Cours INAT - Analyse multivarié
Ben Messaoud Haifa
04/12/2020
Plan du cours
- Tests statistiques
- Comment faire une ACP
- Comment faire une ANOVA
Test statistiques : Test de moyenne
Le test de student (ou t-test) est utilisé pour comparer deux moyennes ou pour comparer une moyenne observée m à une valeur théorique mu. Il existe différents variants du test de student:
Le test de student pour échantillons unique (ou one-sample t-test en anglais), utilisé pour comparer une moyenne observée à une valeur théorique.
Le test de student non-apparié, utilisé pour comparer les moyennes de deux groupes d’échantillons indépendants
Le test de student apparié, utilisé pour comparer les moyennes de deux séries appariés.
# poids des femmes
x<- round(rnorm(10, mean=57, sd=15), 1)
# Poids des hommes
y <- round(rnorm(10, mean=75, sd=15), 1)
d<-as.data.frame(list(
group=c(rep("Femme", 10), rep("Homme", 10)),
poids=c(x, y)
))
head(d)
## group poids
## 1 Femme 49.9
## 2 Femme 60.8
## 3 Femme 31.9
## 4 Femme 55.1
## 5 Femme 54.7
## 6 Femme 56.7
res<-t.test(x, y, var.equal=TRUE)
res
##
## Two Sample t-test
##
## data: x and y
## t = -4.2398, df = 18, p-value = 0.0004927
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -38.53971 -13.00029
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 54.62 80.39
Test statistiques : Test de moyenne
# Affichage de la p-value
res$p.value
## [1] 0.0004927124
# Affichage de la moyenne
res$estimate
## mean of x mean of y
## 54.62 80.39
# Affichage de l'intervalle de confiance
res$conf.int
## [1] -38.53971 -13.00029
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
Test statistiques : Test de khi deux
L’hypothèse nulle (H0) est : le fait de connaître l’appartenance d’un individu à une population (selon un critère) ne donne aucun indice sur la caractéristique qui le défini selon l’autre critère.
Par exemple : est-ce que le fait de connaître la couleur des yeux de quelqu’un me permet de supposer sur son sexe ?
Rèponse : non.
Par exemple : est-ce que le fait de connaître la taille de quelqu’un permet de supposer sur son sexe ? Réponse : oui, plus un individu est petit, plus il y a des chances que ce soit une femme.
Résultats La p-value donne la probabilité de validation de H0
Plus la p-value est petite, plus il y a un lien entre les critères (et donc pas d’indépendance)
# Créations des vecteurs correspondant à 2 catégories et pour chaque catégories 4 tranches salariales :
hommes = c(50,70,110,60)
femmes = c(80,75,100,30)
# Création d'une matrice des effectifs comparative :
tableau = matrix(c(hommes, femmes),2,4,byrow=T) # (2 : nombre de lignes et 4 nombres de colonnes (tranches salariales))
tableau
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 50 70 110 60
## [2,] 80 75 100 30
# Réalisation du test khi-deux - les résultats sont sauvegardés dans "khi_test"
test = chisq.test(tableau)
test # affiche le résultat du test
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tableau
## X-squared = 17.53, df = 3, p-value = 0.0005499
Test statistiques : Test de Shapiro-Wilk
Le test de Shapiro-Wilk est un test permettant de savoir si une série de données suit une loi normale.
Hypothèse nulle : l’échantillon suit une loi normale. Par conséquent si la p-value du test est significative, l’échantillon ne suit pas une loi normale.
shapiro.test(rnorm(100, mean = 5, sd = 3))
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: rnorm(100, mean = 5, sd = 3)
## W = 0.99144, p-value = 0.7795
L’exemple ci-dessus renvoie une p-value non significative. L’échantillon suit donc une loi normale.
Standardisation des données
Dans l’analyse en composantes principales, les variables sont souvent normalisées. Ceci est particulièrement recommandé lorsque les variables sont mesurées dans différentes unités (par exemple: kilogrammes, kilomètres, centimètres, …); sinon, le résultat de l’ACP obtenue sera fortement affecté.
L’objectif est de rendre les variables comparables. Généralement, les variables sont normalisées de manière à ce qu’elles aient au final i) un écart type égal à un et ii) une moyenne égale à zéro.
Techniquement, l’approche consiste à transformer les données en soustrayant à chaque valeur une valeur de référence (la moyenne de la variable) et en la divisant par l’écart type. A l’issue de cette transformation les données obtenues sont dites données centrées-réduites. L’ACP appliquée à ces données transformées est appelée ACP normée.
La standardisation des données est une approche beaucoup utilisée dans le contexte de l’analyse des données d’expression de gènes avant les analyses de type PCA et de clustering.
Lors de la normalisation des variables, les données peuvent être transformées comme suit:
xi−mean(x)sd(x)
Où mean(x) est la moyenne des valeurs de x, et sd(x) est l’écart type (SD).
La fonction scale() peut être utilisée pour normaliser les données.
PCA(decathlon2.active, scale.unit = TRUE, ncp = 5, graph = TRUE)
## **Results for the Principal Component Analysis (PCA)**
## The analysis was performed on 23 individuals, described by 10 variables
## *The results are available in the following objects:
##
## name description
## 1 "$eig" "eigenvalues"
## 2 "$var" "results for the variables"
## 3 "$var$coord" "coord. for the variables"
## 4 "$var$cor" "correlations variables - dimensions"
## 5 "$var$cos2" "cos2 for the variables"
## 6 "$var$contrib" "contributions of the variables"
## 7 "$ind" "results for the individuals"
## 8 "$ind$coord" "coord. for the individuals"
## 9 "$ind$cos2" "cos2 for the individuals"
## 10 "$ind$contrib" "contributions of the individuals"
## 11 "$call" "summary statistics"
## 12 "$call$centre" "mean of the variables"
## 13 "$call$ecart.type" "standard error of the variables"
## 14 "$call$row.w" "weights for the individuals"
## 15 "$call$col.w" "weights for the variables"
Comment faire une ACP