Objetivo.

Simular el teorema del límite central.

Descripción.

Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.

1. Cargar librerías.

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(mosaic)
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(readr)
library(ggplot2)  
library(knitr)   
library(fdth) 
## 
## Attaching package: 'fdth'
## The following objects are masked from 'package:mosaic':
## 
##     sd, var
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     sd, var
library(gtools)
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit
library(Rmpfr) 
## Warning: package 'Rmpfr' was built under R version 4.0.3
## Loading required package: gmp
## Warning: package 'gmp' was built under R version 4.0.3
## 
## Attaching package: 'gmp'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     factorize
## The following objects are masked from 'package:Matrix':
## 
##     crossprod, tcrossprod
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     %*%, apply, crossprod, matrix, tcrossprod
## C code of R package 'Rmpfr': GMP using 64 bits per limb
## 
## Attaching package: 'Rmpfr'
## The following object is masked from 'package:gmp':
## 
##     outer
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dbinom, dgamma, dnbinom, dnorm, dpois, pnorm
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, pmax, pmin, rbind

2. Cargar datos.

Experimentar con una población de 1000000 de edades de personas.

Se simula una población bajo una condición de distribución normal de N=1000000 (un millón) de personas con media de edad de 35 años y desviación estándar de 5. Se muestran los parámetros principales de la edad de la población.

N <- 1000000;

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   11.00   32.00   35.00   35.01   38.00   58.00
paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ..."
head(edad.poblacion, 50)
##  [1] 33 40 35 35 41 33 40 35 34 43 43 42 42 26 36 40 31 39 35 28 36 31 30 38 41
## [26] 30 47 33 39 41 26 38 45 36 36 33 30 34 42 37 35 38 41 32 40 28 40 32 42 37
paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ..."
tail(edad.poblacion, 50)
##  [1] 41 43 33 32 37 32 39 43 47 30 43 36 30 38 35 42 40 37 37 39 30 36 29 36 36
## [26] 33 38 38 30 31 40 38 30 47 35 38 38 36 32 44 32 28 28 36 35 35 34 39 33 30
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

paste("Los parámetros de la media y desviación estándard de la población")
## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándard de la población"
media.pob; desv.std
## [1] 35.0053
## [1] 5.008205

El valor medio de la edad de la pobación μ es 35.002037 y el valor de la desviación estándar de la población es S^2 es 5.0063637

Determinar medias y desviaciones muestrales.

Determinar cinco muestras de n=500 casos por medio de la función sample(), se guardan en un data.frame llamado muestras.

Se visualizan los estadísticos principales por medio de la función summary().

Se utiliza un ciclo para determinar las medias de cada muestra.

Se construye un data frame con los valores de los errores estadísticos.

n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
                       m2=sample(edad.poblacion, n),
                       m3=sample(edad.poblacion, n),
                       m4=sample(edad.poblacion, n),
                       m5=sample(edad.poblacion, n))

summary(muestras)
##        m1              m2              m3              m4       
##  Min.   :22.00   Min.   :17.00   Min.   :20.00   Min.   :21.00  
##  1st Qu.:31.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:31.00  
##  Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00  
##  Mean   :34.85   Mean   :35.05   Mean   :35.18   Mean   :34.95  
##  3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:39.00  
##  Max.   :49.00   Max.   :54.00   Max.   :50.00   Max.   :52.00  
##        m5       
##  Min.   :17.00  
##  1st Qu.:32.00  
##  Median :36.00  
##  Mean   :35.35  
##  3rd Qu.:39.00  
##  Max.   :48.00
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
37 38 42 35 34
40 36 28 30 34
36 33 36 35 33
35 36 36 31 37
29 32 39 32 26
41 30 28 40 39
39 35 32 40 37
31 42 34 31 34
32 36 45 32 38
36 30 35 33 32 
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
37 38 42 35 34
40 36 28 30 34
36 33 36 35 33
35 36 36 31 37
29 32 39 32 26
41 30 28 40 39
39 35 32 40 37
31 42 34 31 34
32 36 45 32 38
36 30 35 33 32 
medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:5) {
  medias[i] <- mean(muestras[,i])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)

kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")
Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población
Media.Poblacion Media.Muestras Errores
35.0053 34.850 -0.155296
35.0053 35.048 0.042704
35.0053 35.182 0.176704
35.0053 34.950 -0.055296
35.0053 35.348 0.342704

Visualizando la población y la muestra.

hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")

hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")

hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestra 2", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")

hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestra 3", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")

hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestra 4", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")

hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestra 5", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")

Con el ejercicio anterior, anterior se encontró el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; bajo este contexto, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se determina la exactitud de la estimación?, es decir, como saber si la media de la muestra es un estimador real con respecto a la población.

Se recapitulan los datos iniciales:

N = 1000000, tamaño de la población n = 500, tamaño de la muestra edad.poblacion es la edad conocida y recabada de las personas. media.pob es la media de toda la población, desv.std es la desviación estándar de toda la población,

options(scipen = 999) 
N; n; 
## [1] 1000000
## [1] 500
options(scipen = 0)
summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   11.00   32.00   35.00   35.01   38.00   58.00
media.pob; desv.std
## [1] 35.0053
## [1] 5.008205

En el anterior ejercicio se determinaron cinco muestras y cinco errores muestrales, uno de cada muestra. De acuerdo al concepto de distribución muestral de la media, ¿Cual es la cantidad posibles muestras de grupos de 500 que se pueden determinar para una población de 1000000? Se necesita determinar la combinaciones …

C(N/(n))=N!/n!⋅(N−n)!

Por lo anterior el número de muestra con una población de un millón (1000000) en grupo de 500 es demasiado grande para tratarlo.

Para ejemplificar el teorema de límite central se reduce la población a 10 con muestras de 2 personas.

Simulando una nueva población con los mismos valores de media de edad igual a 35 y desviación de 5.

Se determinan los nuevos parámetros de medias y desviaciones estándar de la población. * N = 10, tamaño de la población * n = 2, tamaño de la muestra.

N <- 10; n <- 2

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

edad.poblacion
##  [1] 38 37 35 28 34 33 37 43 28 42
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

media.pob; desv.std
## [1] 35.5
## [1] 5.060742

De acuerdo al concepto distribución muestral de la media ¿cuál es el número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10?.

n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)
## [1] 45

Ahora bien ¿cuál es el valor estadístico de la media de la edad de la primera muestra, de la segunda, de la tercera y de la 45 ava muestra.

Determinando muestras en grupos de 2.

muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))

muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))

muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
  medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)

muestras <- data.frame(muestras)

colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")

kable(muestras, caption = "Las muestras")
Las muestras
Muestra Pos.1 Pos.2 Valor.1 Valor.2 Media muestra Media pob. Error
1 1 2 38 37 37.5 35.5 2.0
2 1 3 38 35 36.5 35.5 1.0
3 1 4 38 28 33.0 35.5 -2.5
4 1 5 38 34 36.0 35.5 0.5
5 1 6 38 33 35.5 35.5 0.0
6 1 7 38 37 37.5 35.5 2.0
7 1 8 38 43 40.5 35.5 5.0
8 1 9 38 28 33.0 35.5 -2.5
9 1 10 38 42 40.0 35.5 4.5
10 2 3 37 35 36.0 35.5 0.5
11 2 4 37 28 32.5 35.5 -3.0
12 2 5 37 34 35.5 35.5 0.0
13 2 6 37 33 35.0 35.5 -0.5
14 2 7 37 37 37.0 35.5 1.5
15 2 8 37 43 40.0 35.5 4.5
16 2 9 37 28 32.5 35.5 -3.0
17 2 10 37 42 39.5 35.5 4.0
18 3 4 35 28 31.5 35.5 -4.0
19 3 5 35 34 34.5 35.5 -1.0
20 3 6 35 33 34.0 35.5 -1.5
21 3 7 35 37 36.0 35.5 0.5
22 3 8 35 43 39.0 35.5 3.5
23 3 9 35 28 31.5 35.5 -4.0
24 3 10 35 42 38.5 35.5 3.0
25 4 5 28 34 31.0 35.5 -4.5
26 4 6 28 33 30.5 35.5 -5.0
27 4 7 28 37 32.5 35.5 -3.0
28 4 8 28 43 35.5 35.5 0.0
29 4 9 28 28 28.0 35.5 -7.5
30 4 10 28 42 35.0 35.5 -0.5
31 5 6 34 33 33.5 35.5 -2.0
32 5 7 34 37 35.5 35.5 0.0
33 5 8 34 43 38.5 35.5 3.0
34 5 9 34 28 31.0 35.5 -4.5
35 5 10 34 42 38.0 35.5 2.5
36 6 7 33 37 35.0 35.5 -0.5
37 6 8 33 43 38.0 35.5 2.5
38 6 9 33 28 30.5 35.5 -5.0
39 6 10 33 42 37.5 35.5 2.0
40 7 8 37 43 40.0 35.5 4.5
41 7 9 37 28 32.5 35.5 -3.0
42 7 10 37 42 39.5 35.5 4.0
43 8 9 43 28 35.5 35.5 0.0
44 8 10 43 42 42.5 35.5 7.0
45 9 10 28 42 35.0 35.5 -0.5

La media de la distribución muestral de la media se obtiene al sumar las medias muestrales y dividir el resultado entre el número de muestras. La media de todas las medias muestrales se representa mediante μx¯

Entonces,la media de la distribución muestral comparado con la media poblaciónal.

paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))
## [1] "La media poblacional es:  35.5  y la media de la edad de la distribución muestral es:  35.5"

Interpretación del caso.

El siguiente caso número 23 trata acerca del teorema del límite central y es explicado con con un ejemplo de un teorema sobre la experimentación con una población de 1,000,000 de edades, dichas personas tienen una media de edad de entre 35 años y su desviación estándar es de 5, se procede sacando un valor medio de la población que vendría siendo de 35 y su desviación estándar de 5.006.

Seguimos con los histogramas, en el histograma que es de la eedad de la población se puede observar que el punto más alto es de 150,000, despúes, sacamos las combinaciones con las cuales se van a dividir los factoriales pero, como es muy difícil de sacar la factorial de 1,000,000, lo que se hizo fué dividir en grupos de 500 para tratar de lidiar con el problema.

Por último, la media de la población es de un 33.6 y la edad igual, de un 33.6.