ARIMA y VOLATILIDAD: Caso McDonald’s
Joselyn Fernanda Castellanos Espindola
26 de enero de 2021
Empresa McDonald’s
McDonald’s La historia comienza en 1948 cuando los hermanos Mac y Dick McDonald abren un restaurante sobre la carretera de San Bernardino en California. Seis años más tarde, los dos hermanos se cruzaron con Ray Kroc, un vendedor de máquinas de malteadas que fue el primero en ver su idea como un modelo exitoso. En 1955, Kroc pagó por los derechos de franquicia y creó la cadena de restaurantes que hoy factura 61 mil millones dólares al año. Tres años más tarde, compró a los McDonald su parte y se convirtió en el único dueño de la marca. Sus principales productos son las hamburguesas, las patatas fritas, los menús para el desayuno y los refrescos [1].
Comportamiento del precio de cierre de McDonald’s: 02 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021
En la figura 1 se presenta el comportamiento de la empresa McDonald’s a partir del 02 de enero de 2013 al 15 de enero de 2021.
La tendencia “toro” que presentaba la emisora McDonald’s de enero de 2015 a febrero de 2020 se vio duramente afectada, ya que en marzo de 2020 muestra una fuerte caída con precio de $137.10 USD; este comportamiento se atribuye al brote de COVID-19 y al impacto operativo provocado por factores como el cierre de restaurantes, operaciones limitadas y los cambios en el comportamiento del consumidor.
Figura 1. Precio de cierre de McDonald’s
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Sin embargo, octubre de 2020 permitió a McDonald’s un gran re apunte el 15 de octubre de 2020 registrando su precio máximo de $229.64 USD; este comportamiento se atribuye debido a que sus clientes en Estados Unidos ordenaron más hamburguesas y papas fritas en los locales de auto-servicio y mediante aplicaciones de entregas a domicilio para evitar comer en lugares públicos durante la pandemia [2]
Figura 2. Rendimientos de McDonald’s
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
En promedio McDonald’s en la mayor parte del tiempo es estable, oscila entre ± 1.5%, tiene media 0, no tiene una varianza constante debido a clusters de volatilidad, pero tiene grandes tramos de estabilidad, se muestran diversas aglomeraciones, en el año 2015 y esto es debido a que no le fue bien debido a que los consumidores desertaron hacia opciones más saludables y frescas, el cambio de director ejecutivo a finales de enero, las ventas internacionales se derrumbaron después del escándalo en Asia, los ingresos en China bajaron abruptamente dado que se determinó que un proveedor utilizaba pollos y carne poco salubre, escasez de materia prima para sus papas fritas en Venezuela y tras el breve cierre forzado de uno de sus centros en Rusia[3], todos estos acontecimientos generaron volatilidad en McDonald’s. El mayor cluster de volatilidad que presento McDonald’s, es el de marzo de 2020 derivado de la contingencia sanitaria COVID -19 que se originó en la ciudad de Wuhan, China, que se dispersó en diferentes países ocasionando contagios y situaciones de emergencia internacional, generando el cierre de restaurantes, operaciones limitadas y los cambios en el comportamiento del consumidor.
Histogramas
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de McDonald’s a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En la figura 3 se presentan los histogramas a niveles de McDonald’s; el eje vertical representa la frecuencia y en el eje horizontal los valores de la variable (precios).
Figura 3.Histograma a niveles MCD:enero de 2013 a enero 2021.
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Para McDonald’s el mayor número de repeticiones es 423 para el precio de 96.5usd. La segunda concentración se muestra en 101.5usd con 168 repeticiones. Existe la mayor concentración de 89usd a 160usd. Los valores más extremos y con pocas repeticiones se sitúan en 226.5usd.
Figura 4.Histograma en rendimientos MCD:enero de 2013 a enero 2021.
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
En lo que refiere a los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos de McDonald’s, la mayor parte se concentra en la media, sus desviaciones de McDonald’s, en promedio están en ± 1.5% tal cual como se observó en la figura 2.
Gráficos Cuantil-Cuantil (Q-Q Plots).
Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
La figura 5, muestra el gráfico de Q-Q de McDonald’s; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Figura 5.Q-Q plot a niveles de MCD: enero 2013 a enero 2021.
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Se observa que hay una parte de la distribución que se asocia a la línea recta, sin embargo, en mayor parte (sobre todo en los extremos /en las colas) la distribución se “despega” de la normalidad. A niveles está claro que no sigue una distribución normal.
Figura 6.Q-Q plot en rendimientos de MCD: enero 2013 a enero 2021.
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
En cuanto al gráfico Q-Q de los rendimientos, los datos, al menos en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto tiene que ver con la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), sin embargo, McDonald’s tuvo días en lo que presento rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos y mostrando sus datos atípicos Con esta representación, no se puede garantizar la normalidad en los datos, y en lo que respecta a los instrumentos financieros, lo más normal es que no sean normales.
Estacionariedad y pruebas de raíces unitarias.
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1 \[E(Yt|ϕt)=0\] Donde \(\left ( Y_t \right )\) es el valor esperado de la variable condicionado a \(\left ( ϕ_t \right )\),que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir: Ecuación 2 \[f(Y_t|Y_{t-1})=f(Y_t)\] Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de raíces unitarias.
Las pruebas que se utilizan para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron (PP) y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS).
Utilizaremos la regla de oro.
\(\left (P>0.05\right )\)No rechazo (acepto) H0.
\(\left (P<0.05\right )\)Rechazo H0.
Tabla 1.DFA y PP a niveles y rendimientos
H0:La serie tiene raíz unitaria.
Ha:La serie es estacionaria.
| Variable | DFA (Valor p) | Phillips−Perron (Valor p) |
|---|---|---|
| MCD a niveles | 0.07694 | 0.09769 |
| MCD (rendimientos) | 0.01 | 0.01 |
Tanto para DFA y PP a niveles, P>0.05, por lo tanto, No rechazamos Ho, la serie tiene raíz unitaria a niveles.
Tanto para DFA y PP rendimientos, P<0.05, por lo tanto, rechazamos Ho, la serie es estacionaria en rendimientos.
Los rendimientos nos ayudaron a quitar los problemas de raíz unitaria.
Tabla 2.KPSS a niveles y rendimientos
H0:La serie es estacionaria.
Ha:La serie No es estacionaria.
| Variable | KPSS (Valor P) |
|---|---|
| MCD a niveles | 0.01 |
| MCD (rendimientos) | 0.1 |
Para KPSS a niveles, P<0.05, por lo tanto, rechazamos Ho, la serie No es estacionaria a niveles
Para KPSS en rendimientos, P>0.05, por lo tanto, No rechazamos Ho, la serie es estacionaria en rendimientos
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria? Se debe a lo siguiente: \[Y_t=α+βY_{t-1}+e_t\] Suponga β=1
Donde \(\left ( Y_t \right )\) depende del valor pasado \(\left (βY_{t-1}\right )\) si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”. Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.
\[Y_t-Y_{t-1}=α+βY_{t-1}-Y_{t-1}+e_t\] Quedando como resultado
\[ΔY_t=α+e_t\] La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.
Modelo ARIMA MCD.
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins. Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.
Figura 7.Componentes de autocorrelación ACF y PACF
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Al revisar el Correlograma (a pesar de diferenciar una vez la serie), se identifican componentes de autocorrelación tanto en el proceso Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF). La Función de Autocorrelación (ACF) nos ayuda a identificar cuáles son los rezagos que están correlacionados en el proceso de media móvil La Función de Autocorrelación Parcial (PACF) lo que nos permite es ver cuáles son los rezagos que están correlacionados en el componente autorregresivo. Cuando las barritas sobresalen de las líneas punteadas, nos indica que ese rezago tiene un efecto de memoria sobre la serie original.
AUTOARIMA(2,1,3) para MCD
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de MCD es utilizando la función auto.arima de R, que propone una combinación de ARIMA(2,1,3) para corregir los problemas de autocorrelación.
Figura 8.Resultados del ARIMA(2,1,3) para MCD
Series: MCD
ARIMA(2,1,3)
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2 ma3
-1.6947 -0.8408 1.5968 0.7048 -0.0035
s.e. 0.0372 0.0342 0.0433 0.0491 0.0255
sigma^2 estimated as 3.855: log likelihood=-4235.24
AIC=8482.47 AICc=8482.51 BIC=8516.15Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Veremos si con está especificación se corrigen los problemas de autocorrelación, si se corrigen, estamos capturando bien el efecto de memoria que tiene la serie, además los residuales tiene que cumplir con una distribución normal, en caso de no cumplir indica que los valores de los residuales están correlacionados y por tanto el modelo no está bien especificado 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(2,1,3)
Q* = 20.535, df = 5, p-value = 0.0009915
Model df: 5. Total lags used: 10Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
El resultado muestra que NO se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o, dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(2,1,3) la H0 se rechaza. Si bien se puede realizar un pronóstico con estos resultados, se cae el riesgo de obtener resultados sesgados (debido a los problemas de autocorrelación).Con la especificación de AUTOARIMA NO ES SUFICIENTE.
Tabla 3.Pronósticos y resultados para MCD
| ARIMA | Ljung-Box | AIC | Dato real | Pronostico | Diferencial | RMSE |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ARIMA(2,1,3) | 0.00099 | 8482.47 | $209.09 | $209.78 | 0.6900 | 1.96058 |
| ARIMA(6,1,1) | 0.19890 | 8471.83 | $209.09 | $209.48 | 0.3900 | 1.953487 |
| ARIMA(27,1,1) | 0.2576 | 8446.89 | $209.09 | $210.03 | 0.9419 | 1.92114 |
El modelo del Autoarima (2,1,3) sus residuales NO se distribuyen como una normal, tiene el mayor criterio de Akaike, sin embargo, muestra estabilidad, pero se descarta por que sus residuales no siguen una distribución normal.
El mejor ARIMA es (27,1,1) debido a que sus residuales se distribuyen como una normal, tiene el menor criterio de Akaike, es decir, tiene una menor varianza en el residual, aunque tenga el mayor diferencial en cuanto a pronóstico y dato real del día 19 de enero de 2021, es el modelo que tiene mejor ajuste debido a que tiene el menor valor en su Error Cuadrático Medio (RMSE).
Validación de la propuesta de modelo ARIMA(1,1,27) para MCD
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Figura 8.Resultados del ARIMA(1,1,27) para MCD
Call:
arima(x = MCD, order = c(27, 1, 1))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8
-0.1403 0.0267 0.0724 -0.0243 0.0232 -0.1347 0.0725 -0.0559
s.e. 0.2274 0.0316 0.0234 0.0280 0.0234 0.0231 0.0391 0.0288
ar9 ar10 ar11 ar12 ar13 ar14 ar15 ar16 ar17
0.0740 -0.0466 0.0389 0.0453 0.0055 0.0268 -0.0444 0.0045 -0.0322
s.e. 0.0261 0.0278 0.0257 0.0246 0.0245 0.0228 0.0236 0.0246 0.0228
ar18 ar19 ar20 ar21 ar22 ar23 ar24 ar25
-0.0817 0.0392 -0.0125 -0.0537 -0.0106 -0.0121 0.0286 -0.0184
s.e. 0.0242 0.0283 0.0242 0.0227 0.0268 0.0225 0.0227 0.0238
ar26 ar27 ma1
-0.0435 0.0778 0.0462
s.e. 0.0228 0.0254 0.2277
sigma^2 estimated as 3.693: log likelihood = -4194.44, aic = 8446.89Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Figura 9.Correlograma ARIMA(1,1,27) para MCD
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(27,1,1)
Q* = 4.0364, df = 3, p-value = 0.2576
Model df: 28. Total lags used: 31Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Figura 10.Prueba de estabilidad (Raices inversas) ARIMA(1,1,27) para MCD
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Se observa que el modelo es estable,dado que ninguna raiz sales del ciruclo.
Figura 11.Gráfico del pronóstico de 10 dias ARIMA(1,1,27) para MCD
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
2026 210.0319 207.5692 212.4945 206.2656 213.7982
2027 209.8392 206.5163 213.1621 204.7572 214.9211Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Se hizo la comparación con el pronóstico del dia 19 de enero de 2021 ya que el día 18 no cotizo.
Tabla 4.Pronósticos para MCD
| ARIMA | Dato real | Pronóstico | Diferencial |
|---|---|---|---|
| ARIMA(27,1,1) | $209.09 | $210.03 | 0.9419 |
El pronóstico no esta del todo mal, dada la incertidumbre que se ha generado por la pandemia COVID-19, muestra un precio un poco mayor, sin embargo, los precios de McDonald’s suelen flucutuar y presentar alzas y bajas denotando que tiende a ser muy volatil. Se recomienda una posición de hold o mantener, pues tiene un buen enfoque a largo plazo.
Análisis de la Volatilidad (rendimientos) de McDonald’s .
¿Por qué los clústeres de volatilidad de las acciones se pueden modelar con especificaciones ARCH-GARCH?.
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle sirven para modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen lineales, por ejemplo, considera un modelo ARMA (1,0):
\[y_t=β_0+β_1y_{t-1}+u_t\] Donde \(Y_t\) representa el precio de cierre de MCD; la acción en este ejemplo se explica por un autorregresivo de orden 1, o bien, se puede interpretar que \(Y_t\)es explicada por el precio del periodo anterior (suponiendo que estamos modelando cotizaciones con frecuencia diaria, la interpretación sería que el comportamiento del precio de cierre se ve explicado por el precio del día anterior y ese peso nos lo indicaría el parámetro β).
Asimismo, se asume que \(u_t ∼N(0,σ^2)\), es decir, que el término de error de distribuye como una normal con media cero y varianza constante. Sin embargo, las series financieras se caracterizan por ser series no lineales.
Entonces ¿cómo podemos modelar una serie de tiempo no lineal? Un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH).
La varianza condicional.
Uno de los supuestos que se asumen en un modelo clásico de regresión lineal es que \(u_t ∼N(0,σ^2)\), es decir, la varianza de los errores es constante, o también se puede decir que es homocedástico. En este sentido, los modelos ARCH asumen que la varianza no es constante, además, dichos modelos permiten modelar la aglomeración o clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros.
La varianza condicional de \(u_t\)se puede expresar como \(σ_t^2\):
\[σ_t^2=var(u_t|+u_{t-1},+ u_{t-2},...+ u_{t-q})=E|(u_t-E(u_t)^2)|u_{t-1},u_{t-2,...,u_{t-q}}]\] Sin embargo, se asume que E\(( u_t)\)=0, por lo tanto:
\[σ_t^2=var(u_t|+u_{t-1},+ u_{t-2},...+ u_{t-q})=E|u_t^2|u_{t-1},u_{t-2,...,u_{t-q}}]\] La ecuación anterior indica que la varianza condicional de una variable aleatoria (que se distribuye normalmente y que tiene media cero) es igual a la varianza condicional del residuo al cuadrado. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error,\(σ_t^2\) , dependa del valor anterior del error al cuadrado:
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2\] El modelo anterior se conoce como ARCH(1) ya que la varianza condicional depende solo de un rezago del error al cuadrado. El modelo propuesto en la ecuación anterior se puede extender al caso general, donde la varianza del error depende de \(q\) rezagos de los errores al cuadrado. Esto se conoce como el modelo ARCH \((q)\)
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+α_2u_{t-2}^2+...+α_qu_{t-q}^2\] En la literatura, por lo general se utiliza la letra griega Eta\((η)\) para denotar la varianza condicional \(σ_t^2\)=\(η_t\). Considerando la ecuación del modelo ARMA(1,0) y la ecuación del ARCH(1), se tiene:
\[y_t=β_0+β_1y_{t-1}+u_t\] \[η_t=w+α_1u_{t-1}^2\]Condiciones que deben satisfacer los modelos ARCH.
°No negatividad: Dado que ηt es la varianza condicional, su valor siempre debe ser estrictamente positivo
°Confirmar que hay efectos ARCH en las series: En esta prueba, la hipótesis nula es que hay efectos ARCH, es decir, que los q rezagos de los errores al cuadrado son significativos (o que son distintos de 0) en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional.
°La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1: si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota con el tiempo, en otras palabras, el modelo es inestable.
Modelos GARCH.
Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que \(σ_t^2\) se vuelve recursivo.
El modelo GARCH se desarrolló, en trabajos independientes, por Tim Bollerslev[3] (1986) y Stephen Taylor[4] (1986). El modelo GARCH permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos. La ecuación de la varianza condicional es:
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+β_1σ_{p-1}^2\]Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para McDonald’s
A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de McDonald’s. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de McDonald’s presentan 2 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) Se da en el año 2015, sobre todo a finales donde se disparó la volatilidad a un rango de ±5% y 2), la mayor volatilidad registrada derivado de la pandemia COVID-19, con registros de hasta ±17%.
Pruebas de efectos ARCH.
La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 4.
Tabla 4. Prueba de efectos ARCH
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH test | 2.20E-16 | La serie No tiene efectos ARCH | Rechazo H0 |
Se rechaza Ho, la serie tiene efectos ARCH, es decir, los residuales provenientes de MCD no son homocedásticos, no hay varianza constante. Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de McDonald’s.
Modelo ARCH
ARCH 1.
El primer modelo a implementar es un ARCH 1
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2\] El resultado obtenido es:
\[σ_t^2=0.00009+0.47537 u_{t-1}^2\]
ARCH 2.
El siguiente modelo a implementar es un ARCH 2
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+α_2u_{t-2}^2\]Modelo GARCH
GARCH (1,1).
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,1):
\[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+β_1σ_{t-1}^2\]GARCH (1,2).
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,2): \[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+β_1σ_{t-1}^2++β_2σ_{t-2}^2\] El resultado obtenido es: \[σ_t^2=0.000014+0.182163u_{t-1}^2+0.592018σ_{t-1}^2+0.123102σ_{t-2}^2\]GARCH (2,1).
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,1): \[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+α_2u_{t-2}^2+β_1σ_{t-1}^2\] El resultado obtenido es: \[σ_t^2=0.000013+0.164041u_{t-1}^2+0.000001u_{t-2}^2+0.739135σ_{t-1}^2\]GARCH (2,2).
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,2): \[σ_t^2=w+α_1u_{t-1}^2+α_2u_{t-2}^2+β_1σ_{t-1}^2+β_2σ_{t-2}^2\] El resultado obtenido es:
\[σ_t^2=0.000014+0.182159u_{t-1}^2+0.000001u_{t-2}^2+0.592004σ_{t-1}^2+0.123114σ_{t-2}^2\]Selección de modelo
Para elegir el mejor modelo, se presentan en la tabla 5, los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos
Tabla 5.Parámetros obtenidos de todas Las especificaciones ARCH y GARCH
| MODELO | ω | α1 | α2 | β1 | β2 | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.00009 | 0.47537 | -6.1420 | -6.1365 | |||
| ARCH(2) | 0.000066 | 0.291148 | 0.301754 | -6.2578 | -6.2495 | ||
| GARCH(1,1) | 0.000013 | 0.163538 | 0.740122 | -6.3011 | -6.2928 | ||
| GARCH(1,2) | 0.000014 | 0.182163 | 0.592018 | 0.123102 | -6.3003 | -6.2892 | |
| GARCH(2,1) | 0.000013 | 0.164041 | 0.000001 | 0.739135 | -6.2999 | -6.2888 | |
| GARCH(2,2) | 0.000014 | 0.182159 | 0.000001 | 0.592004 | 0.123114 | -6.2993 | -6.2855 |
De acuerdo a los criterios de información, GARCH(1,2),GARCH(2,1) y GARCH(2,2) se descartan debido a que:
Para GARCH(1,2) Beta2 (varianza ajustada de hace 2 días) no es significativo, el incorporar un GARCH (2) al modelo, no aporta información adicional para explicar cómo afecta la volatilidad al rendimiento de McDonald’s, por lo que descartamos modelo.
Para GARCH(2,1) el componente ARCH (2) no es significativo, no brinda una mayor explicación sobre como la volatilidad afecta al rendimiento de McDonald’s, por lo que descartamos modelo.
Para GARCH(2,2) no es significativo el parámetro ARCH (2) y el parámetro GARCH (2), por lo que descartamos el modelo, pues los elementos incorporados no aportan información.
Se elige al modelo GARCH(1,1) ya que es el modelo que tiene el menor valor en el criterio de Akaike y de Bayes.
Dado el resultado consistente, el GARCH (1,1) es nuestro mejor modelo para explicar cómo la volatilidad afecta al rendimiento de McDonald’s, siendo en teoría la mejor aproximación al pronóstico, se verifico, que todos los parámetros en GARCH (1,1) fueron significativos pues la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son positivos y el valor p es significativo. Los GARCH (1,1) son los mejores modelos para analizar la volatilidad o bien como la volatilidad afecta al activo financiero.
GARCH(1,1) el mejor modelo
Se verifico que GARCH (1,1)cumple con todas las caracteristicas de un modelo bien especificado y estable, dado que todos sus parametros fueron significativos;la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son positivos y el valor p es significativo.
Interpretación de los coeficientes.
Los rendimientos de McDonald’s se explican en un 16.35% por la volatilidad de hace 1 dia y en un 74.01% por la varianza ajustada de hace 1 dia.
Figura 12.Gráfico de varianza condicional
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
El color gris muestra los rendimientos de McDonald’s, lo que muestra el color azul es la ecuación de la varianza, representada por el GARCH(1,1), muestra la varianza condicional especificada con los resultados asociados a los coeficientes, demostrando como la ecuación de la varianza cacha los picos, pues está caracterizando los movimientos del rendimiento de McDonald’s a partir de la volatilidad que registra, permitiéndonos explicar que tanto afecta la volatilidad al rendimiento de McDonald’s.
Rendimiento pronósticado.
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* GARCH Model Forecast *
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Model: sGARCH
Horizon: 1
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=2021-01-15]:
Series Sigma
T+1 0 0.01124El rendimiento esperado para el dia martes 19 de enero de 2021 es de 1.12% para McDonald’s.
Conclusiones
Tanto para ARIMA como para Volatilidad, los criterios fueron favorables. En ARIMA el mejor modelo fue el de ARIMA(27,1,1) ya que no sólo corrigio los problemas de autocorrelación, tambien tiene un mejor ajuste, el pronóstico está por encima por 0.9419usd, sin embargo, denota el enfoque hacia largo plazo.
En Volatilidad, GARCH (1,1) es nuestro mejor modelo para explicar cómo la volatilidad afecta al rendimiento de McDonald’s, denotando que los rendimientos de McDonald’s se explican en un 16.35% por la volatilidad de hace 1 dia y en un 74.01% por la varianza ajustada de hace 1 dia, mostrando un rendimiento de 1.12%, sin embargo, también se deben considerar diversos aspectos coyunturales que pueden afectar de forma abrupta o constate el movimiento de precios y por ende el de los rendimientos.
Carlos Ponce autor del libro Estudiar, trabajar y ahorrar no es suficiente, ¡invierte en bolsa!, nos menciona que comunmente en las inversiones solemos fijarnos solamente en el crecimiento y en el rendimiento, dejando de lado factores importantes como: la diversificación, el sentido común y orientar la inversión a largo plazo, todo ello con la finalidad de reducir el riesgo, pues hay que tener en cuenta el riesgo por encima del rendimiento considerando el perfil de cada inversionista.
Referencias