Caso 16. Distribuciones binomiales

Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial

Descripción

Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.

1. Cargar librerías

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

source("/cloud/project/funciones/distribuciones.r")

2. Ejercicios

Ejercicio 1

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
Determinar el valor esperado y su significado
Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado
Interpretar

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

Inicializar valores

x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

Identificar la probabildiad cuando P(x=2) de la tabla Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

Identificar la probabildiad cuando P(x=3) de la tabla
Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

Ahora usar la función acumulada por la pregunta
P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

e) Determinar el valor esperado y su significado

El valor esperado de la distribución binomial: μ=n⋅p
Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  0.9"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado

La varianza en la distribución binomial: σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  0.63"

La desviación : σ=σ2−−√

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  0.79"

2.1. Ejercicio 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)
Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándard

a) Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

Inicializar valores

x <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- 6
exito <- 0.55

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

valor.x <- 4
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 4 0.2779502 0.8281288

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  4  es igual a :  0.277950234375"

c)Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

valor.x <- 6
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 6 0.02768064 0.9916962

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  6  es igual a :  0.027680640625"

d)Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.5501786

paste("La probabilidad de enceste almenos  ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de enceste almenos   3  es igual a :  0.550178578125"

e) Determinar el valor esperado

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  3.3"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  1.48"

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.22"

2.3. Ejercicio 3

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enferme dad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,

Determine tabla de probabilidad de 1 al 15
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho, y
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?
¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?
¿Cual es la varianza y la desviación estándar?

a)Determine tabla de probabilidad de 1 al 15

Inicializar valores

x <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
n <- 15
exito <- 0.4

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##     x     f.prob.x   f.acum.x
## 1   1 4.701850e-03 0.00470185
## 2   2 2.194197e-02 0.02664382
## 3   3 6.338790e-02 0.09003172
## 4   4 1.267758e-01 0.21680752
## 5   5 1.859378e-01 0.40274537
## 6   6 2.065976e-01 0.60934297
## 7   7 1.770837e-01 0.78642663
## 8   8 1.180558e-01 0.90448241
## 9   9 6.121411e-02 0.96569651
## 10 10 2.448564e-02 0.99018215
## 11 11 7.419892e-03 0.99760205
## 12 12 1.648865e-03 0.99925091
## 13 13 2.536715e-04 0.99950458
## 14 14 2.415919e-05 0.99952874
## 15 15 1.073742e-06 0.99952982

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##     x     f.prob.x   f.acum.x
## 1   1 4.701850e-03 0.00470185
## 2   2 2.194197e-02 0.02664382
## 3   3 6.338790e-02 0.09003172
## 4   4 1.267758e-01 0.21680752
## 5   5 1.859378e-01 0.40274537
## 6   6 2.065976e-01 0.60934297
## 7   7 1.770837e-01 0.78642663
## 8   8 1.180558e-01 0.90448241
## 9   9 6.121411e-02 0.96569651
## 10 10 2.448564e-02 0.99018215
## 11 11 7.419892e-03 0.99760205
## 12 12 1.648865e-03 0.99925091
## 13 13 2.536715e-04 0.99950458
## 14 14 2.415919e-05 0.99952874
## 15 15 1.073742e-06 0.99952982

b)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez?

valor.x <- 10
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 11
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 12
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 13
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 14
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 15
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##    x  f.prob.x f.acum.x
## 1 75 0.0338333 5.985598

paste("La probabilidad de que sobrevivan al menos 10 es es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad de que sobrevivan al menos 10 es es igual a :  0.033833302884352"

c)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho?

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 4
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 5
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 6
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 7
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 

valor.x <- 8
la.probabilidad <- la.probabilidad + filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##    x  f.prob.x f.acum.x
## 1 33 0.8778386 3.009837

paste("La probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8 es es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8 es es igual a :  0.877838591066112"

d)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

valor.x <- 5
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 5 0.1859378 0.4027454

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  5  es igual a :  0.402745365430272"

e) Determinar el valor esperado

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  6"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  3.6"

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.9"

Interpretacion del caso

En el ejercicio 1 la probabilidad de que compren dos clientes es muy baja, tan solo del 18%, en cambio la probabilidad de que compren los tres próximos clientes es aun mas baja, es del 27%, y se espera que se realice al menos una compra por cliente.

En el ejercicio 2 la probabilidad de que enceste 4 o 6 veces es de 27%, mientras que la probabilidad de que enceste 3 veces es del 55%. y se espera que enceste al menos 3 de los 6 tiros que haga.

En el ejercicio 3 la probabilidad de que sobrevivan al menos 10 personas es muy baja, apenas del 3.38%, mientras que la probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8 personas es del 87%, y la probabilidad de que sobrevivan exactamente 5 es del 40%. y se espera que de las 15 personas enfermas al menos sobrevivan 6 o el 40%.

Caso 16. Distribuciones binomiales

Jesus Javier Gomez Soto

17/1/2021

Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial

Descripción

Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.

1. Cargar librerías

2. Ejercicios

Ejercicio 1

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

e) Determinar el valor esperado y su significado

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado

2.1. Ejercicio 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

a) Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

c)Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

d)Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

e) Determinar el valor esperado

f) Determinar la varianza y la desviación estándar

2.3. Ejercicio 3

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enferme dad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,

a)Determine tabla de probabilidad de 1 al 15

b)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez?

c)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho?

d)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

e) Determinar el valor esperado

f) Determinar la varianza y la desviación estándar

Interpretacion del caso

En el ejercicio 1 la probabilidad de que compren dos clientes es muy baja, tan solo del 18%, en cambio la probabilidad de que compren los tres próximos clientes es aun mas baja, es del 27%, y se espera que se realice al menos una compra por cliente.

En el ejercicio 2 la probabilidad de que enceste 4 o 6 veces es de 27%, mientras que la probabilidad de que enceste 3 veces es del 55%. y se espera que enceste al menos 3 de los 6 tiros que haga.