Objetivo

Simular el teorema del límite central.

Descripción

Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.

1. Cargar librerías

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(mosaic)
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(readr)
library(ggplot2)  
library(knitr)   
library(fdth)    
## 
## Attaching package: 'fdth'
## The following objects are masked from 'package:mosaic':
## 
##     sd, var
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     sd, var
library(gtools)   
## Warning: package 'gtools' was built under R version 4.0.3
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit
library(Rmpfr)     
## Warning: package 'Rmpfr' was built under R version 4.0.3
## Loading required package: gmp
## 
## Attaching package: 'gmp'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     factorize
## The following objects are masked from 'package:Matrix':
## 
##     crossprod, tcrossprod
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     %*%, apply, crossprod, matrix, tcrossprod
## C code of R package 'Rmpfr': GMP using 64 bits per limb
## 
## Attaching package: 'Rmpfr'
## The following object is masked from 'package:gmp':
## 
##     outer
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dbinom, dgamma, dnbinom, dnorm, dpois, pnorm
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, pmax, pmin, rbind

2. Cargar datos

Experimentar con una población de 1000000 de edades de personas

N <- 1000000; 

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   11.00   32.00   35.00   34.99   38.00   59.00
paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ..."
head(edad.poblacion, 50) 
##  [1] 38 37 39 36 26 37 32 36 41 40 34 29 21 31 35 25 34 33 32 30 32 39 37 38 39
## [26] 35 38 38 26 34 35 35 31 31 28 37 33 41 39 28 36 33 29 30 37 41 42 33 28 37
paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ..."
tail(edad.poblacion, 50)
##  [1] 33 27 44 38 40 42 40 35 31 30 32 32 36 29 31 34 35 30 37 23 37 37 36 30 34
## [26] 32 42 34 33 35 33 29 27 36 38 28 40 29 38 35 34 40 38 38 44 42 42 39 39 31
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

paste("Los parámetros de la media y desviación estándard de la población")
## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándard de la población"
media.pob; desv.std
## [1] 34.99484
## [1] 5.009104
Determinar medias y desviaciones muestrales.
  • Determinar cinco muestras de n=500 casos por medio de la función sample(), se guardan en un data.frame llamado muestras.
  • Se visualizan los estadísticos principales por medio de la función summary()
  • Se utiliza un ciclo para determinar las medias de cada muestra.
  • Se construye un data frame con los valores de los errores estadísticos
n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
                       m2=sample(edad.poblacion, n),
                       m3=sample(edad.poblacion, n),
                       m4=sample(edad.poblacion, n),
                       m5=sample(edad.poblacion, n))

summary(muestras)
##        m1              m2              m3              m4             m5       
##  Min.   :13.00   Min.   :21.00   Min.   :22.00   Min.   :23.0   Min.   :21.00  
##  1st Qu.:31.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.0   1st Qu.:32.00  
##  Median :35.00   Median :35.00   Median :35.00   Median :35.0   Median :35.00  
##  Mean   :34.69   Mean   :35.18   Mean   :35.27   Mean   :35.1   Mean   :35.39  
##  3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.25   3rd Qu.:38.0   3rd Qu.:39.00  
##  Max.   :51.00   Max.   :52.00   Max.   :51.00   Max.   :52.0   Max.   :55.00
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
44 36 41 31 41
39 38 36 37 36
32 32 28 43 38
47 35 32 28 41
40 37 39 39 34
34 36 37 25 32
37 35 31 41 49
35 35 32 42 36
37 40 37 33 42
36 25 34 26 29 
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
44 36 41 31 41
39 38 36 37 36
32 32 28 43 38
47 35 32 28 41
40 37 39 39 34
34 36 37 25 32
37 35 31 41 49
35 35 32 42 36
37 40 37 33 42
36 25 34 26 29 
medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:5) {
  medias[i] <- mean(muestras[,i])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)

kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")
Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población
Media.Poblacion Media.Muestras Errores
34.99484 34.686 -0.308842
34.99484 35.180 0.185158
34.99484 35.274 0.279158
34.99484 35.102 0.107158
34.99484 35.386 0.391158

Visualizando la población y la muestra

hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")

hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestra 2", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestra 3", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestra 4", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestra 5", ylab = "Edades", xlab="Observacaiones")

Con el ejercicio anterior, anterior se encontró el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; bajo este contexto, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se determina la exactitud de la estimación?, es decir, como saber si la media de la muestra es un estimador real con respecto a la población.

Se recapitulan los datos iniciales:

  • N = 1000000, tamaño de la población
  • n = 500, tamaño de la muestra
  • edad.poblacion es la edad conocida y recabada de las personas.
  • media.pob es la media de toda la población,
  • desv.std es la desviación estándar de toda la población,
options(scipen = 999) # Para mostrar notación normal y no científica en el valor de N: 1e+06
N; n; 
## [1] 1000000
## [1] 500
options(scipen = 0) # Regresa a notación numérica normal 
summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   11.00   32.00   35.00   34.99   38.00   59.00
media.pob; desv.std
## [1] 34.99484
## [1] 5.009104
  • En el anterior ejercicio se determinaron cinco muestras y cinco errores muestrales, uno de cada muestra.
  • De acuerdo al concepto de distribución muestral de la media,
  • ¿Cual es la cantidad posibles muestras de grupos de 500 que se pueden determinar para una población de 1000000?
  • Se necesita determinar la combinaciones …

\[C(N/(n))=N!/n!⋅(N−n)!\] Por lo anterior el número de muestra con una población de un millón (1000000) en grupo de 500 es demasiado grande para tratarlo.

Para ejemplificar el teorema de límite central se reduce la población a 10 con muestras de 2 personas.

Simulando una nueva población con los mismos valores de media de edad igual a 35 y desviación de 5.

Se determinan los nuevos parámetros de medias y desviaciones estándar de la población. * N = 10, tamaño de la población * n = 2, tamaño de la muestra

N <- 10; n <- 2

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

edad.poblacion
##  [1] 42 38 32 38 39 38 40 30 36 31
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

media.pob; desv.std
## [1] 36.4
## [1] 4.060651

De acuerdo al concepto distribución muestral de la media ¿cuál es el número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10?

n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)
## [1] 45

Ahora bien ¿cuál es el valor estadístico de la media de la edad de la primera muestra, de la segunda, de la tercera y de la 45 ava muestra.

  • Determinando muestras en grupos de 2
muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))

muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))

muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
  medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)

muestras <- data.frame(muestras)

colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")

kable(muestras, caption = "Las muestras")
Las muestras
Muestra Pos.1 Pos.2 Valor.1 Valor.2 Media muestra Media pob. Error
1 1 2 42 38 40.0 36.4 3.6
2 1 3 42 32 37.0 36.4 0.6
3 1 4 42 38 40.0 36.4 3.6
4 1 5 42 39 40.5 36.4 4.1
5 1 6 42 38 40.0 36.4 3.6
6 1 7 42 40 41.0 36.4 4.6
7 1 8 42 30 36.0 36.4 -0.4
8 1 9 42 36 39.0 36.4 2.6
9 1 10 42 31 36.5 36.4 0.1
10 2 3 38 32 35.0 36.4 -1.4
11 2 4 38 38 38.0 36.4 1.6
12 2 5 38 39 38.5 36.4 2.1
13 2 6 38 38 38.0 36.4 1.6
14 2 7 38 40 39.0 36.4 2.6
15 2 8 38 30 34.0 36.4 -2.4
16 2 9 38 36 37.0 36.4 0.6
17 2 10 38 31 34.5 36.4 -1.9
18 3 4 32 38 35.0 36.4 -1.4
19 3 5 32 39 35.5 36.4 -0.9
20 3 6 32 38 35.0 36.4 -1.4
21 3 7 32 40 36.0 36.4 -0.4
22 3 8 32 30 31.0 36.4 -5.4
23 3 9 32 36 34.0 36.4 -2.4
24 3 10 32 31 31.5 36.4 -4.9
25 4 5 38 39 38.5 36.4 2.1
26 4 6 38 38 38.0 36.4 1.6
27 4 7 38 40 39.0 36.4 2.6
28 4 8 38 30 34.0 36.4 -2.4
29 4 9 38 36 37.0 36.4 0.6
30 4 10 38 31 34.5 36.4 -1.9
31 5 6 39 38 38.5 36.4 2.1
32 5 7 39 40 39.5 36.4 3.1
33 5 8 39 30 34.5 36.4 -1.9
34 5 9 39 36 37.5 36.4 1.1
35 5 10 39 31 35.0 36.4 -1.4
36 6 7 38 40 39.0 36.4 2.6
37 6 8 38 30 34.0 36.4 -2.4
38 6 9 38 36 37.0 36.4 0.6
39 6 10 38 31 34.5 36.4 -1.9
40 7 8 40 30 35.0 36.4 -1.4
41 7 9 40 36 38.0 36.4 1.6
42 7 10 40 31 35.5 36.4 -0.9
43 8 9 30 36 33.0 36.4 -3.4
44 8 10 30 31 30.5 36.4 -5.9
45 9 10 36 31 33.5 36.4 -2.9

La media de la distribución muestral de la media se obtiene al sumar las medias muestrales y dividir el resultado entre el número de muestras. La media de todas las medias muestrales se representa mediante μx¯

Entonces … la media de la distribución muestral comparado con la media poblaciónal

paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))
## [1] "La media poblacional es:  36.4  y la media de la edad de la distribución muestral es:  36.4"

INTERPRETACION DEL CASO

En el caso 23 se hablará sobre el teorema del Limite Central y en este caso pondremos adelante un ejemplo para explicar mejor dicho teorema y trata sobre experimentar con una población de 1,000,000 de edades de personas dichas personas tienen une media de edad entre 35 años y su desviación estándar de 5, después se saca un valor medio de la población que es de 35 y su desviación estándar es de 5.006. en los histogramas en el de la edad de la población se ve que el pico mas alto esta en 150,000, a continuación, se saca las combinaciones en el que se necesita dividir factoriales y como es casi imposible sacar la factorial de 1,00,000 se tendrá que dividir en grupos de 500 para poder tratar con ese problema, ya finalmente la media de la población es del 33.6 y la de la edad es del 33.6