Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.
Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.
library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
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## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
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## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.3options(scipen = 999) # Notación normal2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).
Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.
Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.
Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).
Función de densidad
a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? ¿cuál es \[P(120≤x≤130)?\]
La P(120≤x≤130)=0.50
Solución aritmética
a <- 120
b <- 130
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos es del: 50 %"solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.5¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? \[ ¿cuál es P(128≤x≤136)? \] \[ La P(128≤x≤138)=0.40 \]
a <- 128
b <- 136
p.x <- altura * (b-a)
p.x## [1] 0.4paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 128 y 136 minutos es del: 40 %"Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.4Valor esperado \[ E(x)=(120+140)/(2)=130 \]
VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 130"El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión. Varianza \[ Var(x)=(140−120)/(212)=33.33 \]
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 33.33"Desviación \[ α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77 \]
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 5.77 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 130"En este ejercicio podemos observar el comportamiento de la variable de acuerdo al tamaño del intervalo, entre mas grande el intervalo, serás mas grande la probabilidad, ya que estan directamente relacionadas.
2.2. Caso de Licitaciones Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).
Se determina lo siguiente: * a) Función de densidad \[ f(x)={125−20=150,para 20≤x≤25,,en cualquier otro caso \] * b) ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)? 0.4 * c) ¿Cuál es la probabidiad de que sea inferior a 22 (mil dólares)? La probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares) es del: 40 % * d) ¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?
a <- 20
b <- 24
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que rebase a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que rebase a 24 (mil dólares) es del: 20 %"VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 130"varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 33.33"ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 5.77 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 130"Función de densidad
a.min <- 20
b.max <- 25
altura <- 1 / (b.max - a.min)Solución aritmética
a <- 22
b <- 24
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 es del: 40 %"Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.4a <- 20
b <- 22
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares) es del: 40 %"Solución por medio de la función de densidad dunif() Pueden sumarse las probabilidades de \[P(X=20)+P(X=21)\] o Utilizar al argumento
a <- 20
b <- 22
suma <- dunif(x=a, min = a.min, max = b.max) +
dunif(x=a+1, min = a.min, max = b.max) # Sin contar la x=22
suma## [1] 0.4punif## function (q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## .Call(C_punif, q, min, max, lower.tail, log.p)
## <bytecode: 0x0000000019cd4be0>
## <environment: namespace:stats>Como en el caso anterior, las cifras van cambiando en relación a los valores que sean introducidos.