Objetivo

Simular el teorema del límite central.

Descripcion

Con un conjunto de datos y librerías adecuadas, simular el valor de la media muestral comparado con el valor de la media poblacional asociando con ello con el teorema del límite central.

Proceso:

Paso 1: Cargar librerias

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)
library(knitr)
library(fdth)
library(gtools)
library(Rmpfr)  # Para factoriales de números muy grandes

Paso 2: Cargar datos

Experimentar con una población de 1,000,000 de edades de personas

  • Se simula una población bajo una condición de distribución normal de N=1,000,000 (un millón) de personas con media de edad de 35 años y desviación estándar de 5.
  • Se muestran los parámetros principales de la edad de la población.
N <- 1000000;

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   13.00   32.00   35.00   35.01   38.00   60.00
paste("El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los primeros cincuenta valores ..."
head(edad.poblacion, 50)
##  [1] 31 45 34 28 38 38 40 37 38 40 32 42 36 37 40 36 40 39 43 41 38 33 23 38 27
## [26] 38 51 36 37 40 26 45 41 33 35 42 36 33 41 41 38 41 40 37 25 37 43 42 30 46
paste("El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ...")
## [1] "El valor de edad de una pobacion. Los últimos cincuenta valores ..."
tail(edad.poblacion, 50)
##  [1] 34 23 31 28 34 38 31 35 37 28 33 40 39 41 37 32 32 32 34 33 31 39 40 29 41
## [26] 33 39 36 38 36 46 36 31 29 47 41 29 33 37 39 33 25 42 27 38 41 36 44 38 32
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

paste("Los parámetros de la media y desviación estándar de la población")
## [1] "Los parámetros de la media y desviación estándar de la población"
media.pob; desv.std
## [1] 35.00648
## [1] 5.008383
  • El valor medio de la edad de la pobación \(μ\) es 35.002037 y el valor de la desviación estándar de la población es \(S^2\) es 5.0063637.

Determinar medias y desviaciones muestrales

  • Determinar 5 muestras de \(n=500\) casos por medio de la función sample().
  • Se visualizan los estadísticos principales por medio de la función summary().
  • Se utiliza un ciclo para determinar las medias de cada muestra.
  • Se construye un data frame con los valores de los errores estadísticos.
n <- 500
muestras <- data.frame(m1=sample(edad.poblacion, n),
                       m2=sample(edad.poblacion, n),
                       m3=sample(edad.poblacion, n),
                       m4=sample(edad.poblacion, n),
                       m5=sample(edad.poblacion, n))

summary(muestras)
##        m1              m2             m3             m4              m5      
##  Min.   :19.00   Min.   :23.0   Min.   :18.0   Min.   :21.00   Min.   :22.0  
##  1st Qu.:32.00   1st Qu.:31.0   1st Qu.:32.0   1st Qu.:32.00   1st Qu.:32.0  
##  Median :35.00   Median :35.0   Median :35.0   Median :35.00   Median :35.0  
##  Mean   :34.96   Mean   :34.8   Mean   :34.8   Mean   :34.77   Mean   :35.3  
##  3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:38.0   3rd Qu.:38.0   3rd Qu.:38.00   3rd Qu.:39.0  
##  Max.   :52.00   Max.   :49.0   Max.   :51.0   Max.   :49.00   Max.   :54.0
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los primeros diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
36 42 38 27 44
39 42 36 34 28
31 41 34 47 36
34 33 25 32 31
44 35 38 33 35
37 33 41 37 34
38 39 30 26 43
23 28 39 31 29
27 33 38 28 28
31 33 35 39 31 
kable(head(muestras, 10), caption = "Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros")
Muestras de la población. Los últimos diez de 500 registros
m1 m2 m3 m4 m5
36 42 38 27 44
39 42 36 34 28
31 41 34 47 36
34 33 25 32 31
44 35 38 33 35
37 33 41 37 34
38 39 30 26 43
23 28 39 31 29
27 33 38 28 28
31 33 35 39 31 
medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:5) {
  medias[i] <- mean(muestras[,i])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

error.muestreo <- data.frame(Media.Poblacion = media.pob, Media.Muestras = medias, Errores = error)

kable(error.muestreo, caption = "Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población")
Error de media de edad de cada muestra con respecto a la media de la población
Media.Poblacion Media.Muestras Errores
35.00648 34.956 -0.050483
35.00648 34.804 -0.202483
35.00648 34.798 -0.208483
35.00648 34.772 -0.234483
35.00648 35.296 0.289517
  • Cada una de estas diferencias en la columna de errores, representa el error de muestreo cometido al calcular la media de la población. A veces estos errores son valores positivos, lo cual indica que la media muestral sobre excedió la media poblacional; otras veces son negativos, lo cual indica que la media muestral es inferior a la media poblacional (Lind et al., 2015).

Visualizando la población y la muestra

hist(edad.poblacion, main = "Histrograma de la edad de la población")

hist(muestras$m1, main = "Histrograma de la edad de la muestra 1", ylab = "Observaciones", xlab="Edades")

hist(muestras$m2, main = "Histrograma de la edad de la muestra 2", ylab = "Observaciones", xlab="Edades")

hist(muestras$m3, main = "Histrograma de la edad de la muestra 3", ylab = "Observaciones", xlab="Edades")

hist(muestras$m4, main = "Histrograma de la edad de la muestra 4", ylab = "Observaciones", xlab="Edades")

hist(muestras$m5, main = "Histrograma de la edad de la muestra 5", ylab = "Observaciones", xlab="Edades")

  • Con el ejercicio anterior, anterior se encontró el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; bajo este contexto, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se determina la exactitud de la estimación?, es decir, como saber si la media de la muestra es un estimador real con respecto a la población.

Para responder estas preguntas, primero hay que precisar el concepto de distribución muestral de la media:

Es la distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestral de la población (Lind et al., 2015).

  • Se recapitulan los datos iniciales.
  • N = 1000000, tamaño de la población.
  • n = 500, tamaño de la muestra.
  • edad.poblacion es la edad conocida y recabada de las personas.
  • media.pob es la media de toda la población.
  • desv.std es la desviación estándar de toda la población.
options(scipen = 999) # Para mostrar notación normal y no científica en el valor de N: 1e+06
N; n; 
## [1] 1000000
## [1] 500
options(scipen = 0) # Regresa a notación numérica normal 
summary(edad.poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   13.00   32.00   35.00   35.01   38.00   60.00
media.pob; desv.std
## [1] 35.00648
## [1] 5.008383

  • Por lo anterior el número de muestra con una población de un millón (1000000) en grupo de 500 es demasiado grande para tratarlo.

  • Para ejemplificar el teorema de límite central se reduce la población a 10 con muestras de 2 personas.

  • Simulando una nueva población con los mismos valores de media de edad igual a 35 y desviación de 5.

  • Se determinan los nuevos parámetros de medias y desviaciones estándar de la población. * \(N = 10\), tamaño de la población * \(n = 2\), tamaño de la muestra.

N <- 10; n <- 2

edad.poblacion <- round(rnorm(N, mean = 35, sd = 5), 0)

edad.poblacion
##  [1] 47 43 32 41 26 28 41 33 36 35
media.pob <- mean(edad.poblacion)
desv.std <- sd(edad.poblacion)

media.pob; desv.std
## [1] 36.2
## [1] 6.746192
n.combinaciones <- factorialMpfr(N) / (factorialMpfr(n) * (factorialMpfr(N-n)))
as.integer(n.combinaciones)
## [1] 45
  • De acuerdo al concepto distribución muestral de la media ¿cuál es el número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10?
paste("El número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10 es de", as.integer(n.combinaciones))
## [1] "El número de muestras que hay que determinar en grupos de 2 para una población de 10 es de 45"
  • Determinando muestras en grupos de 2
muestras <- cbind(1:as.integer(n.combinaciones))

muestras <- cbind(muestras, combinations(N, n, 1:N))

muestras <- cbind(muestras, edad.poblacion[muestras[,2]], edad.poblacion[muestras[,3]])

medias <- 0
error <- 0

for(i in 1:as.integer(n.combinaciones)) {
  medias[i] <- mean(muestras[i,c(4,5)])
  error[i] <- medias[i] - media.pob
}

muestras <- cbind(muestras, medias)
muestras <- cbind(muestras, media.pob)
muestras <- cbind(muestras, error)

muestras <- data.frame(muestras)

colnames(muestras) <- c("Muestra", "Pos.1", "Pos.2", "Valor.1", "Valor.2", "Media muestra", "Media pob.", "Error")

kable(muestras, caption = "Las muestras")
Las muestras
Muestra Pos.1 Pos.2 Valor.1 Valor.2 Media muestra Media pob. Error
1 1 2 47 43 45.0 36.2 8.8
2 1 3 47 32 39.5 36.2 3.3
3 1 4 47 41 44.0 36.2 7.8
4 1 5 47 26 36.5 36.2 0.3
5 1 6 47 28 37.5 36.2 1.3
6 1 7 47 41 44.0 36.2 7.8
7 1 8 47 33 40.0 36.2 3.8
8 1 9 47 36 41.5 36.2 5.3
9 1 10 47 35 41.0 36.2 4.8
10 2 3 43 32 37.5 36.2 1.3
11 2 4 43 41 42.0 36.2 5.8
12 2 5 43 26 34.5 36.2 -1.7
13 2 6 43 28 35.5 36.2 -0.7
14 2 7 43 41 42.0 36.2 5.8
15 2 8 43 33 38.0 36.2 1.8
16 2 9 43 36 39.5 36.2 3.3
17 2 10 43 35 39.0 36.2 2.8
18 3 4 32 41 36.5 36.2 0.3
19 3 5 32 26 29.0 36.2 -7.2
20 3 6 32 28 30.0 36.2 -6.2
21 3 7 32 41 36.5 36.2 0.3
22 3 8 32 33 32.5 36.2 -3.7
23 3 9 32 36 34.0 36.2 -2.2
24 3 10 32 35 33.5 36.2 -2.7
25 4 5 41 26 33.5 36.2 -2.7
26 4 6 41 28 34.5 36.2 -1.7
27 4 7 41 41 41.0 36.2 4.8
28 4 8 41 33 37.0 36.2 0.8
29 4 9 41 36 38.5 36.2 2.3
30 4 10 41 35 38.0 36.2 1.8
31 5 6 26 28 27.0 36.2 -9.2
32 5 7 26 41 33.5 36.2 -2.7
33 5 8 26 33 29.5 36.2 -6.7
34 5 9 26 36 31.0 36.2 -5.2
35 5 10 26 35 30.5 36.2 -5.7
36 6 7 28 41 34.5 36.2 -1.7
37 6 8 28 33 30.5 36.2 -5.7
38 6 9 28 36 32.0 36.2 -4.2
39 6 10 28 35 31.5 36.2 -4.7
40 7 8 41 33 37.0 36.2 0.8
41 7 9 41 36 38.5 36.2 2.3
42 7 10 41 35 38.0 36.2 1.8
43 8 9 33 36 34.5 36.2 -1.7
44 8 10 33 35 34.0 36.2 -2.2
45 9 10 36 35 35.5 36.2 -0.7 
paste("La media poblacional es: ", media.pob, " y la media de la edad de la distribución muestral es: ", mean(muestras$`Media muestra`))
## [1] "La media poblacional es:  36.2  y la media de la edad de la distribución muestral es:  36.2"

Paso 3: Interpretacion

En este caso se usamos el teorema del limite central, el cual nos ayuda a encontrar la media poblacion y la media de distribucion. Por ejemplo:

  • El primer ejercicio, se experimeto con una poblacion de 1,000,000 de edades de personas, sabiendo que la media de edad es de 35 y su desviacion estandar es de 5, apartir de estos datos, se comienza a buscar el valor de edad de los primeros y ultimos 50 valores, y luego realizamos parametros de media y desvacion estandar de la poblacion, el cual nos da como resultado que la media edad es de 35.0020 y la desviacion estandar es la poblacion es de 5.0063.

  • En el segundo ejercicio, se determina la media y la desviacion estadar de muestras, para esto se checa los primeros y utlimtos 500 muestras de la poblacion, luego se busca el error de media de cada muestra con respecto a la media de la poblacion, esto quiere decir que si el resultado es negativo, la media muestral es inferior a la media poblacional y si es positiva, es que excede a la media de la poblacion, como se muestra en las visualizaciones de las graficas de barras.

  • Para el tercer ejercicio, se retomaron los datos de los anteriores ejercicios, el tamaño de la poblacion que son 1,000,000, al tamaño de las muestras que son 500, edades de la poblacion conocidas y recabadas de las personas,la media de toda la poblacion y su desviacion estandar, para poder realizar el teorema, lo que hacemos es redicir a la poblacion de 10 con muestras de 2 personas, con esto se puede simular una nueva poblacion con los mismos valores de la media de edades, que son 35 y 5, con esto se determina un nuevo parametro, y se obtendriamos el numero de muestras que se determinaron en grupos de 2 para una población de 10, dando como resultado 45, y entendiendo que la media poblacion es de 34.4 y de la media de la edad de la distribucion muestral es de 34.4.