Random Experiment

隨機試驗(random experiment) :

隨機試驗是指一個無法事先預測結果的試驗，但只要重複進行同一個試驗，就能找出他平均的行為。
在機率論的說法是 \((\Omega,\mathcal{A},P)\) 為一個機率空間。

1. 樣本空間 \(\Omega\)(sample space) : 收集所有試驗可能結果的集合，試驗可能結果也叫做樣本點(sample)。

2. 事件空間 \(\mathcal{A}\)(event space) : 收集的事件的集合，事件(event)是收集那些滿足有興趣的條件的樣本點，也就是樣本空間的子集。
   *注意事件空間是collection of sets
   並不是隨便一個collection都能當作事件空間，他必須是一個\(\sigma-algebra\)，滿足下列條件

1. 空集合 \(\phi \in \mathcal{A}\)
   
2. 如果一個事件\(A \in \mathcal{A}\)，則他的補集\(A^c \in \mathcal{A}\)也是一個事件
   
3. \(\{A_n\},n=1,2,... \in \mathcal{A}\)為一個事件序列，則他的可數聯集\(\cup^\infty_{n=1}A_n \in \mathcal{A}\)也是一個事件

3. 機率測度 \(P\)(probability) :
   定義每一個事件可能的發生機率，為一個從事件空間映射到 \([0,1]\) 的函數 \(P:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]\)

舉例來說:
隨機試驗是-丟一個公正的銅板兩次，樣本空間就是\(\Omega= \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}\)，如果現在對 “丟到一次以上反面(T)的樣本點” 有興趣，事件\(A=\{(H,T),(T,H),(T,T)\}\)，事件空間在此取 \(\Omega\) 的冪集合(power set) \(2^\Omega\)。
每一個樣本點發生的機率為均等的\(P(\{(H,H)\})=P(\{(H,T)\})=P(\{(T,H)\})=P(\{(T,T)\})=\frac{1}{4}\)，則 “丟到一次以上反面” 的機率 \(P(A)=\frac{3}{4}\)。