Teorema del limite central
Juan Ricardo Venegas Rodriguez
Objetivo Simular el teorema del límite central.
Descripción Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.
1-Cargar librerias
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(mosaic)## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add
## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following object is masked from 'package:Matrix':
##
## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sumlibrary(readr)
library(ggplot2) # Para gráficos
library(knitr) # Para formateo de datos
library(fdth) # Para tablas de frecuencias##
## Attaching package: 'fdth'## The following objects are masked from 'package:mosaic':
##
## sd, var## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## sd, varlibrary(gtools) # Para combinaciones y permutaciones##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logitlibrary(Rmpfr) # Para factoriales de números muy grandes## Loading required package: gmp##
## Attaching package: 'gmp'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## factorize## The following objects are masked from 'package:Matrix':
##
## crossprod, tcrossprod## The following objects are masked from 'package:base':
##
## %*%, apply, crossprod, matrix, tcrossprod## C code of R package 'Rmpfr': GMP using 64 bits per limb##
## Attaching package: 'Rmpfr'## The following object is masked from 'package:gmp':
##
## outer## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## dbinom, dgamma, dnbinom, dnorm, dpois, pnorm## The following objects are masked from 'package:base':
##
## cbind, pmax, pmin, rbind- Cargar datos Experimentar con una población de 1000000 de edades de personas Se simula una población bajo una condición de distribución normal de N=1000000 (un millón) de personas con media de edad de 35 años y desviación estándar de 5. Se muestran los parámetros principales de la edad de la población.
N <- 1000000;
edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)
summary(edad.poblacion)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 10.00 32.00 35.00 35.01 38.00 61.00paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores")## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores"head(edad.poblacion, 50) ## [1] 38 33 40 31 34 41 33 36 38 34 49 42 37 34 35 30 36 36 25 37 37 37 41 30 34
## [26] 31 22 37 43 31 36 43 34 26 32 30 24 33 30 38 35 34 28 36 38 43 39 38 21 37paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores")## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores"tail(edad.poblacion, 50)## [1] 34 38 40 32 33 40 33 39 31 39 42 28 33 38 36 38 38 29 30 39 37 30 29 36 34
## [26] 39 26 31 30 39 36 30 36 40 31 36 40 33 38 28 37 43 37 47 31 35 40 24 32 37media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)
paste("Los parámetros de la media y desviación estándard de la población")## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándard de la población"media.pob; desv.std## [1] 35.00597## [1] 5.009902El valor medio de la edad de la pobación μ es 35.002037 y el valor de la desviación estándar de la población es S2 es 5.0063637
Determinar medias y desviaciones muestrales. Determinar cinco muestras de n=500 casos por medio de la función sample(), se guardan en un data.frame llamado muestras. Se visualizan los estadísticos principales por medio de la función summary() Se utiliza un ciclo para determinar las medias de cada muestra. Se construye un data frame con los valores de los errores estadísticos
n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
m2=sample(edad.poblacion, n),
m3=sample(edad.poblacion, n),
m4=sample(edad.poblacion, n),
m5=sample(edad.poblacion, n))
summary(muestras)## m1 m2 m3 m4 m5
## Min. :20.00 Min. :20.0 Min. :19.0 Min. :17.00 Min. :20.00
## 1st Qu.:32.00 1st Qu.:31.0 1st Qu.:32.0 1st Qu.:32.00 1st Qu.:32.00
## Median :35.00 Median :35.0 Median :35.0 Median :35.00 Median :35.00
## Mean :35.03 Mean :34.9 Mean :34.9 Mean :35.08 Mean :35.14
## 3rd Qu.:39.00 3rd Qu.:38.0 3rd Qu.:38.0 3rd Qu.:38.00 3rd Qu.:38.00
## Max. :51.00 Max. :51.0 Max. :51.0 Max. :48.00 Max. :51.00kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")| m1 | m2 | m3 | m4 | m5 |
|---|---|---|---|---|
| 31 | 31 | 32 | 38 | 36 |
| 36 | 35 | 28 | 33 | 29 |
| 29 | 31 | 33 | 30 | 40 |
| 28 | 36 | 25 | 37 | 34 |
| 30 | 37 | 33 | 32 | 37 |
| 32 | 31 | 48 | 33 | 41 |
| 32 | 39 | 37 | 37 | 39 |
| 33 | 36 | 40 | 35 | 39 |
| 35 | 39 | 40 | 28 | 44 |
| 35 | 35 | 39 | 29 | 38 |
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")| m1 | m2 | m3 | m4 | m5 |
|---|---|---|---|---|
| 31 | 31 | 32 | 38 | 36 |
| 36 | 35 | 28 | 33 | 29 |
| 29 | 31 | 33 | 30 | 40 |
| 28 | 36 | 25 | 37 | 34 |
| 30 | 37 | 33 | 32 | 37 |
| 32 | 31 | 48 | 33 | 41 |
| 32 | 39 | 37 | 37 | 39 |
| 33 | 36 | 40 | 35 | 39 |
| 35 | 39 | 40 | 28 | 44 |
| 35 | 35 | 39 | 29 | 38 |
medias <- 0
error <- 0
for(i in 1:5) {
medias[i] <- mean(muestras[,i])
error[i] <- medias[i] - media.pob
}
error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)
kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")| Media.Poblacion | Media.Muestras | Errores |
|---|---|---|
| 35.00597 | 35.028 | 0.022033 |
| 35.00597 | 34.896 | -0.109967 |
| 35.00597 | 34.900 | -0.105967 |
| 35.00597 | 35.084 | 0.078033 |
| 35.00597 | 35.142 | 0.136033 |
Visualizando la población y la muestra
hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")
hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")
hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 2", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")
hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 3", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")
hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 4", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")
hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestRa 5", ylab = "Edades", xlab="Observaciones")
En el ejercicio anterior, anterior se encontró el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; bajo este contexto, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se determina la exactitud de la estimación?, es decir, como saber si la media de la muestra es un estimador real con respecto a la población.
Para responder estas preguntas, primero hay que precisar el concepto de distribución muestral de la media: es la distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestral de la población (Lind et al., 2015).
Se recapitulan los datos iniciales N = 1000000, tamaño de la población n = 500, tamaño de la muestra edad.poblacion es la edad conocida y recabada de las personas. media.pob es la media de toda la población, desv.std es la desviación estándar de toda la población.
options(scipen = 999) # Para mostrar notación normal y no científica en el valor de N: 1e+06
N; n;## [1] 1000000## [1] 500options(scipen = 0) # Regresa a notación numérica normal
summary(edad.poblacion)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 10.00 32.00 35.00 35.01 38.00 61.00media.pob; desv.std## [1] 35.00597## [1] 5.009902En el anterior ejercicio se determinaron cinco muestras y cinco errores muestrales, uno de cada muestra. De acuerdo al concepto de distribución muestral de la media, ¿Cual es la cantidad posibles muestras de grupos de 500 que se pueden determinar para una población de 1000000? Se necesita determinar la combinaciones … C(Nn)=N!n!⋅(N−n)!
#factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
Por lo anterior el número de muestra con una población de un millón (1000000) en grupo de 500 es demasiado grande para tratarlo.
Para ejemplificar el teorema de límite central se reduce la población a 10 con muestras de 2 personas.
Simulando una nueva población con los mismos valores de media de edad igual a 35 y desviación de 5.
Se determinan los nuevos parámetros de medias y desviaciones estándar de la población. * N = 10, tamaño de la población * n = 2, tamaño de la muestra
N <- 10; n <- 2
edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)
edad.poblacion## [1] 34 32 37 31 33 29 29 39 46 33media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)
media.pob; desv.std## [1] 34.3## [1] 5.186521De acuerdo al concepto distribución muestral de la media ¿cuál es el número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10?
n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)## [1] 45Ahora bien ¿cuál es el valor estadístico de la media de la edad de la primera muestra, de la segunda, de la tercera y de la 45 ava muestra.
Determinando muestras en grupos de 2
muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))
muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))
muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])
medias <- 0
error <- 0
for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
error[i] <- medias[i] - media.pob
}
muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)
muestras <- data.frame(muestras)
colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")
kable(muestras, caption = "Las muestras")| Muestra | Pos.1 | Pos.2 | Valor.1 | Valor.2 | Media muestra | Media pob. | Error |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 34 | 32 | 33.0 | 34.3 | -1.3 |
| 2 | 1 | 3 | 34 | 37 | 35.5 | 34.3 | 1.2 |
| 3 | 1 | 4 | 34 | 31 | 32.5 | 34.3 | -1.8 |
| 4 | 1 | 5 | 34 | 33 | 33.5 | 34.3 | -0.8 |
| 5 | 1 | 6 | 34 | 29 | 31.5 | 34.3 | -2.8 |
| 6 | 1 | 7 | 34 | 29 | 31.5 | 34.3 | -2.8 |
| 7 | 1 | 8 | 34 | 39 | 36.5 | 34.3 | 2.2 |
| 8 | 1 | 9 | 34 | 46 | 40.0 | 34.3 | 5.7 |
| 9 | 1 | 10 | 34 | 33 | 33.5 | 34.3 | -0.8 |
| 10 | 2 | 3 | 32 | 37 | 34.5 | 34.3 | 0.2 |
| 11 | 2 | 4 | 32 | 31 | 31.5 | 34.3 | -2.8 |
| 12 | 2 | 5 | 32 | 33 | 32.5 | 34.3 | -1.8 |
| 13 | 2 | 6 | 32 | 29 | 30.5 | 34.3 | -3.8 |
| 14 | 2 | 7 | 32 | 29 | 30.5 | 34.3 | -3.8 |
| 15 | 2 | 8 | 32 | 39 | 35.5 | 34.3 | 1.2 |
| 16 | 2 | 9 | 32 | 46 | 39.0 | 34.3 | 4.7 |
| 17 | 2 | 10 | 32 | 33 | 32.5 | 34.3 | -1.8 |
| 18 | 3 | 4 | 37 | 31 | 34.0 | 34.3 | -0.3 |
| 19 | 3 | 5 | 37 | 33 | 35.0 | 34.3 | 0.7 |
| 20 | 3 | 6 | 37 | 29 | 33.0 | 34.3 | -1.3 |
| 21 | 3 | 7 | 37 | 29 | 33.0 | 34.3 | -1.3 |
| 22 | 3 | 8 | 37 | 39 | 38.0 | 34.3 | 3.7 |
| 23 | 3 | 9 | 37 | 46 | 41.5 | 34.3 | 7.2 |
| 24 | 3 | 10 | 37 | 33 | 35.0 | 34.3 | 0.7 |
| 25 | 4 | 5 | 31 | 33 | 32.0 | 34.3 | -2.3 |
| 26 | 4 | 6 | 31 | 29 | 30.0 | 34.3 | -4.3 |
| 27 | 4 | 7 | 31 | 29 | 30.0 | 34.3 | -4.3 |
| 28 | 4 | 8 | 31 | 39 | 35.0 | 34.3 | 0.7 |
| 29 | 4 | 9 | 31 | 46 | 38.5 | 34.3 | 4.2 |
| 30 | 4 | 10 | 31 | 33 | 32.0 | 34.3 | -2.3 |
| 31 | 5 | 6 | 33 | 29 | 31.0 | 34.3 | -3.3 |
| 32 | 5 | 7 | 33 | 29 | 31.0 | 34.3 | -3.3 |
| 33 | 5 | 8 | 33 | 39 | 36.0 | 34.3 | 1.7 |
| 34 | 5 | 9 | 33 | 46 | 39.5 | 34.3 | 5.2 |
| 35 | 5 | 10 | 33 | 33 | 33.0 | 34.3 | -1.3 |
| 36 | 6 | 7 | 29 | 29 | 29.0 | 34.3 | -5.3 |
| 37 | 6 | 8 | 29 | 39 | 34.0 | 34.3 | -0.3 |
| 38 | 6 | 9 | 29 | 46 | 37.5 | 34.3 | 3.2 |
| 39 | 6 | 10 | 29 | 33 | 31.0 | 34.3 | -3.3 |
| 40 | 7 | 8 | 29 | 39 | 34.0 | 34.3 | -0.3 |
| 41 | 7 | 9 | 29 | 46 | 37.5 | 34.3 | 3.2 |
| 42 | 7 | 10 | 29 | 33 | 31.0 | 34.3 | -3.3 |
| 43 | 8 | 9 | 39 | 46 | 42.5 | 34.3 | 8.2 |
| 44 | 8 | 10 | 39 | 33 | 36.0 | 34.3 | 1.7 |
| 45 | 9 | 10 | 46 | 33 | 39.5 | 34.3 | 5.2 |
La media de la distribución muestral de la media se obtiene al sumar las medias muestrales y dividir el resultado entre el número de muestras. La media de todas las medias muestrales se representa mediante μx¯ μx¯=∑i=1Nx¯=x1¯+x2¯+x3¯…xn¯ Entonces … la media de la distribución muestral comparado con la media poblaciónal
paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))## [1] "La media poblacional es: 34.3 y la media de la edad de la distribución muestral es: 34.3"Interpretacion Para entender mejor lo que es el teorema del limite central aqui usamos un ejercicio en el cual tomamos como muestra a una poblacion que consta de 1,000,000 y que usaremos un rango de edades y la media osila entre los 35 años y al sacar la desviacion estandar es de 5. una vez obtenidos estos datos se realizaron unos histogramas para apreciarlo mejor, en uno de los histogramas la barra mas alta indica que 150,000 personas estan en la media. Para terminar lo divimos en grupos que cada grupo consta de 500 personas y al ver los resultados nos arroja que toda la poblacion osila entre los 33 y 35 años de edad.
Referencias bibliográficas Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,
Lind, D., Marchal, W., & Wathen, S. (2015). Estadística aplicada a los negocios y la economía (Decimo Sexta). McGraw-Hill.
Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.