Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

1. Cargar librerías

library(ggplot2)
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library(gtools)
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library(dplyr)
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## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)
## Warning: package 'knitr' was built under R version 3.6.3
options(scipen = 999)

2. Ejercicios

2.1 Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

Función de densidad

include_graphics("IMG/fdda.jpg")

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?
a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)

a <- 120
b <- 130

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.5
  • ¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?
a <- 128
b <- 136

p.x <- altura * (b-a)
p.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4

Valor Esperado

El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"

Varianza

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

2.2 Caso de Licitaciones

Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).

Se determina lo siguiente: * a) Función de densidad * b) ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)? * c) ¿Cuál es la probabidiad de que sea inferior a 22 (mil dólares)? * d) ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)? * e) ¿Cuál es el valor esperado? * f) ¿Cuál es la varianza? * g) ¿Cuál es la desviación estándard? * h) ¿Qué se interpreta del caso?

Función de densidad

a.min <- 20
b.max <- 25
altura <- 1 / (b.max - a.min)
include_graphics("IMG/fddb.jpg")

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?
a <- 22
b <- 24

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre  22  y  24  es del: 40 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4
  • Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
a <- 20
b <- 22

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que sea inferior a  22  (mil dólares) es del:  40 %"
  • Solución por medio de la función de densidad dunif()
a <- 20
b <- 22

suma <- dunif(x=a, min = a.min, max = b.max) + 
        dunif(x=a+1, min = a.min, max = b.max) # Sin contar la x=22
suma
## [1] 0.4

Valor Esperado

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  22.5"

Varianza

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  2.08"

Desviación

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  1.44  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  22.5"

Interpretacion de los casos

En este caso identificamos tanto las Variables aleatorias continuas como la Distribución Uniforme en cada uno de los ejercicios. Recordemos que Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor (al menos teóricamente) entre 2 fijados. Mientras que la distribución uniforme es una distribución continua que modela un rango de valores con igual probabilidad. La distribución uniforme se especifica mediante cotas inferior y superior, tal cual podemos ver en los dos ejercicios. Esto nos permitio saber la respuesta de las preguntas planteadas en cada uno de estos ejercicios.