Caso 23

Objetivo: Simular el teorema del límite central.

Descripción: Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.

Paso 1. Cargar librerias

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(mosaic)

## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

library(readr)
library(ggplot2)  
library(knitr)    
library(fdth)

## 
## Attaching package: 'fdth'

## The following objects are masked from 'package:mosaic':
## 
##     sd, var

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     sd, var

library(gtools)

## 
## Attaching package: 'gtools'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

library(Rmpfr)

## Warning: package 'Rmpfr' was built under R version 4.0.3

## Loading required package: gmp

## Warning: package 'gmp' was built under R version 4.0.3

## 
## Attaching package: 'gmp'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     factorize

## The following objects are masked from 'package:Matrix':
## 
##     crossprod, tcrossprod

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     %*%, apply, crossprod, matrix, tcrossprod

## C code of R package 'Rmpfr': GMP using 64 bits per limb

## 
## Attaching package: 'Rmpfr'

## The following object is masked from 'package:gmp':
## 
##     outer

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dbinom, dgamma, dnbinom, dnorm, dpois, pnorm

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, pmax, pmin, rbind

Paso 2. Cargar datos

Experimentar con una población de 1000000 de edades de personas * Se simula una población bajo una condición de distribución normal de N=1000000 (un millón) de personas con media de edad de 35 años y desviación estándar de 5. * Se muestran los parámetros principales de la edad de la población.

FUENTE: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01b.html

N <- 1000000; 

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

summary(edad.poblacion)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##       9      32      35      35      38      61

paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ...")

## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ..."

head(edad.poblacion, 50)

##  [1] 32 39 37 33 30 41 27 34 40 32 36 38 36 38 33 43 39 30 37 29 31 42 34 39 34
## [26] 31 40 33 43 29 30 32 33 36 38 28 41 31 33 38 36 31 51 19 41 35 39 32 35 28

paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ...")

## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ..."

tail(edad.poblacion, 50)

##  [1] 33 32 33 38 28 36 33 31 45 35 34 31 33 34 29 32 37 41 37 47 31 43 32 36 33
## [26] 38 39 37 37 33 38 41 30 43 30 21 29 42 36 26 38 33 37 37 40 31 34 28 29 30

media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

paste("Los parámetros de la media y desviación estándard de la población")

## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándard de la población"

media.pob; desv.std

## [1] 35.00315

## [1] 5.005949

1-) Determinar medias y desviaciones muestrales.

Determinar cinco muestras de n=500 casos por medio de la función sample(), se guardan en un data.frame llamado muestras.
Se visualizan los estadísticos principales por medio de la función summary()
Se utiliza un ciclo para determinar las medias de cada muestra.
Se construye un data frame con los valores de los errores estadísticos

n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
                       m2=sample(edad.poblacion, n),
                       m3=sample(edad.poblacion, n),
                       m4=sample(edad.poblacion, n),
                       m5=sample(edad.poblacion, n))

summary(muestras)

##        m1              m2              m3              m4       
##  Min.   :20.00   Min.   :19.00   Min.   :19.00   Min.   :19.00  
##  1st Qu.:32.00   1st Qu.:31.00   1st Qu.:31.00   1st Qu.:32.00  
##  Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00  
##  Mean   :34.71   Mean   :34.40   Mean   :34.94   Mean   :35.29  
##  3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:37.25   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.00  
##  Max.   :49.00   Max.   :51.00   Max.   :49.00   Max.   :50.00  
##        m5       
##  Min.   :19.00  
##  1st Qu.:31.00  
##  Median :35.00  
##  Mean   :35.01  
##  3rd Qu.:39.00  
##  Max.   :49.00

kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")

Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros
m1	m2	m3	m4	m5
38	40	38	35	37
33	35	37	44	44
41	34	31	30	28
33	31	38	35	33
33	26	33	34	40
39	34	41	40	46
34	39	40	39	29
44	36	45	33	40
36	28	38	43	29
36	35	38	41	41

kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")

Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros
m1	m2	m3	m4	m5
38	40	38	35	37
33	35	37	44	44
41	34	31	30	28
33	31	38	35	33
33	26	33	34	40
39	34	41	40	46
34	39	40	39	29
44	36	45	33	40
36	28	38	43	29
36	35	38	41	41

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:5) {
  medias[i] <- mean(muestras[,i])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)

kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")

Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población
Media.Poblacion	Media.Muestras	Errores
35.00315	34.706	-0.297151
35.00315	34.400	-0.603151
35.00315	34.944	-0.059151
35.00315	35.292	0.288849
35.00315	35.012	0.008849

Visualizando la población y la muestra

hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")

hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 2", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 3", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 4", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 5", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

Con el ejercicio anterior, anterior se encontró el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; bajo este contexto, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se determina la exactitud de la estimación?, es decir, como saber si la media de la muestra es un estimador real con respecto a la población.
- Se recapitulan los datos iniciales
- N = 1000000, tamaño de la población
- n = 500, tamaño de la muestra
- edad.poblacion es la edad conocida y recabada de las personas.
- media.pob es la media de toda la población,
- desv.std es la desviación estándar de toda la población,

options(scipen = 999) # Para mostrar notación normal y no científica en el valor de N: 1e+06
N; n;

## [1] 1000000

## [1] 500

options(scipen = 0) # Regresa a notación numérica normal 
summary(edad.poblacion)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##       9      32      35      35      38      61

media.pob; desv.std

## [1] 35.00315

## [1] 5.005949

En el anterior ejercicio se determinaron cinco muestras y cinco errores muestrales, uno de cada muestra. De acuerdo al concepto de distribución muestral de la media, ¿Cual es la cantidad posibles muestras de grupos de 500 que se pueden determinar para una población de 1000000? Se necesita determinar la combinaciones … C(Nn)=N!n!⋅(N−n)!
Por lo anterior el número de muestra con una población de un millón (1000000) en grupo de 500 es demasiado grande para tratarlo.

Para ejemplificar el teorema de límite central se reduce la población a 10 con muestras de 2 personas.

Simulando una nueva población con los mismos valores de media de edad igual a 35 y desviación de 5.

Se determinan los nuevos parámetros de medias y desviaciones estándar de la población. * N = 10, tamaño de la población * n = 2, tamaño de la muestra

N <- 10; n <- 2

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

edad.poblacion

##  [1] 32 35 31 37 29 35 31 30 41 31

media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

media.pob; desv.std

## [1] 33.2

## [1] 3.735714

De acuerdo al concepto distribución muestral de la media ¿cuál es el número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10?

n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)

## [1] 45

Ahora bien ¿cuál es el valor estadístico de la media de la edad de la primera muestra, de la segunda, de la tercera y de la 45 ava muestra.
Determinando muestras en grupos de 2

muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))

muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))

muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
  medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)

muestras <- data.frame(muestras)

colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")

kable(muestras, caption = "Las muestras")

Las muestras
Muestra	Pos.1	Pos.2	Valor.1	Valor.2	Media muestra	Media pob.	Error
1	1	2	32	35	33.5	33.2	0.3
2	1	3	32	31	31.5	33.2	-1.7
3	1	4	32	37	34.5	33.2	1.3
4	1	5	32	29	30.5	33.2	-2.7
5	1	6	32	35	33.5	33.2	0.3
6	1	7	32	31	31.5	33.2	-1.7
7	1	8	32	30	31.0	33.2	-2.2
8	1	9	32	41	36.5	33.2	3.3
9	1	10	32	31	31.5	33.2	-1.7
10	2	3	35	31	33.0	33.2	-0.2
11	2	4	35	37	36.0	33.2	2.8
12	2	5	35	29	32.0	33.2	-1.2
13	2	6	35	35	35.0	33.2	1.8
14	2	7	35	31	33.0	33.2	-0.2
15	2	8	35	30	32.5	33.2	-0.7
16	2	9	35	41	38.0	33.2	4.8
17	2	10	35	31	33.0	33.2	-0.2
18	3	4	31	37	34.0	33.2	0.8
19	3	5	31	29	30.0	33.2	-3.2
20	3	6	31	35	33.0	33.2	-0.2
21	3	7	31	31	31.0	33.2	-2.2
22	3	8	31	30	30.5	33.2	-2.7
23	3	9	31	41	36.0	33.2	2.8
24	3	10	31	31	31.0	33.2	-2.2
25	4	5	37	29	33.0	33.2	-0.2
26	4	6	37	35	36.0	33.2	2.8
27	4	7	37	31	34.0	33.2	0.8
28	4	8	37	30	33.5	33.2	0.3
29	4	9	37	41	39.0	33.2	5.8
30	4	10	37	31	34.0	33.2	0.8
31	5	6	29	35	32.0	33.2	-1.2
32	5	7	29	31	30.0	33.2	-3.2
33	5	8	29	30	29.5	33.2	-3.7
34	5	9	29	41	35.0	33.2	1.8
35	5	10	29	31	30.0	33.2	-3.2
36	6	7	35	31	33.0	33.2	-0.2
37	6	8	35	30	32.5	33.2	-0.7
38	6	9	35	41	38.0	33.2	4.8
39	6	10	35	31	33.0	33.2	-0.2
40	7	8	31	30	30.5	33.2	-2.7
41	7	9	31	41	36.0	33.2	2.8
42	7	10	31	31	31.0	33.2	-2.2
43	8	9	30	41	35.5	33.2	2.3
44	8	10	30	31	30.5	33.2	-2.7
45	9	10	41	31	36.0	33.2	2.8

paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))

## [1] "La media poblacional es:  33.2  y la media de la edad de la distribución muestral es:  33.2"

interpretacion

Finalizamos el semestre con este caso numero 23, en el cual tratamos con el tema del teorema del limite central, El teorema describe la distribución de la media de una muestra aleatoria proveniente de una población con varianza finita. El problema nos plantea que tenemos que cargar 1000000 datos, este conjunto tiene edades, de los cuales tenemos que la media es de 35 años, pero si sacamos la desviacion estandar obtendremos 5,lo mas importante y sobre todo lo visual, vamos a sacar los histogramas, en los cuales se puede obtener que 150000 personas estan en la media antes comentada, tambien se debe tomar en cuenta que los grupos de personas son de 500, en los cuales la media de la edad de la poblacion esta entre los 33 y 35 años de edad, esta es una forma bastante util y rapida de obtener resultados precisos sin nesecidad de manejar totalmente los datos