Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas con variables discretas asociado a distribuciones de Poisson.

Descripción

Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación asociado a distribuciones Poisson Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas y distribuciones binomiales Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 18 encontrados en la literatura

1. Cargar librerias

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.6.3
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")
## Warning: package 'gtools' was built under R version 3.6.3

2. Ejercicios

2.1 Ejercicio 1

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí (Walpole et al., 2012).

n <- 400
prob <- 0.005

media <- n * prob

La variable aleatoria son los dias desde x=1…hasta x=n

  1. La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2
datos <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
x <- 1
prob <- datos$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

2.2 Ejercicio 2

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5 (Walpole et al., 2012).

  1. La tabla de distribución cuando media igual a 5
media <- 5

datos <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x   f.prob.x   f.acum.x
## 1   0 0.00673795 0.00673795
## 2   1 0.03368973 0.04042768
## 3   2 0.08422434 0.12465202
## 4   3 0.14037390 0.26502592
## 5   4 0.17546737 0.44049329
## 6   5 0.17546737 0.61596066
## 7   6 0.14622281 0.76218347
## 8   7 0.10444486 0.86662833
## 9   8 0.06527804 0.93190637
## 10  9 0.03626558 0.96817195
## 11 10 0.01813279 0.98630474
## 12 11 0.00824218 0.99454692
## 13 12 0.00343424 0.99798116
## 14 13 0.00132086 0.99930202
## 15 14 0.00047174 0.99977376
## 16 15 0.00015725 0.99993101
## 17 16 0.00004914 0.99998015
## 18 17 0.00001445 0.99999460
## 19 18 0.00000401 0.99999861
## 20 19 0.00000106 0.99999967
## 21 20 0.00000026 0.99999993
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
x <- 1
prob <- 1 - datos$f.acum.x[x+1]

paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

Interpretacion del caso

En este caso numero dieciocho logramos usar la famosa distribucion de Poisson en variables aleatorias discretas, recordando que, la distribución de Poisson es una distribución de proba- bilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media λ, la probabilidad que ocurra un deter- minado número de eventos durante un intervalo de tiempo dado o una región específica. Usando uso de esta distribucion pudimos encontrar de manera facil la probabilidad de un hecho en escenarios iguales pero con condiciones distintas, como se puede ver en los ejercicios anteriores.