Combinatoria
Generalmente en el lenguaje natural se usa la palabra “combinación” para hacer referencia a una mezcla, sin atribuir importancia al orden de los elementos involucrados. De ahí que el vocablo presente dos sentidos principales, contradictorios en el uso:
- En “La ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas”, el orden de las frutas no es importante, ya que este no altera la naturaleza del producto resultante.
- En “La combinación de la cerradura es 451”, el orden de las cifras de la contraseña sí es significativo, ya que ni 514 ni 145 funcionarían.
Para evitar confusiones similares, las matemáticas emplean un lenguaje más preciso:
- Si el orden no es relevante, es una combinación.
- Si el orden es importante, se trata de una permutación.
Uno de los experimentos estadísticos fundamentales consiste en distinguir los objetos de una urna. La función 𝑢𝑟𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠(𝑥, 𝑠𝑖𝑧𝑒, 𝑟𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑) crea un espacio muestral asociado con el experimento de toma de muestras de objetos distinguibles de una urna. En él, el argumento 𝑥 representa el conjunto de datos de entre los cuales se tomará la muestra; el argumento 𝑠𝑖𝑧𝑒, el tamaño de la muestra; 𝑟𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒, un valor lógico que indica si el muestreo debe realizarse con el reemplazo o no; y 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 funciona como el valor lógico que indica si el orden entre las muestras es importante.
Por ejemplo, para calcular el espacio muestral de la variable aleatoria al tomar dos bolas de una urna de tres bolas numeradas del uno al tres. Para este caso, el muestreo se realizará sin reemplazamiento, de modo que el mismo número no pueda aparecer dos veces en cualquiera de las filas.
Se necesitan los paquetes 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡 y 𝑝𝑟𝑜𝑏.
Y se realiza un muestreo sin reemplazamiento:
## X1 X2
## 1 1 2
## 2 2 1
## 3 1 3
## 4 3 1
## 5 2 3
## 6 3 2Y ahora un muestreo con reemplazamiento:
## X1 X2
## 1 1 1
## 2 2 1
## 3 3 1
## 4 1 2
## 5 2 2
## 6 3 2
## 7 1 3
## 8 2 3
## 9 3 3Si el orden no es importante, indicar que el par (𝑖, 𝑗) y (𝑗, 𝑖) no aparece.
## X1 X2
## 1 1 1
## 2 1 2
## 3 1 3
## 4 2 2
## 5 2 3
## 6 3 3Por ejemplo, para construir el espacio muestral como resultado de elegir dos bolas sin reposición, a partir de una urna que contenga tres bolas rojas, dos amarillas y una azul:
## [1] "Rojo" "Rojo" "Rojo" "Amarillo" "Amarillo" "Azul"Posibilidad de escoger dos bolas:
## X1 X2
## 1 Rojo Rojo
## 2 Rojo Rojo
## 3 Rojo Amarillo
## 4 Rojo Amarillo
## 5 Rojo Azul
## 6 Rojo Rojo
## 7 Rojo Amarillo
## 8 Rojo Amarillo
## 9 Rojo Azul
## 10 Rojo Amarillo
## 11 Rojo Amarillo
## 12 Rojo Azul
## 13 Amarillo Amarillo
## 14 Amarillo Azul
## 15 Amarillo AzulEn algunos casos no será necesario generar espacios muestrales de interés, sino que será suficiente contar el número de resultados. La función 𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝 permite calcular el número de filas de un espacio muestral realizado por la función 𝑢𝑟𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠. Su sintaxis es:
𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝(𝑛, 𝑘, 𝑟𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑) Donde: - “n” es el número de elementos que conforman la población. - “k” es el número de elementos de la muestra. - “replace” es un valor lógico que indica si hay reemplazo o no. - “ordered” es un valor lógico que indica si hay, o no, orden.
Ejemplo 1: De una población de 3 elementos, se elige una muestra de 2, con reemplazamiento y sin repetición.
## [1] 9Ejemplo 2: De una población de 6 elementos, se elige una población de 2, sin reemplazamiento y con repetición.
## [1] 151.- Permutaciones
Fórmula: \[ P_n= n! \] Se llaman permutaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos, denotadas por 𝑃𝑛, a los distintos grupos que se pueden formar, de tal manera que en cada grupo entren los 𝑛 elementos y que se diferencien entre ellos por el orden de estos.
Ejemplo:
¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos 1, 5, 7 ?
Solución: Dado que n = 3 \[ P_3= 3! = 6 \] En R, se carga la librería “prob” con “library(prob)” y también instalamos el paquete “gtools” con “install.packages(”gtools").
Permutación sin repetición:
P1<-factorial(3)
paste('Existen',P1,'números distintos de tres cifras que puedesn escribirse con 1,5 y 7.')## [1] "Existen 6 números distintos de tres cifras que puedesn escribirse con 1,5 y 7."Muestra mediante 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠:
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 5 7
## [2,] 1 7 5
## [3,] 5 1 7
## [4,] 5 7 1
## [5,] 7 1 5
## [6,] 7 5 1Muestra mediante 𝑢𝑟𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠:
## X1 X2 X3
## 1 1 5 7
## 2 1 7 5
## 3 7 1 5
## 4 7 5 1
## 5 5 7 1
## 6 5 1 71.1.- Permutaciones Circulares
Fórmula: \[ PC_n= (n-1)! \] Se utilizan cuando los elementos se ordenan en círculo, como sucede en el caso de los comensales de una mesa, de modo que el primer elemento que se sitúe en la muestra determina el inicio y el final.
Ejemplo: ¿De cuántas formas pueden sentarse cuatro personas en una mesa circular?
Solución: Considerando que n = 4, aplicando la fórmula. \[ PC_4= (4-1)! = 3! = 6 \] En R:
## [1] "Se pueden sentar de 6 formas diferentes."1.2.- Permutaciones con Repitición
Fórmula: Es el factorial de la cantidad de datos entre la multiplicación de los factoriales de cada subgurpo, donde la suma de cada subgrupo debe ser igual a la cantidad de datos. \[ PR_{n;k1;k2;..;ka} = \frac{n!}{k_1!k_2!...k_3!} \] Donde: 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑎 = 𝑛
Se conoce como permutaciones con repetición de 𝑛 elementos, distribuidos en 𝑎 grupos de 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑎 elementos. El primer elemento se repite 𝑘1 veces; el segundo, 𝑘2 veces; y así sucesivamente.
Ejemplo:
¿Cuántas ordenaciones diferentes pueden formarse con todas las letras de la palabra AMAR? Para ello, debemos indicar cuántas veces se repite cada consonante. Donde: A=2, M=1 y R=1
Aplicando la fórmula: \[ PR_4 = \frac{4!}{2!1!1!} \\ PR_4 = \frac{24}{2} = 12 \] En R:
Pr<-function(n,k){
if (n==sum(k))
{
Pr<-factorial(n)/prod(factorial(k))
}
else
{
Pr<-'NAN'
}
return(Pr)
}
Pr(4,c(2,1,1))## [1] 12Se muestran tales permutaciones: donde las permutaciones vienen dadas por 4 palabras tomadas de 4 tomadas por cada subgrupo.
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "A" "M" "A" "R"
## [2,] "A" "M" "R" "A"
## [3,] "A" "A" "M" "R"
## [4,] "A" "A" "R" "M"
## [5,] "A" "R" "M" "A"
## [6,] "A" "R" "A" "M"
## [7,] "M" "A" "A" "R"
## [8,] "M" "A" "R" "A"
## [9,] "M" "A" "A" "R"
## [10,] "M" "A" "R" "A"
## [11,] "M" "R" "A" "A"
## [12,] "M" "R" "A" "A"
## [13,] "A" "A" "M" "R"
## [14,] "A" "A" "R" "M"
## [15,] "A" "M" "A" "R"
## [16,] "A" "M" "R" "A"
## [17,] "A" "R" "A" "M"
## [18,] "A" "R" "M" "A"
## [19,] "R" "A" "M" "A"
## [20,] "R" "A" "A" "M"
## [21,] "R" "M" "A" "A"
## [22,] "R" "M" "A" "A"
## [23,] "R" "A" "A" "M"
## [24,] "R" "A" "M" "A"2.- Variaciones
2.1.- Variaciones sin repetición
Fórmula: donde n es el total de datos y k de subgrupos. \[ V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \] Se llama variaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘, a los distintos grupos que pueden formarse con los 𝑛 elementos, de tal forma que en cada grupo entren 𝑘 elementos distintos y que cada conjunto se diferencie de los demás, ya sea por alguno de sus componentes o por el orden de colocación. Se denotan como 𝑉𝑛,𝑘.
Ejemplo: En una clase de 22 alumnos, todos ellos quieren sentarse en los cinco asientos de la primera fila. ¿De cuántas formas el profesor puede asignar esos asientos?
Solución: los datos son que n=22 y k=5
Aplicando la fórmula: \[ V_{22,5} = \frac{22!}{(22-5)!} \\ V_{22,5} = \frac{22*21*20*19*18*17!}{17!} \\ V_{22,5} = 22*21*20*19*18 \\ V_{22,5} = 3,160,080.00 \] Existen 3 160 080 formas diferentes.
En R:
Uso de la función 𝑛𝑠𝑎𝑚𝑝:(n,k,replace,ordered)
v1<-nsamp(total.alumnos,asientos,replace = F,ordered = T)
paste("El profesor puede asignar una silla de",v1,"formas distintas.")## [1] "El profesor puede asignar una silla de 3160080 formas distintas."2.2.- Variaciones con repetición
Fórmula: \[ VR_{n,k} = n^k \] Se llaman variaciones con repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘, a los distintos grupos que se pueden formar con los 𝑛 elementos, de tal manera que en cada grupo entren 𝑘 elementos iguales o distintos, quepuedan diferenciarse entre sí, por algún elemento o por su orden de colocación. Se los denota como 𝑉𝑅𝑛,𝑘.
Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras que empiecen con 6 pueden formarse?
Solución: como los números deben ser de 4 cifras y el primero está definido por 6, solo se debe encontrar a los otros 3. Entonces n=10 y k=3. \[ VR_{10,3}=10^3=100 \] En R:
Uso de nsamp:
v2<-nsamp(n,k,replace=T,ordered = T)
paste("Se pueden formar",v2,"números de",k+1,"cifras que empiecen con 6.")## [1] "Se pueden formar 1000 números de 4 cifras que empiecen con 6."3.- Combinaciones
3.1.- Combinaciones sin repetición
Fórmula: \[ C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Se llama combinaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘, a los diferentes conjuntos de 𝑘 elementos distintos, esto es, aquellos que se diferencien entre sí en al menos un elemento (sin importar el orden de colocación o selección). Se denotan como 𝐶𝑛,𝑘.
Ejemplo: En una carrera con 10 participantes, a los dos primeros clasificados se les entrega 1000 soles. ¿Cuántos son los posibles repartos que pueden realizarse?
Solución: donde n=10 y k=2
Con fórmula: \[ C_{10,2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} \\ C_{10,2} = \frac{10*9*8}{2!8!} \\ C_{10,2} = \frac{90}{2} \\ c_{10,2} = 45 \] En R:
Uso de nsamp:
## [1] "Se pueden formar 45 posibles repartos."Por lo tanto, se pueden realizar 45 repartos posibles.
3.2.- Combinaciones con repetición
Fórmula: \[ C_{n,k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} \] Se llama combinaciones con repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘, a las diferentes agrupaciones de 𝑘 elementos, de tal forma que cada una se diferencie de las demás en, al menos, un elemento (sin importar el orden de colocación o selección). Se denotan como 𝐶𝑅𝑛,𝑘.
Ejemplo: En un avión hay argentinos, peruanos, españoles y venezolanos. Se entrevista al azar a 10 de ellos. ¿De cuántas formas diferentes pueden resultar las nacionalidades?
Solución: donde n=4 y k=10.
Con fórmula: \[ C_{4,10} = \frac{(10+4-1)!}{10!(4-1)!} \\ C_{4,10} = \frac{13!}{10!3!} = \frac{13*12*11*10!}{10!*6} = 286\\ \] En R:
Uso de nsamp: la combinatoria es la siguiente.
c2<-nsamp(n,k,replace=T,ordered = F)
paste("Las nacionalidades pueden resultar de",c2,"formas diferentes.")## [1] "Las nacionalidades pueden resultar de 286 formas diferentes."Ejemplos
Ejemplo 1: Permutación circular
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse cifras esde el 1 hasta el 6 en una mesa circular? Aplicando la fórmula. \[ PC_6 = (6-1)! = 5! = 120 \] En R:
## [1] "Se podrán ubicar con 120 formas diferentes."Para visualizar dichas permutaciones usamos el siguiente código:
M<-data.frame(rep(1,120),urnsamples(seq(2,6,by=1),size=5, replace=F, ordered=T))
colnames(M)<-c("CifraFija","Cifra2","Cifra3","Cifra4","Cifra5","Cifra6")
dim(M)## [1] 120 6## CifraFija Cifra2 Cifra3 Cifra4 Cifra5 Cifra6
## 1 1 2 3 4 5 6
## 2 1 2 3 4 6 5
## 3 1 2 3 6 4 5
## 4 1 2 6 3 4 5
## 5 1 6 2 3 4 5
## 6 1 6 2 3 5 4
## 7 1 2 6 3 5 4
## 8 1 2 3 6 5 4
## 9 1 2 3 5 6 4
## 10 1 2 3 5 4 6
## 11 1 2 5 3 4 6
## 12 1 2 5 3 6 4
## 13 1 2 5 6 3 4
## 14 1 2 6 5 3 4
## 15 1 6 2 5 3 4## CifraFija Cifra2 Cifra3 Cifra4 Cifra5 Cifra6
## 106 1 6 3 5 2 4
## 107 1 3 6 5 2 4
## 108 1 3 5 6 2 4
## 109 1 3 5 2 6 4
## 110 1 3 5 2 4 6
## 111 1 3 2 5 4 6
## 112 1 3 2 5 6 4
## 113 1 3 2 6 5 4
## 114 1 3 6 2 5 4
## 115 1 6 3 2 5 4
## 116 1 6 3 2 4 5
## 117 1 3 6 2 4 5
## 118 1 3 2 6 4 5
## 119 1 3 2 4 6 5
## 120 1 3 2 4 5 6Ejemplo 2: Combinaciones sin repetición
¿De cuántas maneras puede escogerse a 5 personas de un grupo de 10, para que resuelvan una encuesta sobre la preferencia de un producto? \[ C_{5,10} = \frac{10!}{5!(10-5)!} C_{5,10} = \frac{10*9*8*7*6*5!}{5!*5!} \\ C_{5,10} = \frac{10*9*8*7*6}{5*4*3*2*1} = 252 \]
## [1] "Se pueden escoger de 252 diferentes maneras."Para ver las combinaciones
## X1 X2 X3 X4 X5
## 238 4 5 7 8 9
## 239 4 5 7 8 10
## 240 4 5 7 9 10
## 241 4 5 8 9 10
## 242 4 6 7 8 9
## 243 4 6 7 8 10
## 244 4 6 7 9 10
## 245 4 6 8 9 10
## 246 4 7 8 9 10
## 247 5 6 7 8 9
## 248 5 6 7 8 10
## 249 5 6 7 9 10
## 250 5 6 8 9 10
## 251 5 7 8 9 10
## 252 6 7 8 9 10Ejemplo 3: Variaciones con repetición
¿Cuántos grupos diferentes de letras tomadas de 2 en 2 pueden formarse con la palabra AMOR? Fórmula: \[ VR_{4,2} = 4^2 = 16 \] En R:
## [1] "Se pueden formar 60466176 grupos de 2 en 2"Los grupos son los siguientes:
## X1 X2
## 1 A A
## 2 M A
## 3 O A
## 4 R A
## 5 A M
## 6 M M
## 7 O M
## 8 R M
## 9 A O
## 10 M O
## 11 O O
## 12 R O
## 13 A R
## 14 M R
## 15 O R
## 16 R REjemplo: Variaciones sin repetición
Diez participantes se han presentado a un concurso literario, junto con sus novelas. El cuadro de honor será conformado por el ganador, un finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
Fórmula: \[ V_{10}^3 = \frac{10!}{(7)!} = \frac{10*9*8*7!}{7!} = 10*9*8 = 720 \] En R:
## [1] 720Ejemplo 4: Combinaciones con repetición
En una tienda hay camisas de cinco colores diferentes, ¿cuántos grupos de tres camisas de distintos colores pueden formarse? Fórmula: donde n=5 y k=3 \[ CR_{n}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \frac{5+3-1}{3!(5-1)!} = \frac{7!}{3!4!} = 35 \] En R:
## [1] 35Ejemplo 5: Permutaciones con repetición
En una urna hay bolas blancas, negras y rojas, ¿de cuántas maneras pueden extraerse las dos primeras bolas? \[ PR_{3,2} = 3^2 = 9 \] En R:
## [1] "blancas" "negras" "rojas"Aplicando la función de permutaciones:
## [,1] [,2]
## [1,] "blancas" "blancas"
## [2,] "blancas" "negras"
## [3,] "blancas" "rojas"
## [4,] "negras" "blancas"
## [5,] "negras" "negras"
## [6,] "negras" "rojas"
## [7,] "rojas" "blancas"
## [8,] "rojas" "negras"
## [9,] "rojas" "rojas"De esta forma, se obtendrá que pueden asignarse el primer y segundo lugar de 9 maneras diferentes:
## [1] 9Bibliografía
- Mode, E. (2005) Elementos de probabilidad y estadística. Barcelona, España: Reverte.
- Wilhelmi, M. (2004) Combinatoria y probabilidad. Granada, España: Grupo de Investigación en Educación Estadística, Universidad de Granada.