Objetivo

Simular el teorema del límite central.

Descripción

Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.

1. Cargar librerias

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(mosaic)
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos
library(fdth)     # Para tablas de frecuencias
## 
## Attaching package: 'fdth'
## The following objects are masked from 'package:mosaic':
## 
##     sd, var
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     sd, var
library(gtools)   # Para combinaciones y permutaciones
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit
library(Rmpfr)    # Para factoriales de números muy grandes
## Warning: package 'Rmpfr' was built under R version 4.0.3
## Loading required package: gmp
## Warning: package 'gmp' was built under R version 4.0.3
## 
## Attaching package: 'gmp'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     factorize
## The following objects are masked from 'package:Matrix':
## 
##     crossprod, tcrossprod
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     %*%, apply, crossprod, matrix, tcrossprod
## C code of R package 'Rmpfr': GMP using 64 bits per limb
## 
## Attaching package: 'Rmpfr'
## The following object is masked from 'package:gmp':
## 
##     outer
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dbinom, dgamma, dnbinom, dnorm, dpois, pnorm
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, pmax, pmin, rbind

2. Cargar Datos

N <- 1000000; 

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    9.00   32.00   35.00   34.99   38.00   59.00
paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ..."
head(edad.poblacion, 50) 
##  [1] 34 35 30 31 34 27 29 29 32 28 36 40 37 44 37 38 36 36 35 38 38 39 36 35 35
## [26] 38 40 34 33 35 25 42 30 39 35 40 30 32 38 38 44 31 26 35 40 35 31 36 33 39
paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ..."
tail(edad.poblacion, 50)
##  [1] 37 35 35 44 39 42 34 32 28 34 28 41 46 34 36 29 34 34 30 24 36 32 42 40 39
## [26] 28 36 36 42 34 28 41 31 36 27 32 34 31 33 40 26 34 35 45 30 25 30 32 39 33
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

paste("Los parámetros de la media y desviación estándard de la población")
## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándard de la población"
media.pob; desv.std
## [1] 34.99135
## [1] 5.006597

Determinar medias y desviaciones muestrales.

n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
                       m2=sample(edad.poblacion, n),
                       m3=sample(edad.poblacion, n),
                       m4=sample(edad.poblacion, n),
                       m5=sample(edad.poblacion, n))

summary(muestras)
##        m1              m2              m3              m4       
##  Min.   :19.00   Min.   :22.00   Min.   :19.00   Min.   :19.00  
##  1st Qu.:31.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.00  
##  Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00  
##  Mean   :35.02   Mean   :35.14   Mean   :35.22   Mean   :34.93  
##  3rd Qu.:39.00   3rd Qu.:39.00   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.00  
##  Max.   :50.00   Max.   :47.00   Max.   :49.00   Max.   :51.00  
##        m5       
##  Min.   :21.00  
##  1st Qu.:32.00  
##  Median :35.00  
##  Mean   :35.07  
##  3rd Qu.:39.00  
##  Max.   :52.00
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
41 37 39 33 41
22 38 29 43 33
33 39 28 25 38
44 32 19 27 38
31 31 32 31 41
39 31 36 25 36
32 35 33 34 35
37 38 30 25 39
30 36 41 32 40
30 41 36 38 33 
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
41 37 39 33 41
22 38 29 43 33
33 39 28 25 38
44 32 19 27 38
31 31 32 31 41
39 31 36 25 36
32 35 33 34 35
37 38 30 25 39
30 36 41 32 40
30 41 36 38 33 
medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:5) {
  medias[i] <- mean(muestras[,i])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)

kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")
Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población
Media.Poblacion Media.Muestras Errores
34.99135 35.024 0.032647
34.99135 35.136 0.144647
34.99135 35.216 0.224647
34.99135 34.928 -0.063353
34.99135 35.070 0.078647

Visualizando la población y la muestra

hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")

hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestra 2", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestra 3", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestra 4", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestra 5", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

options(scipen = 999) # Para mostrar notación normal y no científica en el valor de N: 1e+06
N; n; 
## [1] 1000000
## [1] 500
options(scipen = 0) # Regresa a notación numérica normal 
summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    9.00   32.00   35.00   34.99   38.00   59.00
media.pob; desv.std
## [1] 34.99135
## [1] 5.006597
N <- 10; n <- 2

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

edad.poblacion
##  [1] 34 39 35 33 39 35 33 34 31 33
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

media.pob; desv.std
## [1] 34.6
## [1] 2.590581
n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)
## [1] 45
muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))

muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))

muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
  medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)

muestras <- data.frame(muestras)

colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")

kable(muestras, caption = "Las muestras")
Las muestras
Muestra Pos.1 Pos.2 Valor.1 Valor.2 Media muestra Media pob. Error
1 1 2 34 39 36.5 34.6 1.9
2 1 3 34 35 34.5 34.6 -0.1
3 1 4 34 33 33.5 34.6 -1.1
4 1 5 34 39 36.5 34.6 1.9
5 1 6 34 35 34.5 34.6 -0.1
6 1 7 34 33 33.5 34.6 -1.1
7 1 8 34 34 34.0 34.6 -0.6
8 1 9 34 31 32.5 34.6 -2.1
9 1 10 34 33 33.5 34.6 -1.1
10 2 3 39 35 37.0 34.6 2.4
11 2 4 39 33 36.0 34.6 1.4
12 2 5 39 39 39.0 34.6 4.4
13 2 6 39 35 37.0 34.6 2.4
14 2 7 39 33 36.0 34.6 1.4
15 2 8 39 34 36.5 34.6 1.9
16 2 9 39 31 35.0 34.6 0.4
17 2 10 39 33 36.0 34.6 1.4
18 3 4 35 33 34.0 34.6 -0.6
19 3 5 35 39 37.0 34.6 2.4
20 3 6 35 35 35.0 34.6 0.4
21 3 7 35 33 34.0 34.6 -0.6
22 3 8 35 34 34.5 34.6 -0.1
23 3 9 35 31 33.0 34.6 -1.6
24 3 10 35 33 34.0 34.6 -0.6
25 4 5 33 39 36.0 34.6 1.4
26 4 6 33 35 34.0 34.6 -0.6
27 4 7 33 33 33.0 34.6 -1.6
28 4 8 33 34 33.5 34.6 -1.1
29 4 9 33 31 32.0 34.6 -2.6
30 4 10 33 33 33.0 34.6 -1.6
31 5 6 39 35 37.0 34.6 2.4
32 5 7 39 33 36.0 34.6 1.4
33 5 8 39 34 36.5 34.6 1.9
34 5 9 39 31 35.0 34.6 0.4
35 5 10 39 33 36.0 34.6 1.4
36 6 7 35 33 34.0 34.6 -0.6
37 6 8 35 34 34.5 34.6 -0.1
38 6 9 35 31 33.0 34.6 -1.6
39 6 10 35 33 34.0 34.6 -0.6
40 7 8 33 34 33.5 34.6 -1.1
41 7 9 33 31 32.0 34.6 -2.6
42 7 10 33 33 33.0 34.6 -1.6
43 8 9 34 31 32.5 34.6 -2.1
44 8 10 34 33 33.5 34.6 -1.1
45 9 10 31 33 32.0 34.6 -2.6 
paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))
## [1] "La media poblacional es:  34.6  y la media de la edad de la distribución muestral es:  34.6"

INTERPRETACION DEL CASO

El titulo del caso es muy importante, ya que se utiliza mucho en estadistica ya que describe la distribucion de la media de una muestra aleatoria que puede provenir de una poblacion tal y como en el ejercicio de arriba.

Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las medias sigue aproximadamente una distribución normal. El teorema se aplica independientemente de la forma de la distribución de la población.