Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

1. Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999)

2. Solución de ejercicios

2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).
Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.
Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.
Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).
a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?

¿cuál es P(120≤x≤130)?
La P(120≤x≤130)=0.50
  • Solución aritmética
a <- 120
b <- 130

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.5

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

a <- 128
b <- 136

p.x <- altura * (b-a)
p.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

Valor esperado

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"

Varianza

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

Interpretacion

la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos es de 50% mientras que la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos es del 40%.
Se espera que un vuelo promedio dure 130 minutos y tenga una dispercion de 5.77.

2.2. Caso de Licitaciones

Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).
Se determina lo siguiente: * a) Función de densidad * b) ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)? * c) ¿Cuál es la probabidiad de que sea inferior a 22 (mil dólares)? * d) ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)? * e) ¿Cuál es el valor esperado? * f) ¿Cuál es la varianza? * g) ¿Cuál es la desviación estándard? * h) ¿Qué se interpreta del caso?
a) Función de densidad
a.min <- 20
b.max <- 25
altura <- 1 / (b.max - a.min)
b). ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?

  • ¿P(22≤x≤24)?

  • La P(22≤x≤24)=0.40

  • Solución aritmética

a <- 22
b <- 24

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  22  y  24  es del: 40 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4
c) Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
  • Entonces solo 20 y 21
  • Sumar la P(X=20)+P(X=21)
  • Solución aritmética
a <- 20
b <- 22

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que sea inferior a  22  (mil dólares) es del:  40 %"
Solución por medio de la función de densidad dunif()
  • Pueden sumarse las probabilidades de P(X=20)+P(X=21)
a <- 20
b <- 22

suma <- dunif(x=a, min = a.min, max = b.max) + 
        dunif(x=a+1, min = a.min, max = b.max) # Sin contar la x=22
suma
## [1] 0.4
punif
## function (q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) 
## .Call(C_punif, q, min, max, lower.tail, log.p)
## <bytecode: 0x3405ce0>
## <environment: namespace:stats>
d) Rebase los 24 (mil dólares).
a <- 24
b <- 25

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea superior a ", a , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que sea superior a  24  (mil dólares) es del:  20 %"

e)Valor esperado

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  22.5"

f)Varianza

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  2.08"

g)Desviación

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  1.44  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  22.5"

Interpretacion

la probabilidad de que una licitación esté entre 22 y 24 mil dólareses del 40 % al igual que la probabilidad de que sea inferior a 22 mil dólares, en cambio la probabilidad de que rebase los 24 mil dolares es del 20%.
Se espera que en promedio las licitaciones sean de 22 mil quinientos dolares, y se pueda dispersar mil cuatrocientos cuarenta dolares.