Summary

대부분의 통계 방법은 자료가 정규분포라는 가정하에 계산을 한다. 만약 어떤 표본이 정규분포라는 가정을 할 수 있다면 여러가지 통계방법을 적용할 수 있어 편리하다.

모집단에서 추출되는 샘플들의 갯수가 충분히 많고, 각 샘플링 될때 마다의 합 또는 평균을 구해서 그에 대한 분포를 그려보면 정규본포 곡선과 비슷해진다. 이것을 중심극한정리 라고 한다.

여기에서 중요한 점은 샘플링 될 때의 샘플들 갯수가 중요하다.

샘플의 수가 1개: 표본의 분포는 모집단의 분포와 비슷한 형태가 된다.
샘플의 수가 2개 이상: 표본의 분포는 정규분포와 유사한 형태가 된다.
샘플의 수가 많으면 많을수록: 표본의 분포는 정규분포와 더욱 유사한 형태가 된다.

예를 들어, 한 반의 학생이 60명인데 국어 시험을 보았다. 시험은 20점 만점이다. 2명에게 무작위로 점수를 물어보고 평균을 낸 다음, 이와 같은 행위를 1000번 정도 하면 표본의 평균이 1000개가 생기게 된다. 이 1000번에 대한 분포를 히스토그램으로 보면 평균에 해당하는 히스토그램 막대가 가장 높이 나타난다. 그리고 정규분포와 같은 종모양의 분포가 보여진다.

샘플링: 모집단에서 일정한 갯수의 샘플을 추출하는 행위

N: 모집단의 갯수
S1: 샘플 사이즈, 한번 샘플링될 때 추출되는 샘플의 수
S2: 샘플링 횟수

샘플 사이즈를 커지면, 표본평균에 대한 분산의 크기는 작아진다.

my_simulation <- function (score, S1, S2) {
  y <- NULL
  y <- sapply(1:S2, function(i) mean(sample(score, S1, replace = TRUE)))
  mean(y)
  sd(y)
  hist(y, main=paste0("sample 수: ", S1, ", sampling 수: ", S2))
}

set.seed(1234)

N <- 60
score <- sample(1:20, N, replace=TRUE)
score

##  [1] 16  5 12 15  9  5  6 16  4  2  7  6 15 14 20 14  4  4  8 20  3  4  5  2 15
## [26]  8 20 16 12  3  9 19  4  8 10 11  2 15 17  6 19  6 17 17  8 17  8 10 15  3
## [51]  9 16  3 10 13  3 19 18  6 20

# 모집단에 대한 평균과 분포를 확인한다.
mean(score)

## [1] 10.46667

sd(score)

## [1] 5.84102

hist(score)

# 1명을 복원추출로 뽑아서 평균을 계산하고, 이를 1000번 반복한다.
S1 <- 1
S2 <- 1000
my_simulation(score, S1, S2)

# 2명을 복원추출로 뽑아서 평균을 계산하고, 이를 1000번 반복한다.
S1 <- 2
S2 <- 1000
my_simulation(score, S1, S2)

# 2명을 복원추출로 뽑아서 평균을 계산하고, 이를 5000번 반복한다.
S1 <- 2
S2 <- 5000
my_simulation(score, S1, S2)

이번에는 30명을 복원추출로 뽑아서 평균을 계산하고, 이를 1000번 반복한다.

S1 <- 30
S2 <- 1000
my_simulation(score, S1, S2)

Central Limit Theorem 중심극한정리

Kong, Seok-kyu

2015년 9월 5일

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