Enero/2021
Definición
La Media Aritmética o Media de un conjunto de \(n\) números \(\{x_1, x_2, x_3, ..., x_n\}\) se representa por \(\bar{x}\) y se define como:
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}\]
Ejemplo
Si tenemos el siguiente conjunto de números \(\{8, 3, 5, 12, 10\}\), la media aritmética será:
\[\bar{x} = \frac{8 + 3 + 5 +12 + 10}{5} = \frac{38}{5} = 7.6\]
1) Es severamente afectada por valores extremos (valores muy grandes/pequeños).
Ejemplo
Supongamos que tenemos \(500\) personas con un salario diario de \(112\) USD y otras \(500\) que perciben \(120\) USD. La media salarial sería:
\[\bar{x} = \frac{500\text{x}112 + 500\text{x}120}{1000} = \frac{116,000}{1000} = 116\]
Supongamos que a este conjunto de personas agregamos a Bill Gates quien en 2015 percibió diariamente \(15,000,000\) USD y volvamos a calcular la media:
\[\bar{x} = \frac{15,000,000+500\text{x}112 + 500\text{x}120}{1001} = \frac{15,116,000}{1001} = 15,100.9\]
Con la aparición de un valor extremo la media puede cambiar notoriamente ¡Hay que tener siempre presente esto al usar la media!
2) Si a todos los valores se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.
Ejemplo
En un ejemplo anterior vimos que la media de \(\{8, 3, 5, 12, 10\}\) es \(7.6\). Si sumamos \(2\) unidades a cada elemento del conjunto tendremos \(\{10, 5, 7, 14, 12\}\) y su media será \[\bar{x} = \frac{10 + 5 + 7 + 14 + 12}{5} = 9.6 = 7.6 + 2\]
3) Si todos los valores se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Ejemplo
Usando el mismo ejemplo anterior, la media de \(\{8, 3, 5, 12, 10\}\) es \(7.6\). Si multiplicamos por \(3\) unidades cada elemento del conjunto tendremos \(\{24, 9, 15, 36, 30\}\) y su media será \[\bar{x} = \frac{24 + 9 + 15 + 36 + 30}{5} = 22.8 = 7.6\text{ x }3\]
4) No tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. Datos enteros pueden tener una media decimal.
Ejemplo
Tomemos de ejemplo el número de dientes que tiene cada integrante en una familia. Supongamos que escribimos el número de dientes de cada uno de ellos y nos resulta el siguiente conjunto \(\{32,31,24,28,32,30,32\}\). La media de dientes por persona en esta familia sería:
\[\bar{x} = \frac{32 + 31 + 24 + 28 + 32 + 30 + 32}{7} = \frac{209}{7} = 29.85\]
Podemos ver que a pesar que los datos de nuestro conjunto eran números enteros, la media tiene un valor decimal. Dar una interpretación a este resultado es complicado dada la naturaleza de nuestros datos.
Por ello, a pesar de que la Media sea la Medida de Tendencia Central por excelencia no es recomendable usarla en todos los casos.