación del modelo. Todos los interceptos se encuentran dentro del círculo unitario invertido.

En la tabla se hallan los diferenciales del dato real vs el pronóstico, comparación para ambos modelos, no obstante, la eficiencia del modelo implementado cuyo estructura es (2,1,4) resulto ser superior a la de la función auto.arima. Aunado a la comparación, las pruebas sustentan que es un modelo estable y adecuado.

Modelos de Volatilidad (ARCH y GARCH)

En cuanto a los modelos ARCH y GARCH, se consideran modelos no lineales, cuyo supuesto esta basado en que su varianza no es constante. Retomando lo expresado por Jimenéz [6]

\[σ^2_t=var(u_t|u_{t−1},u_{t−2}),...,u_{t−q})=E[(u_t−E(u_t))^2|u_{t−1},u_{t−2},...,u_{t−q}]\]

De tal forma que si

\[E(u_t)=0\]

Esto es que la esperanza de los residuales igual a 0, por lo tanto, sustituyendo, queda de la forma siguiente

\[σ^2_t=var(u_t|u_{t−1},u_{t−2}),...,u_{t−q})=E[u_t^2|u_{t−1},u_{t−2},...,u_{t−q}]\]

La ecuación anterior expresa que la variación condicional de una variable aleatoria es equivalente a la del residuo al cuadrado. En los modelos ARCH, la autorrelación en la volatilidad es modelada. Por lo que la varianza condicional del término de error,σ2t, dependa del valor anterior del error al cuadrado:

\[σ^2_t= ω+α_1u^2_{t−1}\]

La ecuación anteriormente presentada, representa a un modelo ARCH(1), ya que la varianza condicional depende solo de un rezado del error al cuadra. En tanto que se puede expresar un ARCH(q) de la siguiente manera:

\[σ^2_t= ω+α_1u^2_{t−1}+α_2u^2_{t−2}+...++α_qu^2_{t−q}\]

Para mayor información se puede consultar a Jimenéz [ibid.]

En cuanto a los modelos GARCH, se diferencian de los modelos ARCH por ser una extensión de estos, la diferenciia es que la varianza se vuelve recursiva.

\[σ^2_t= ω+α_1u^2_{t−1}+β_1σ^2_{p−1}\]

Y de acuerdo con Jimenéz [ibid.], un modelo GARCH(q,p) se puede denotar como:

\[σ^2_t= ω+∑_{i=1}^qα_1u^2_{i−1}+∑_{j=1}^pβ_1σ^2_{j−1} \]

Aplicación de modelos en EFT “SPY”

Prueba ARCH

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  SPY_R
## Chi-squared = 876.31, df = 12, p-value < 2.2e-16

De acuerdo con la hipotésis nula, los residuos son homocedasticos, por lo que, teniendo en cuenta su p-value resultante, no se rechaza.

A sabiendas del resultado de la prueba, se elaboran los siguientes modelos:

ARCH(1)

ARCH(2)

GARCH(1,1)

GARCH(1,2)

GARCH(2,1)

GARCH(2,2)

A continuación se muestra la tabla con valores de los modelos, donde se escoje el mejor modelo de acuerdo a su valor más cercano a 100.

Modelo	Omega	Alfa	Alfa 2	Beta	Beta 2	Sumatoria
ARCH(1)	0.000054	0.522087	-	-	-	0.522141
ARCH(2)	0.000035	0.286133	0.363447	-	-	0.649615
GARCH(1,1)	0.000004	0.207185	-	0.748436	-	0.955661
GARCH(1,2)	0.000004	0.207198	-	0.748337	0.000007	0.955582
GARCH(2,1)	0.000005	0.187070	0.038415	0.726648	-	0.952138
GARCH(2,2)	0.000005	0.186988	0.037965	0.727437	0.000004	0.952399

De acuerdo con los modelos ARCH(1) y ARCH(2), ARCH(1);cerca del 52 % de la volatilidad se explica por la volatilidad del día anterior. Sobre el ARCH(2), su volatilidad presente se explica en un 28 % por la volatilidad de un día anterior y un 36 % por la volatilidad de hace dos. En cuanto al modelo GARCH(1,1), la volatilidad presente se explica un 20 % por la volatilidad del día anterior y un 74 % por la varianza ajustada de un periodo. Sobre el GARCH(1,2), la volatilidad presente se explica por un 20 % de la volatilidad de un día anterior, 74 % por la varianza ajustada de un periodo anterior y cerca de un 0 % por la varianza ajustada por dos periodos anterior. Sobre el modelo GARCH(2,1), cerca del 18 % de la volatiliad presente se explica por la volatilidad del día anterior, un 4 % se explica por la volatilidad de hace dos días y 72 % por la varianza ajustada de un periodo. En cuanto al modelo GARCH(2,2), la volatilidad presente se explica; en un 18 % se explica por la volatilidad de un día anterior, un 3 %, un 72 % por la varianza ajustada de un periodo y cerca de un 0 % por la varianza ajustada de dos periodos.

En cuanto al mejor modelo de los anteriormente presentados, el que mejor explica la volatilidad de SPY es el modelo GARCH(1,1).

En cuanto a si es estable, los ponderadores omega, alfa y beta tienen p-values menores al 5 %, su sumatoria es cercana a 100, aunque es de 95.56, esto es cercano a 96.

Se puede observar que la varianza condicional logra explicar cercanamente real, incluso en los puntos con mayor volatilidad.

Se presentan los rendimientos pronosticados.

## 
## *------------------------------------*
## *       GARCH Model Forecast         *
## *------------------------------------*
## Model: sGARCH
## Horizon: 8
## Roll Steps: 0
## Out of Sample: 0
## 
## 0-roll forecast [T0=2021-01-08]:
##     Series    Sigma
## T+1      0 0.009090
## T+2      0 0.009125
## T+3      0 0.009158
## T+4      0 0.009190
## T+5      0 0.009220
## T+6      0 0.009249
## T+7      0 0.009277
## T+8      0 0.009303

El rendimiento para el 18 de enero de 2021 es de 0.009277.

Conclusiones

Como se ha venido observando, el mejor modelo que se formuló es el modelo GARCH(1,1), cuya volatilidad se explica por la volatilidad del día anterior en un 20 %. Lo que significa que el EFT es relativamente poco vólatil. Por supuesto, ha presentado puntos álgidos durante breves periodos de tiempo, mas recupérandose en el corto plazo. Respecto a los pronósticos, indican que continuará aumentando su precio, por lo que sería buena opción comprarlo y así obtener ganancias.

Referencias

[1] Gestión pasiva. (s.f.). SPY: El ETF más importante del mundo . Extraído de: https://www.gestionpasiva.com/spy-etf-mas-importante-del-mundo

[2] Juan Cotino. (2020). ¿Qué es el SPDR S%P 500 EFT (SPY)? . Extraído de: https://www.juancontino.es/que-es-el-spdr-sp-500-eft-spy/

[3] Mahmudova, Anora; Sjolin, Sara. (2016). U.S. stocks starts 2016 with steep losses . Extraído de: https://www.marketwatch.com/story/us-stocks-set-for-tumble-at-open-as-china-fears-return-2016-01-04

[4] DeCambre, Mark. (2018). The sotck market just booked its ugliest Christmas Eve plunge . Extraído de: https://www.marketwatch.com/story/the-sp-500-is-on-the-verge-of-tumbling-by-the-most-it-has-ever-fallen-on-christmas-eve-2018-12-24

[5] Imber, Fred. (2018). US stocks post worst year in a decade as the S&P 500 falls more than 6 % un 2018 . Extraído de: https://www.cnbc.com/2018/12/31/stock-market-wall-street-stocks-eye-us-china-trade-talks.html

[6] Jimenéz Preciado, Ana Lorena. (2020). TESLA Modelos ARCH-GARCH . Extraído de: https://rpubs.com/Ana_JP/TESLA_ARCHGARCH