Uvod

Osnovni namen tega prispevka je ugotoviti, kakšna je povezava med deleži cepljenja v neki populaciji ali skupini glede na dinamiko širjenja nalezljive bolezni. Osnovni predpostavki sta, da cepljenje popolnoma zaustavi širjenje bolezni in da je cepivo učinkovito dolgo časovno obdobje. To z drugimi besedami pomeni, da se ljudje, ki so bil cepljeni izločajo iz skupine dovzetnih za bolezen.

Model SIR in reprodukcijsko število

Model SIR, ki je prikazan na spodnji sliki, je osnovni epidemiološki model.

Prehajanje med skupinami dovzetnih (S), okuženih (I) in ozdravljenih (R) je definirano s sistemom diferencialnih enačb: \[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta S I\\ \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \gamma I\\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I \\ \end{aligned} \]

Model SIR ima dva parametra. Parameter \(\beta\) predstavlja stopnjo prenosa nalezljive bolezni in predstavlja količino, koliko oseb v povprečju okuži ena okužena oseba na dan. Parameter \(\gamma\) se imenuje stopnja ozdravitve in predstavlja količino, ki pove, v kolikšnem času se okužena oseba izloči iz skupine okuženih, torej ozdravi. Običajno parameter \(\gamma\) podamo kar s povprečnim časom ozdravitve \(T_z\) in ga izračunamo kot \(\gamma = 1/T_z\).

Iz obeh parametrov lahko izračunamo osnovno reprodukcijsko število \(R_0\) kot razmerje med stopnjo prenosa in stopnjo ozdravitve \(R_0 = \beta/\gamma\). Osnovna lastnost reprodukcijskega števila je, da če je \(\beta = \gamma\) ali \(R_0 = \beta/\gamma = 1\), to pomeni, da se je okužilo toliko ljudi kot se jih ozdravi in se torej število okuženih ne povečuje, niti ne zmanjšuje, iz česar pomeni, da je število okuženih konstantno. V primeru, ko je \(R_0 < 1\), število okuženih upada, v primeru, ko je \(R_0 > 1\) pa število okuženih narašča.

Poglejmo si primer. Denimo, da imamo stopnjo prenosa \(\beta = 0.25\) na dan. To pomeni, da ena oseba okuži 0.25 osebe na dan. Predpostavimo še, da je čas ozdravitve okuženega \(T_z = 12\) dni, potem lahko izračunamo stopnjo ozdravitve kot \(\gamma = 1/T_z = 1/12\) na dan. To lahko razumemo, da se oseba zdravi s stopnjo ozdravitve \(1/12\) na dan, torej ozdravi v 12 dnevih. V tem primeru lahko izračunamo reprodukcijsko število kot \(R_0 = \beta/\gamma = \frac{0.25}{1/12} = 0.25\cdot 12 = 3.0\). To pomeni, da ena oseba v povprečju okuži 3.0 osebe v svojem času trajanja okužbe.

Primer poteka krivulje okuženih po SIR modelu je v primeru \(\beta = 0.25, \gamma = 1/T_z = 1/12\) in posledično \(R_0 = 3\) prikazan na spodnjem grafu.

Če z ukrepi, kot so izločanje okuženih, zdravljenje, cepljenje ipd. ne vplivamo na širjenje nalezljive bolezni, ima vsaka bolezen svoje tipično reprodukcijsko število \(R_0\), (Keeling and Rohani 2008, Tabela 2.1, str. 21). Za COVID 19 se ocenjuje \(R_0\) približno na 2.87 . V našem primeru bomo zato predpostavili \(R_0 = 3.0\).

Čredna imunost in cepljenje

Čredna imunost je pojem, ki se pojavlja skupaj s precepljenostjo populacije.

Poglejmo si primer na spodnji sliki.

Prikaz širjenja nalezljive bolezni v primeru, če je \(R_0=3\) in imamo v populaciji dovolj doveztnih za okužbo (levo) in v primeru, ko je delež dovzetnih zmanjšan za \((R_0-1)/R_0 = 1 - 1/R_0 = 2/3\) (desno). Povzeto po (Fine, Eames, and Heymann 2011)

Na sliki levo je primer, ko je \(R_0 = 3\) in imamo dovolj dovzetnih za okužbo, bo v prvi iteraciji ena oseba okužila 3 osebe in v naslednji vsaka od teh štirih še naprej tri itn. Na sliki desno pa je primer, ko že imamo imune (prekužene ali precepljene) osebe v dovzetni populaciji. Denimo, da imamo v primeru \(R_0 =3\) imune že 2/3 dovzetne populacije. To pomeni, da bi morala vsaka okužena oseba okužiti v nadaljevanju 3 osebe, ampak ker so od teh treh 2 že imuna (zelene točke na sliki), pomeni, da lahko okuži samo 1 in tako naprej v naslednji iteraciji. Torej se navkljub \(R_0 = 3\), okužba širi konstantno naprej, v vsaki iteraciji se okuži le ena oseba (efektivni R je 1).

Kako smo prišli do deleža \(2/3\)? V splošnem, če imamo reprodukcijsko število \(R_0\), to pomeni, da ena oseba okuži \(R_0\) oseb v nadaljevanju. Kako moramo zmanjšati delež dovzetnih, da bo ena oseba okužila v povprečju največ eno osebo v nadaljevanju? To pomeni, da bo ta oseba imela na voljo le 1 osebo za kuženje, preostale \(R_0 -1\) osebe pa morajo biti imune na okužbo. To pomeni, da mora predstavljati delež imunih \((R_0-1)/R_0\) v vsaki skupini dovzetnih, da se okužba širi konstantno hitro po populaciji. V primeru, ko je \(R_0 =3\), je to potem \((R_0-1)/R_0 = 2/3\) dovzetne populacije.

Torej bo v primeru, ko bo delež imunih v populaciji enak \((R_0-1)/R_0 = 1 - 1/R_0\), bo to pomenilo, da se okužba širi konstantno naprej. Ta deleža tako predstavlja mejni delež imunih v populaciji, da se okužba ne širi eksponentno hitro, ampak konstantno. V primeru, ko je delež imunih večji, kot je mejni delež, potem se okužba širi v povprečju na manj kot eno osebo in tako širjenje okužbe upada.

Ko delež imunih na bolezen doseže mejni delež \(1 - 1/R_0\) dovzetne populacije, pravimo, da smo dosegli čredno imunost. Če predpostavimo, da je v primeru COVID19 reprodukcijsko število \(R_0\) okoli 3, potem dosežemo čredno imunost pri \(1 - 1/R_0 = 1 - 1/3 = 2/3\) imunih v populaciji.

Seveda pri tem predpostavljamo, da je širjenje nalezljive bolezni naključno in se populacija dovzetnih meša enakomerno (to imenujemo homogenost širjenja okužbe), kar v praksi ni vedno izpolnjeno. Zato ta meja predstavlja ciljno mejo prekuženosti ali precepljenosti populacije, da širjenje nalezljive bolezni lahko obvladujemo (Fine 1993).

V primeru, da s cepljenjem dosežemo imunost na nalezljivo bolezen, potem moramo precepiti najmanj mejni delež \(1 - 1/R_0\) dovzetne populacije, da dosežemo čredno imunost populacije in preprečimo širjenje nalezljive bolezni.

Mejni deleži čredne imunosti pri različnih \(R_0\) je prikazan na spodnjem grafu.

Simulirajmo poteke krivulje okuženih s SIR modelom, če odstranimo deleže populacije, za katere predpostavljamo, da so imune na nalezljivo bolezen v primeru \(R_0=3.0\).

Uporabljen model za simulacijo

Model je povzet po (Keeling and Rohani 2008, str. 297).

Prehode med skupinami SIR modela opišemo s sistemom naslednjih diferencialnih enačb:

\[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta(t)I S - u(t)\\ \frac{dI}{dt} &= \beta(t)I S - \gamma I\\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I \\ \frac{dV}{dt} &= u(t) \end{aligned} \]

Vpliv deleža cepljenja na krivuljo okuženih, če se cepljenje začne sočasno s širjenjem

Tu predpostavimo, da je čas začetka cepljenja ob začetku širjenja epidemije.

Vpliv deleža cepljenja na krivuljo okuženih, če se cepljenje začne po začetku širjenja epidemije

Tu predpostavimo, da je čas začetka cepljenja 50 dni po začetku širjenja epidemije.

Kaj lahko sklepamo iz rezultatov simulacij

Omejitve modeliranja

Namen prispevka je bil določiti spodnje meje precepljenosti populacije v “idealnih okoliščinah”, to je v primeru, ko s cepivom popolnoma zaustavimo širjenje virusa in cepimo predpostavljeni delež ljudi ob istem času. Dodatna predpostavka je tudi, da so cepljene osebe dlje časa imune na bolezen. V našem primeru je ta čas postavljen na 1 leto. Te predpostavke v praksi niso vedno vse izpolnjene. Zato lahko rezultate obravnavamo zgolj kot ocene spodnjih mej precepljenosti populacije na širjenje nalezljive bolezni. Vsaka dodatna neizpolnjena predpostavka lahko te meje samo še poveča.