CASO 16. Variables Aletorias Continuas. Distribución Uniforme

Objetivo:

Resolver aspectos de casos de probabilidad en variables aleatorias continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme. Determinar, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas

Descripción:

Identificar casos relacionados con variables continuas y distribuciones de probabilidad uniforme para elaborar mediante programación R y markdown. Se incluye en el caso, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas. Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias continuas y distribución de probabilidad uniforme. Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 16 encontrados en la literatura.

Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme:

f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,,en cualquier otro caso

Valor Esperado:

            $E(x)=(a+b)2$

Varianza:

          $Var(x)=(b−a)212$

Desviación:

          $α=Var(x)−−−−−−√$

PASO 1. Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

PASO 2. Solución de ejercicios, Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

PASO 2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

Función de densidad

a.min = 120
b.max = 140
altura = 1 / (b.max -a.min)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?

¿cuál es P(120≤x≤130)?

La P(120≤x≤130)=0.50

Solución aritmética

a = 120
b = 130

p.x = altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x = (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.5

¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

¿Cuál es P(128≤x≤136)?

La P(128≤x≤138)=0.40

a = 128
b = 136

p.x = altura * (b-a)
p.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x = (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4

Valor esperado

E(x)=(120+140)2=130

VE = (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"

El valor esperado es: el tiempo medio en que puede llegar el avión.

Varianza

Var(x)=(140−120)212=33.33

varianza.x = (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación

α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77

ds = sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

** PASO 2.2** Ejercicio 2

Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto.

Obtendremos los siguientes relojes en cuestio de reloj minimo y reloj maxico que es el tiempo

relojmin = 0
relojmaximo = 60
manecillas = 1 / (relojmaximo -relojmin)

Probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos P(0 ≤ x ≤ 25)

Reloj1 = 0
Reloj2 = 25

p.x = manecillas * (Reloj2-Reloj1)
paste("La Probabilidad de que el reloj se detenga entre ", Reloj1 , " y ", Reloj2, " minutos es del:", round(p.x * 100,2), "%")
## [1] "La Probabilidad de que el reloj se detenga entre  0  y  25  minutos es del: 41.67 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x = (Reloj2 - Reloj1) * dunif(x = Reloj1, min = relojmin, max = relojmaximo) 

p.x
## [1] 0.4166667

Valor esperado

VE = (relojmin + relojmaximo) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  30"

El valor esperado es: el tiempo medio en que puede tardar las manecillas.

Varianza

varianza.x = (relojmaximo - relojmin)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  300"

Desviación

ds = sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  17.32  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  30"

INTERPRETACIÓN DEL CASO

El caso que acabamos de realizar es el No. 16m donde nos dimos a la tares de buscar ejemplos que estuvieran relacionados con el uso de variables continuas y distribuciones de probabilidad uniformes, y así poder desarrollar estos ejercicios.

De los ejemplos localizados, debimos de elaborar 2 ejercicios, los cuales fueron los siguientes:

**EJERCICIO 1*

El ejercicios No. 1 se desarrolló en un vuelo de larga distancia que se dirigía desde Chicago a New York, el cual recorría entre 120 y 160 minutos.

El ejercicio consistía en buscar la probabilidad de que el avión llegara entra ese intervalo (120-160 minutos)

Para poder calcular la probabilidad antes mencionada, tuvimos que hacer uso de las siguientes fórmulas:

\(1/(Valor Máximo-Valor Mínimo)\)

Ahora bien, ya que hemos determinado que Reloj1 es el valor minimo y el Reloj2 es el valor maximo, ahi es donde realizamos las operaciones que indica la fórmula, y tras hacerlas obtuvimos como resultado la primera partida que dio el 50%. La siguiente es, ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo entre en 128 min y 136 min? Aquí obtuvimos como resultado 40%, a que queremos llegar, que los vuelos puede caer en cualquiera de los minutos entre intervalo a intervalo, la desviacion estandar al final dio 5.77

EJERCICIO 2

En el 2do ejercicio se nos presenta un reloj que posee intervalos de 0 a 60 minutos, el ejercicio habla de que la probabilidad de que el reloj se pare en los primeros 25 minutos, perocon la unica diferencia que pare entre 0 a 60 minm, eso pues practicamente equivale a 1 hora.

La primer a pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de que pare en los primeros 25 minutos?

Y la respuesta obtenida es: 41.67 %

La varianza nos arroja como resultado 300 minutos y la desviación estandar es: 17.32%, por lo tanto, el valor que se dispersa es de 30.

Una vez dicho esto, podemos decir que los pasos que seguimos en el ejercicio 2 son muy parecidos a los del ejercicio 1.