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#Objetivo.
#Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas con variables discretas asociado a distribuciones de Poisson.
#Descripción.
#Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación asociado a distribuciones Poisson.
#Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas y distribuciones binomiales.
#Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 18 encontrados en la literatura.



#1. Cargar librerías.

library(ggplot2)
library(knitr)

#2. Ejercicio 1.
#Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5 (Walpole et al., 2012).


media <- 5
datos <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

kable(datos, caption = "Tabla de distribución cuando media igual a 5")
Tabla de distribución cuando media igual a 5
x f.prob.x f.acum.x
0 0.0067380 0.0067380
1 0.0336897 0.0404277
2 0.0842243 0.1246520
3 0.1403739 0.2650259
4 0.1754674 0.4404933
5 0.1754674 0.6159607
6 0.1462228 0.7621835
7 0.1044449 0.8666283
8 0.0652780 0.9319064
9 0.0362656 0.9681720
10 0.0181328 0.9863047
11 0.0082422 0.9945469
12 0.0034342 0.9979812
13 0.0013209 0.9993020
14 0.0004717 0.9997738
15 0.0001572 0.9999310
16 0.0000491 0.9999802
17 0.0000145 0.9999946
18 0.0000040 0.9999986
19 0.0000011 0.9999997
20 0.0000003 0.9999999 
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "yellow") +
  geom_line(colour = 'black')

#a) ¿Cuál es la probabilidad de que, maximo 3 automóviles por año sufran una catástrofe?

#P(X≥3)
#El índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla


x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]

paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"
#b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

#P(X≤1)

#El indice en la taba comienza en cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:

x <- 1
prob <- 1 - datos$f.acum.x[x+1]

paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"
#3. Ejercicio 2.
#Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(Anderson et al., 2008)
#Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
#Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
#Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.




datos <- data.frame(x=1:20, f.prob.x = round(dpois(x = 1:20, lambda = 10),4))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

kable(datos, caption = "Tabla de probabilidad")
Tabla de probabilidad
x f.prob.x f.acum.x
1 0.0005 0.0005
2 0.0023 0.0028
3 0.0076 0.0104
4 0.0189 0.0293
5 0.0378 0.0671
6 0.0631 0.1302
7 0.0901 0.2203
8 0.1126 0.3329
9 0.1251 0.4580
10 0.1251 0.5831
11 0.1137 0.6968
12 0.0948 0.7916
13 0.0729 0.8645
14 0.0521 0.9166
15 0.0347 0.9513
16 0.0217 0.9730
17 0.0128 0.9858
18 0.0071 0.9929
19 0.0037 0.9966
20 0.0019 0.9985 
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "green") +
  geom_line(colour = 'pink')

#a) Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos,x=5,y se obtiene:
#P(X=5)

paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", datos$f.prob.x[5])
## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
#b) ¿Cual es la probabilidad de que sea x menor o igual a diez?

#P(X≤10)

paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", datos$f.acum[10])
## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.5831"
#4. Conclusión.
#Con las variables aleatorias discretas somos capaces de determinar dentro de un numero finito de posibilidades un universo de probabilidades dependiendo del valor que la variable pueda tomar, con estas posibilidades podremos determinar la posibilidad de que uno o varios eventos sucedan así como determinar una probabilidad acumulada de todos los eventos, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta