CASO 18

Objetivo

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Hipergeométrica.

Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta x tenga algún exactamente algún valor, ≤ a algún valor o > o ≥, entre otros.

Proceso

• 1.Cargar librerías
• 2.Ejercicios
• Ejercicio 1: Probabilidades, Varianza, Desviación
• Ejercicio 2: Probabilidades, Varianza, Desviación
• 3.Interpretación los ejercicios

1. Cargar librerias

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3

• Cargar funciones

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

## Warning: package 'gtools' was built under R version 4.0.3

2. Ejercicios

Ejercicio 1. Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.

Asuma que un inspector selecciona al azar 3 de los 12 fusibles de una caja para inspeccionarlos.

Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,

En este ejercicio::

n=3 Número de ensayos

N=12 Total de elementos

r=5 fusibles defectuosos en la caja, casos de éxito

x es la cantidad de fusible defectusoso como variable aleatoria discreta, desde 0 hasta n (Anderson et al., 2008).

1. Tabla de probabilidad desde cero a tres Primero inicializar valores

N <- 12 
n <- 3
r <- 5
x <- 0:n

• Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()

datos1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(f.prob.hiper(x = x, N = N, n = n, r = r), 8))

datos1 <- cbind(datos1, f.acum.x = cumsum(datos1$f.prob.x))
datos1

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.15909091 0.1590909
## 2 1 0.47727273 0.6363636
## 3 2 0.31818182 0.9545455
## 4 3 0.04545455 1.0000000

• Distribución de la probabilidad por medio de la función base de R llamada dhyper()
• Deben generarse los mismos datos en datos1 y datos2

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

datos2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

datos2 <- cbind(datos2, f.acum.x = cumsum(datos2$f.prob.x))

datos2

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.15909091 0.1590909
## 2 1 0.47727273 0.6363636
## 3 2 0.31818182 0.9545455
## 4 3 0.04545455 1.0000000

ggplot(data = datos2, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?

x <- 1
prob <- datos2$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  47.7273 %"

3. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos \[ P(x≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(x=2) \]

x <- 2
prob <- datos2$f.acum.x[x+1]

paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  95.4545 %"

4. ¿Cuál es el valor esperado Mandar llamar la función creada anticipadamente f.va.hiper()

N <- 12 
n <- 3
r <- 5
VE <- f.va.hiper(n = n, N = N, r = r)

paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  1.25"

5. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándard?

varianza <- f.varianza.hiper(VE = VE, n = 3, N = 12, r = 5)

desvstd <- sqrt(varianza)

paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))

## [1] "El valor de la varianza es de:  0.5966  y la desviación std es de:  0.7724"

Interpretación

Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente una fusible defectuoso.

Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes

El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se esper que suceda por cualquier valor de la varable discreta

La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 que siginfican el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.

Ejercicio 2

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables.

El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso (Camacho Avila, 2019), (Walpole et al., 2012) \[ n=5, N=40, k=3 y x=0,1,2,3,4...n \] a) Tabla de probabilidad desde cero a cinco Primero inicializar valores

N <- 40
n <- 5
r <- 3
x <- 0:r

m <-n; N <-N; k <- r; n <- N - n

datos <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(dhyper(x = x,m = m, n = n, k = k), 8))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 0 0.66244939 0.6624494
## 2 1 0.30111336 0.9635628
## 3 2 0.03542510 0.9989879
## 4 3 0.00101215 1.0000000

ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

2. ¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

x <- 1
prob <- datos$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es:  30.1113 %"

3. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos
4. ¿Cuál es el valor esperado
5. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándard? Interpretación En este ejercicio en su contexto, sólo 30% de las veces detecta un lote malo (con 3 componentes defectuosos). (Camacho Avila, 2019).

Ejercicio 3 Se tiene un lote de 100 artículos de los cuales 12 están defectuosos.

Tabla de distribución Inicializar los valores Primero inicializar valores

N <- 100
n <- 10
r <- 12
x <- 0:n

• Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper()

datos <- data.frame(x=x, f.prob.x = round(f.prob.hiper(x = x, N = N, n = n, r = r), 8))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
datos

##     x   f.prob.x  f.acum.x
## 1   0 0.26075027 0.2607503
## 2   1 0.39607636 0.6568266
## 3   2 0.24507225 0.9018989
## 4   3 0.08068222 0.9825811
## 5   4 0.01549689 0.9980780
## 6   5 0.00179241 0.9998704
## 7   6 0.00012447 0.9999949
## 8   7 0.00000502 0.9999999
## 9   8 0.00000011 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000

b.¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10?

x <- 3

prob <- datos$f.prob.x[x+1]

paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)

## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"