В этом небольшом конспекте мы рассмотрим, что происходит с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, когда мы:
Пусть у нас есть дискретная случайная величина \(X\), которая описывается следующим рядом распределения:
X | 2 | 4 | 6 | 8 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.3 |
Посчитаем её математическое ожидание:
\[\text{E}(\text{X}) = 2 \times 0.1 + 4 \times 0.2 + 6 \times 0.4 + 8 \times 0.3 = 5.8.\] Визуализируем распределение случайной величины, отметив по горизонтальной оси значения \(X\), а по вертикальной — соответствующие им вероятности. Не забудем и про математическое ожидание — нанесём его на график с помощью пунктирной линии:
Теперь посчитаем дисперсию случайной величины \(X\):
\[ \text{D}(\text{X}) = \text{E}[(\text{X}-\text{E}(\text{X}))^2] = (2-5.8)^2 \times 0.1 + (4 - 5.8)^2 \times 0.2 + (6 - 5.8)^2 \times 0.4 + (8-5.8)^2 \times 0.3 = 3.56. \] Если мы опишем вычисления выше словами, мы получим следующее: чтобы получить дисперсию дискретной случайной величины, нам нужно определить, как далеко от математического ожидания находятся её значения, возвести полученные отклонения от математического ожидания в квадрат, умножить их на вероятности и всё сложить. Покажем расстояния от значений до математического ожидания на графике (расстояния не возведены в квадрат, но положительны):
Теперь рассмотрим случайную величину \(X+1\). Обновим визуализацию, кликнув на соответствующую кнопку:
Как можно заметить, все значения случайной величины увеличились на 1. То же произошло с математическим ожиданием. Так будет происходить всегда, если мы увеличиваем или уменьшаем случайную величину на какое-то число. Итак, свойство математического ожидания:
\[ \text{E}(\text{X} + \text{c}) = \text{E}(\text{X}) + \text{c}; \] \[ \text{E}(\text{X} - \text{c}) = \text{E}(\text{X}) - \text{c}, \] где \(\text{c}\) — некоторое число.
А что в этом случае происходит с дисперсией?
С дисперсией ничего не происходит. Все значения сдвигаются на 1, математическое ожидание тоже сдвигается на 1, поэтому расстояния от значений до математического ожидания не изменяются. Таким образом, мы проиллюстрировали следующее свойство дисперсии:
\[ \text{D}(\text{X + c}) = \text{D}(\text{X}); \]
\[ \text{D}(\text{X - c}) = \text{D}(\text{X}); \]
где \(\text{c}\) — некоторое число.
Перейдём к случайной величине \(2X\). Снова обновим визуализацию:
Что происходит с математическим ожиданием, когда мы умножаем случайную величину \(X\) на 2? Оно также увеличивается в два раза. Итак, ещё одно свойства математического ожидания:
\[ \text{E}(\text{cX}) = \text{cE}(\text{X}), \] где \(\text{c}\) — некоторое число.
А как при этом изменяется дисперсия? Если мы посмотрим на расстояния от значений до математического ожидания, мы заметим, что при умножении случайной величины на 2, они увеличились в два раза.
При вычислении дисперсии мы используем расстояния до математического ожидания, возведённые в квадрат. Поэтому, раз расстояния увеличились в два раза, сама дисперсия увеличилась в четыре раза (\(2^2 = 4\)). Итак, мы получили иллюстрацию следующего свойства дисперсии:
\[ \text{D(cX)} = \text{c}^2\text{D}(\text{X}), \]
где \(\text{c}\) — некоторое число.