Caso 14. Variables aleatorias discretas.
Jairo Ruiz
07/11/2020
Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas y visualización gráficas relacionados con variables discretas.
Descripción
Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada y su visualización gráfica para su adecuada interpretación.
1. Cargar Librerias
library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.6.3library(stringr)## Warning: package 'stringr' was built under R version 3.6.3library(stringi)
library(gtools)## Warning: package 'gtools' was built under R version 3.6.3library(dplyr)## Warning: package 'dplyr' was built under R version 3.6.3##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 3.6.32. Ejercicios
2.1 Ejercicio 1
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Hero, n.d.)
Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000
casos <- c(4997,3)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0 4997 0.9994 0.9994
## 2 1 3 0.0006 1.0000Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line()
2.2. Ejercicio 2
Las ventas de automóviles de una empresa
Durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo
54 días en los que no se vendió ningún automóvil,
117 días en los que se vendió 1 automóvil,
72 días en los que se vendieron 2 automóviles,
42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y
3 días en los que se vendieron 5 automóviles.
¿Cuál es la probabilida de que se venda exactamente un automoviles?
¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos 2 automóviles?
Tabla de probabilidad o Contingencia
discretas <- 0:5 # c(0,1,2,3,4,5)
n <- 300
casos <- c(54, 117, 72, 42, 12, 3)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0 54 0.18 0.18
## 2 1 117 0.39 0.57
## 3 2 72 0.24 0.81
## 4 3 42 0.14 0.95
## 5 4 12 0.04 0.99
## 6 5 3 0.01 1.00Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
#geom_bar(stat="identity")
geom_bar(stat="identity")
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line() 
2.3. Ejercicio 3
En Estados Unidos un porcentaje de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad. La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las edades de entre 6 y 14 años, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado.(Anderson et al., 2008)
- ¿Cuál es la probabilida de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años?
- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos por de 11 años o menos?
Tabla de probabilidad o Contingencia
discretas <- 6:14
casos <- c(37369, 87436, 160840,239719,286719,306533,310787,302604,289168)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 6 37369 0.01848875 0.01848875
## 2 7 87436 0.04325998 0.06174874
## 3 8 160840 0.07957747 0.14132621
## 4 9 239719 0.11860378 0.25992999
## 5 10 286719 0.14185758 0.40178757
## 6 11 306533 0.15166079 0.55344837
## 7 12 310787 0.15376551 0.70721387
## 8 13 302604 0.14971687 0.85693075
## 9 14 289168 0.14306925 1.00000000¿Cuál es la probabilida de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años? es: 14.18%
¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos por de 11 años o menos? 55.34%
Gráfica de barras
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line()
2.4. Ejercicio 4.
Se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).(Anderson et al., 2008)
include_graphics("IMG/satisfaccion en el trabajo ejecutivos.jpg")
Imagen. Satisfacción en el trabajo de ejecutivos. (Anderson et al., 2008)
Para directivos de alto nivel
Tabla de probabilidad o Contingencia
discretas <- 1:5
#n <- '?'
casos <- c(5,9,3,42,41)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades)
tabla1 <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla1## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1 5 0.05 0.05
## 2 2 9 0.09 0.14
## 3 3 3 0.03 0.17
## 4 4 42 0.42 0.59
## 5 5 41 0.41 1.00paste("La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es:", round(sum(tabla1$f.prob.x[4], tabla1$f.prob.x[5]) * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es: 83 %"Gráfica de barra
ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Para directivos de nivel medio
¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho?
discretas <- 1:5
#n <- '?'
casos <- c(4, 10, 12, 46, 28)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades)
tabla2 <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla2## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1 4 0.04 0.04
## 2 2 10 0.10 0.14
## 3 3 12 0.12 0.26
## 4 4 46 0.46 0.72
## 5 5 28 0.28 1.00paste(" La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es:", round(tabla2$f.prob.x[5] * 100, 2), "%")## [1] " La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es: 28 %"Gráfica de barra
ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Observando las gráficas de barras y las tablas de probabilidad, los directivos de alto nivel están más satisfechos con el trabajo.
Interpretación dele caso
En este caso podemos observar el uso de las variables aleatorias discretas en cada uno de los casos. Para saber a que nos referimos debemos tomar en cuenta que Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio.De igual manera Una variable aleatoria es discreta cuando su campo de variación (dominio de definición) está constituido por un conjunto finito o infinito numerable de valores posibles. Cada suceso de W se corresponde con un valor. De igual manera Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones o cualquier tipo de elementos. Estos mientras esten en el espacio muestral que se esta estudiando. Cuando se habla de espacio muestral, nos referimos a todos los elementos de la muestra tomada. Por ejemplo en el ejercicio 1 los 5000 boletos o en el ejercicio 2 los 240 lanzamientos. Cabe mencionar que dentro del espacio muestral se puede tomar toda la poblacion entera para el estudio, esto dependiendo de la persona realizando el estudio, sin embargo no se recomienda pues puede llegar a ser muy tardado y por lo general inecesario.