Volatilidad de Amazon
Iván Martínez Gregorio
26 de Enero 2021
Empresa AMAZON
AMAZON es una compañía estadounidense de comercio electrónico y servicios de computación en la nube a todos los niveles con sede en la ciudad estadounidense de Seattle, Estado de Washington. Fué fundada en 1994. Actualmente, es una de las primeras grandes compañías en vender bienes a través de Internet. Está totalmente diversificada y catalogada en diferentes líneas de productos, ofreciendo DVD, CD de música, software, videojuegos, electrónica, ropa, muebles, comida, libros, etc. Es la marca de venta al por menor más valiosa del mundo según el índice BrandZ. [1]
Comportamiento de la acción de Amazon
Cuando Amazon empezó a cotizar en bolsa cada acción tenía un valor de apenas 18 dólares en los años 1997. Esto, a través de los años ha ido aumentando gracias a que la compañía de Jeff Bezos está diversificando su área de negocio hasta tal punto que la hemos visto invertir en sectores tan dispares como la alimentación (con la compra de Whole Foods), el sector sanitario y el coche eléctrico.[2]
En ela Figura 1, se puede observar el comportamiento del precio de cierre de la compañía Amazon, a partir del 02 de Enero de 2013 al 15 de Enero de 2021. La tendencia que se muestra de la emisora desde ese año es a la alza, llegando a registrar el 2 de Septiembre del 2020 un precio de cierre de $3,531.45 dolares por acción.
Figura 1. Precio de cierre de Amazon: Enero del 2013 a Enero del 2021
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo Finance
Analizando el gráfico, podemos observar que el día 12 de Marzo del 2020, presentaba un precio de cierre de $1,676.61 USD por acción, siendo éste un poco menos de la mitad, comparado al de su precio más alto historico el 2 de Septiembre. A partir de esa fecha se presenta un alza imparable que se puede atribuirle a la pandemia del SARS-CoV-2, debido a que es la fecha en la que se ordenó el confinamiento masivo en la mayoría de los países del mundo, provocando que las personas usaran la plataforma para hacer sus compras a traves de internet.
Comportamiento en rendimientos
Respecto a los rendimientos registrados por la emisora, se pueden observar 3 aglomeraciones de clústeres de volatilidad en la serie: el primero, se presenta a mediados del 2014 donde se resgitraron rendimientos de ± 10%; la siguiente aglomeración es en Junio de 2019 donde AMZN alcanzó a registrar rendimientos de ±8% y finalmente, su último clúster de volatilidad es durante el primer trimestre de 2020 comenzando a registrar ±8% de rendimientos.
Figura 2. Rendimientos de AMZN
Fuente: Elaboración propia con datos de Yahoo FinanceHistogramas
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de Amazon, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se puede identificar el número de veces o frecuencia en que los precios caen en dicho intervalo.
En la figura 3 se presentan los histogramas a niveles de la emisora; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables.
El histograma de Amazon a niveles indica que, en el periodo de muestra, el índice tuvo mayor número de repeticiones en los 350 puntos (250 repeticiones aprox). En general, el histograma no sigue una distribucion normal, debido a que los datos no forman una campana de Gauss. Los valores más extremos y con pocas repeticiones se sitúan en más de los 2000 puntos.
Figura 3. Histograma de cierre de precios de Amazon 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
En lo que refiere al histograma de los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0). El Gráfico 4 presenta el histograma de la emisora en rendimientos.
Figura 4. Histograma en rendimientos de Amazon 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Gráficos Q-Q
Un gráfico Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) permite observar cuán cerca está la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
La figura 5 muestra los gráficos Q-Q de AMZN; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Lo que se observa es que no hay una parte de la distribución que se asocie a la línea recta, pues son más los datos, sobre todo en los extremos o en las colas, y dos aglomeraciones del centro donde la distribución se “despega” de la normalidad.
Figura 5. QQ-Plot de Amazon a niveles 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
En el caso del gráfico Q-Q a rendimientos, se puede notar que, al menos en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto tiene que ver con la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), sin embargo, ambos instrumentos tuvieron días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos.
Con esta representación, no se puede garantizar la normalidad en los datos, y en lo que respecta a los instrumentos financieros, lo más normal es que no sean normales.
Figura 6. QQ-Plot de Amazon en rendimientos 
Fuente: elaboración propia con salida de R
Estacionariedad
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Pruebas de raíces unitarias
Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La figura 7 muestra los resultados de las pruebas de Amazon a niveles y rendimientos.
Figura 7. Prueba de raices unitarias
| Variable | DFA(Valor p) | Phillips−Perron(Valor p) | KPSS(Valor p) |
|---|---|---|---|
| AMZN (A niveles) | 0.7916 | 0.7649 | 0.01 |
| AMZN (En rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Interpretaciòn
En Precios:
DFA - : La serie tiene raíz unitaria
PP - : La serie tiene raíz unitaria
KPSS - : Rechazo que la serie es estacionaria
En Rendimientos
DFA - : Rechazo que la serie tiene raiz unitaria en rendimientos
PP - : Rechazo que la serie tiene raiz unitaria en rendimientos
KPSS - : La serie es estacionaria
Modelos ARIMA
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.
Figura 8. Función MA y AR 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Al revisar el correlograma, se identifican componentes de autocorrelación tanto en el proceso Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de Amazon es utilizando la función auto.arima de R, que propone una combinación de ARIMA(3,1,0) para corregir los problemas de autocorrelación.
Series: AMZN
ARIMA(3,1,0) with drift
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 drift
-0.0635 0.0105 -0.0898 1.4184
s.e. 0.0221 0.0222 0.0222 0.5530
sigma^2 estimated as 809.4: log likelihood=-9641.77
AIC=19293.54 AICc=19293.57 BIC=19321.6Figura 9. Residuales ARIMA(3,1,0) 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(3,1,0) with drift
Q* = 32.207, df = 6, p-value = 1.489e-05
Model df: 4. Total lags used: 10Fuente: Elaboración propia con salida de R
El resultado muestra que no se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(3,1,0) la H0 se rechaza. Si bien se puede realizar un pronóstico con estos resultados, se cae el riesgo de obtener resultados sesgados (debido a los problemas de autocorrelación).
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces uniarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.
Figura 10. Raices Invertidas 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Si bien el modelo es estable, los problemas de autocorrelación no han sido solventados en su totalidad, por lo que se propone el siguiente modelo.
Propuesta 1
ARIMA(1,1,13) para Amazon
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Call:
arima(x = AMZN, order = c(1, 1, 13))
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8
0.465 -0.5163 0.0362 -0.0942 0.0638 0.0048 -0.0103 0.0388 -0.0901
s.e. 0.196 0.1961 0.0275 0.0253 0.0308 0.0260 0.0255 0.0261 0.0259
ma9 ma10 ma11 ma12 ma13
0.1199 -0.0755 -0.0023 0.0065 -0.0362
s.e. 0.0284 0.0310 0.0271 0.0271 0.0235
sigma^2 estimated as 796.3: log likelihood = -9627.37, aic = 19284.73Figura 11. Residuos ARIMA(3,1,9) 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(1,1,13)
Q* = 6.9096, df = 3, p-value = 0.07484
Model df: 14. Total lags used: 17Fuente: Elaboración propia con salida de R
El modelo sigue siendo estable y ya no presenta problemas de autocorrelacion en los residuales, es decir, los residuales se distribuyen normalmente. pues,
\(p-value = 0.07484 > 0.05\)
Figura 12. Raices Invertidas 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Propuesta 2
Los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables. La propuesta del ARIMA(1,1,18) mejora significativamente el pronóstico.
Call:
arima(x = AMZN, order = c(1, 1, 18))
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8
-0.1732 0.1176 0.0077 -0.0804 0.0117 0.0081 0.0026 0.0409 -0.0516
s.e. 0.2137 0.2125 0.0256 0.0224 0.0273 0.0230 0.0225 0.0225 0.0244
ma9 ma10 ma11 ma12 ma13 ma14 ma15 ma16
0.0752 -0.0448 -0.0368 -0.0020 -0.0155 -0.0562 -0.0703 0.0031
s.e. 0.0248 0.0292 0.0260 0.0245 0.0241 0.0221 0.0267 0.0256
ma17 ma18
0.0602 0.0963
s.e. 0.0252 0.0241
sigma^2 estimated as 785.6: log likelihood = -9613.84, aic = 19267.69Correlograma del mejor modelo ARIMA
Figura 13. Residuos ARIMA(1,1,18) 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(1,1,18)
Q* = 3.1463, df = 3, p-value = 0.3696
Model df: 19. Total lags used: 22Fuente: Elaboración propia con salida de R
La figura 13 nos muestra los residuales y a continuacion su estabilidad, del cual, nos indica que el modelo es estable, pues los puntos no salen del circulo:
Figura 14. Raices Invertidas 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Por último, se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 15. Pronóstico con ARIMA(1,1,13) 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Figura 16. Pronóstico con ARIMA(1,1,18) 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Con la ayuda de las siguientes dos figuras, escogeremos cual de los dos pronosticos presenta menos diferencia y cumplen con los criterios para ser el mejor. El precio de cierre real de las acciones de Amazon es:
Figura 17. Precio de cierre real
| Fecha | Dato real |
|---|---|
| 18-ene-21 | 3120.76 |
Los pronósticos para Amazon del dia 18 de Enero es:
Figura 18. Pronóstico para el dia 18 de Enero
| ARIMA (1,1,13) | ARIMA (1,1,18) | |
|---|---|---|
| 3116.965 | 3119.499 | |
| AIC | 19284.73 | 19267.69 |
| Ljung-Box | 0.07484 | 0.3696 |
| Diferencial | 3.725 | 1.261 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R
El modelo ARIMA(1,1,18) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado (19 de Enero), ademàs de que presenta el menor criterio de Akaike. En conclusión el mejor modelo a es el ARIMA (1,1,18), pues presenta como ya mencionamos el cual tampoco presenta problemas de autocorrelaciòn en sus residuales.
Modelo ARCH - GARCH
A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Amazon. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de Amazon presentan 3 aglomeraciones de volatilidad considerables: 1) A mediados del 2014, donde se registraron rendimientos de ±10%, 2) En Junio de 2019 donde Amazon reportó con rendimientos de ±8%, y 3), la volatilidad registrada en el primer trimestre de 2020, con registros de ±8%, todo esto derivado del fuerte uso de sus plataformas debido a la pandemia desde el 2020.
Autocorrelación de los rendimientos de Amazon y prueba ARCH
Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la figura 19. Se aplica la prueba ARCH para verificar la presencia de homocedasticidad sobre los residuales al cuadrado de Amazon.
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: AMZN_R
Chi-squared = 52.172, df = 12, p-value = 5.78e-07H0: La serie No tiene efectos ARCH
Figura 19. Prueba ARCH
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH Test | 5.78E-07 | La serie No tiene efectos ARCH | Rechazo H0 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Como el valor p < 0.05 Rechazo H0 Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de Amazon
Modelos ARCH y Modelos GARCH
Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos.
Figura 20. Selección de modelo y simulación de los rendimientos
| MODELO | ωω | α1α1 | α2α2 | β1β1 | β2β2 | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0 | 0.05 | 75.416 | 75.421 | |||
| ARCH(2) | 0.000008 | 0.366436 | 0.359517 | -2.985 | -2.9767 | ||
| GARCH(1,1) | 0.000037 | 0.162525 | 0.756001 | -5.1664 | -5.1581 | ||
| GARCH(1,2) | 0.000037 | 0.162907 | 0.755554 | 0 | -5.1655 | -5.1544 | |
| GARCH(2,1) | 0.000037 | 0.158862 | 0.005993 | 0.753335 | -5.1655 | -5.1544 | |
| GARCH(2,2) | 0.000037 | 0.158941 | 0.005877 | 0.753432 | 0.000001 | -5.1645 | -5.1506 |
Fuente: Elaboración propia con salida de R
La volatilidad de Amazon se explica en un 36.64% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 35.95% por la volatilidad de hace dos días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 72% de la volatilidad de Amazon
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) se presenta en la figura 21:
Figura 21. ARCH(2) vs Rendimientos 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
La varianza condicional se explica en un 16.25% por la volatilidad de un día anterior, en un 75.60% por la varianza ajustada de un periodo.
Figura 22. GARCH(1,1) vs Rendimientos 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
Se elige el ARCH(2) y el GARCH(1,1) como los mejores modelos (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de Amazon a partir de los parámetros obtenidos.
La figura 23 muestra los resultados de la simulación.
Figura 23. Simulación del ARCH(2) y GARCH (1,1) vs rendimientos 
Fuente: Elaboración propia con salida de R
De esta manera, se logra caracterizar la volatilidad de los rendimientos de Amazon a partir de modelos ARCH-GARCH
Conclusión
En este trabajo se analizó el comportamiento de Amazon, revisando su comportamiento a niveles y en rendimientos. Posteriormente, se hicieron histogramas y gráficos Q-Q que permitieron visualizar la distribución que siguen las series y la mayor parte de la concentración tanto en precios como en rendimientos.
Luego, se realizaron pruebas de raíces unitarias para identificar la estacionariedad de las series en donde los resultados indicaron que las series, para que cumplan con este supuesto (al menos en media o un sentido débil), deben de ser integradas de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia.
Consecutivamente, se obtuvieron los correlogramas para identificar los procesos de autocorrelación de la serie, para nuestra emisora, se plantearon dos modelos, un ARIMA(1,1,13) y un ARIMA(1,1,18), el cual muestra mejores resultados, mejora autocorrelación y mejora el pronóstico.
Con base al pronóstico realizado y con una perspectiva no tan clara respecto a las economías emergentes, la incertidumbre que se vive en el mercado con la propagación del COVID-19 se recomienda una posicion de mantener o de hold.
Finalmente, vimos los modelos ARCH-GARCH permiten explicar la volatilidad de nuestra emisora, es decir, a partir de la varianza rezagada.
Por un lado, el componente ARCH indica la estructura de dependencia con los rendimientos o volatilidad pasada para explicar el activo en tanto que el componente GARCH explica la varianza ajustada del modelo.
[1] https://www.actualidadecommerce.com/que-es-amazon/
[2] https://www.muycomputerpro.com/2019/05/16/se-cumplen-22-anos-desde-la-salida-a-bolsa-de-amazon
[3] https://www.estrategia-bolsa.es/importante-asociacion-entre-engie-amazon.html