Custo Mínimo em Processos de Poisson 
Profa. Dra. Cira E. Guevara Otiniano1
Aluno Adolfo Manoel Dias da Silva2
12/01/2020
Abstract
Escreva aqui seu abstract.
1 Introdução
A programação foi realizada na linguagem R (https://www.r-project.org/) , utilizando o IDE RStudio (link).
IDE é o ambiente de desenvolvimento integrado (Em inglês, Integrated Development Environment).
Neste Trabalho, implementamos o Custo Mínimo Esperado (teórico) e o Custo Mínimo Amostral (simulado).
2 Valores Teóricos
A seguir, apresentamos os resultados teóricos para Distãncia Esperada e para o Custo Mínimo Esperado em processos de Poisson independentes.
2.1 Distância Esperada
Considere dois processos de Poisson independentes com taxas de chegada \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), cujos tempos de chegadas são, respectivamente, \(X_1,X_2,\cdots\) e \(Y_1,Y_2,\cdots\). Então, a fórmula
\[ \begin{align} E\big[|X_k-Y_k|\big]=k\bigg(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\bigg)+2k\bigg(\frac{I_x(k,k+1)}{\lambda_2}-\frac{I_x(k+1,k)}{\lambda_1}\bigg) \tag{1} \end{align} \] é válida para \(r\geq0\), \(k\geq1\) inteiros e \(\lambda_1,\lambda_2>0\).
Sendo \(I_x(a,b)\) a função beta incompleta regularizada aplicada no ponto \(x=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)\), com parâmetros \(a\) e \(b\).
Demonstração (Ver dissertação)
E<-function(k,l1,l2){
x<-l1/(l1+l2)
res<-k*(1/l1-1/l2)+2*k*((1/l2)*pbeta(x,k,k+1)-(1/l1)*pbeta(x,k+1,k))
return(res)
}2.2 Custo Mínimo Esperado
O Custo Mímino Esperado (Teórico) é dado por
\[ \begin{align} C_{opt}(n,\lambda_1,\lambda_2)=\sum\limits_{k=1}^{n}E[|X_k-Y_k|]\tag{2} \end{align} \]
Custo_teorico<-function(n,l1,l2){
custo<-numeric(length(n))
for (j in 1:length(n)){
custo[j]<-sum(E(1:n[j],l1,l2))
}
return(custo)
}2.2.1 Intervalo Teórico para o Custo
Considere dois processos de Poisson independentes com taxas \(\lambda_1>0\) e \(\lambda_2>0\), com \(\lambda_1\geq \lambda_2\) e, respectivos, tempos de chegadas \(X_1,X_2,\cdots X_n\) e \(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\). Então, \[C_{opt}(\lambda_1,\lambda_2,n)=\sum\limits_{k=1}^{n}E\big[|X_k-Y_k\big]\in \big[\;l_n\;,\;s_n\;\big],\] é valido, em que
\[ \begin{align} l_n&=\frac{n(n+1)}{2}\bigg(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\bigg)+\frac{2}{\lambda_2}\times S(n,\lambda_1,\lambda_2), \;\;\mbox{e}\\\\ s_n&=\frac{n(n+1)}{2}\bigg(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\bigg)+\bigg(\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_1}\bigg) \times S(n,\lambda_1,\lambda_2), \tag{3} \end{align} \] com \[S(n,\lambda_1,\lambda_2)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(\;xx'\;)^k}{B(k+1,k)}\;,\quad x=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2) \quad \wedge \quad x^´=1-x.\]. \(B(k+1,k)\) é a função beta completa com parâmetros \(k+1\) e \(k\).
## Grafico para o Custo Mínimo Esperado com seus limites
G_Int<-function(n,l1,l2){
L<-length(n) ; x<-l1/(l1+l2) ; y<-1-x
custo<-LI<-LS<-numeric(L)
for (i in 1:L) {
LI[i]<-(n[i]*(n[i]+1)/2)*(1/l1-1/l2)+(2/l2)*sum((x*y)^(1:n[i])/beta(1:n[i]+1,1:n[i]))
LS[i]<-(n[i]*(n[i]+1)/2)*(1/l2-1/l1)+(1/l2+1/l1)*sum(((x*y)^(1:n[i]))/beta(1:n[i]+1,1:n[i]))
custo[i]<-sum(E(1:n[i],l1,l2))
}
plot(n,custo,type="l",main="Custo Minimo Esperado",ylab=expression(C[opt](n,lambda[1],lambda[2])))
lines(n,LI,col="red") ; lines(n,LS,col="blue")
}
## Plote dos Graficos
v<-seq(10,100,1)
l1<-rep(0.95,4)
l2<-c(0.90,0.92,0.94,0.95)
par(mfrow=c(2,2))
for (i in 1:4) {
G_Int(v,l1[i],l2[i])
legend("topleft", legend=bquote(lambda[1]==.(l1[[i]]) ~ "," ~lambda[2]==.(l2[[i]])) )
legend("bottomright",inset=0.02,legend=c("Limite Superior","Custo Exato","Limite Inferior"),
col=c("blue","black","red"),lty=c(1,1),cex=0.8)
}
Observação : No último gráfico, os limites superior e inferior coincidem, formando um intervalo degenerado .
2.2.2 Função de Distribuição Acumulada Empírica
Seja \(X_1,\cdots,X_n\) uma amostra aleatória de uma Função de Distribuição Acumulada desconhecida \(F\).
Um estimador não-paramétrico de \(F(x)\) é a Função de Distribuição Acumulada Empírica
\[ \begin{align} F_n(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}I_{\{x_i\leq x\}}(X_i).\tag{4} \end{align} \]
Como \(I_{(-\infty,x]}(X_1),\cdots,I_{(-\infty,x]}(X_n)\) são variáveis aleatórias i.i.d binárias com
\(P\big(I_{(-\infty,x]}(X_i)=1\big)=F(x)\), então a variável aleatória \(nF_n(x)\) tem distribuição \(Binomial\big(n,F(x)\big)\).
Consequentemente, \(F_n(x)\) é um estimador não viesado (não tendencioso) de \(F(x)\) com Variância e Erro Quadrático Médio (EQM) dados por:
\[ \begin{align} EQM\big[F_n(x)\big]=Var\big[F_n(x)\big]=\frac{F(x)[1-F(x)]}{n}.\tag{5} \end{align} \]
Alternativamente, temos
\[ \begin{align} F_n(x)=\begin{cases} 0, & \text{se}\;\; x<x_{(1)},\\ \frac{i}{n}, & \text{se}\;\; x_{(i)}\leq x < x_{(i+1)}, \;\;\forall\;i: 1 \leq i<n \\ 1, & \text{se}\;\; x\geq x_{(n)}, \end{cases}, \tag{6} \end{align} \]
em que \(x_{(1)}, x_{(2)},\cdots, x_{(n)}\) são realizações ordenadas das variáveis aleatórias \(X_1,X_2,\cdots,X_n\).
## Grafico da Funcao de Distribuicao Empirica
n<-100:120
l1<-c(2,4,6,8)
l2<-c(2,3,5,7)
set.seed(12345)
par(mfrow=c(2,2))
for (i in 1:4) {
plot.ecdf(Custo_teorico(n,l1[i],l2[i]),main="Distribuição Empírica do Custo Esperado")
legend("topleft", legend=bquote(lambda[1]==.(l1[[i]]) ~ "," ~lambda[2]==.(l2[[i]])) )
}
3 Valores Simulados
A seguir, apresentamos resultados provenientes da simulação do Custo em processos de Poisson independentes.
Considere as amostras aleatórias de tempos de chegada \(X_i=(X_{i1},X_{i2},\cdots, X_{im})\) e \(Y_i=(Y_{i1},Y_{i2},\cdots, Y_{im})\); \(i\in \{1,2,\ldots,n\}\), tais que
\[
\begin{align}
X_{ij}\sim Gama(i,\lambda_1) \quad \mbox{e} \quad Y_{ij}\sim Gama(i,\lambda_2),\quad \forall\; (i,j)\in\{1,\ldots,n\}\times \{1,\ldots,m\}.\tag{7}
\end{align}
\]
Nas matrizes abaixo, encontram-se as amostras de tamanho \(m\) dos \(n\) primeiros tempos de chegada. \[ \begin{bmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1m}\\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{nm} \end{bmatrix} \qquad \mbox{e}\qquad \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} & \cdots & Y_{1m}\\ Y_{21} & Y_{22} & \cdots & Y_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ Y_{n1} & Y_{n2} & \cdots & Y_{nm} \end{bmatrix} \]
O Custo Mínimo Amostral é dado por
\[ \begin{align} \hat{C}_{opt}(n,m,\lambda_1,\lambda_2)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{1}{m}\big|X_{ij}-Y_{ij}\big|,\tag{8} \end{align} \] em que \(m\) é o tamamho das amostras e \(n\) é a quantidade de amostras.
Custo.est<-function(n,m,l1,l2) {
# l1: taxa do processo 1
# l2: taxa do processo 2
# n: quantidade de amostras de tempo; (n primeiras chegadas)
# m: tamanho de cada amostra do tempo X_i
Custo<-numeric(length(n))
for (j in 1:length(n)){
mat.X<-matrix(0,nrow=n[j],ncol=m)
mat.Y<-matrix(0,nrow=n[j],ncol=m)
for (i in 1:n[j]){
mat.X[i,]<-rgamma(m,i,l1) # m tempos do 1o processo
mat.Y[i,]<-rgamma(m,i,l2) # m tempos do 2o processo
}
Custo[j]<-sum(rowMeans(abs(mat.X-mat.Y)))
}
return(Custo)
}3.1 Estimação dos parâmetros da distribuição Gama
Suponha \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma distribuição Gama(\(\alpha,\beta\)) com parâmetros de forma e de escala desconhecidos. Neste caso, podemos usar o Método de Estimação por Máximo-Verossimilhança. Através desse método, mostra-se que
\[ \hat{\alpha}\approx\frac{0.5}{log(\bar{x})-\overline{log(x)}} \quad \mbox{e} \quad \hat{\beta}\approx\frac{\hat{\alpha}}{\bar{x}}. \]
3.2 Esperança do Custo Amostral
\[ \begin{align} E(\hat{C}_{opt})&=E\bigg[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{1}{m}\big|X_{ij}-Y_{ij}\big|\bigg]\\ &\overset{(linear)}{=}\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{i=1}^{n}E\big[|X_{ij}-Y_{ij}|\big]\\ &\overset{(id)}{=}\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m}\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}E\big[|X_i-Y_i|\big]}_{C_{opt}\;\; \text{(independe de $j$)}}\\ &=\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m}C_{opt}=C_{opt}. \end{align} \]
3.3 Variância do Custo Amostral
\[ \begin{align} Var(\hat{C}_{opt})&=Var\bigg(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{1}{m}\big|X_{ij}-Y_{ij}\big|\bigg)\\ &=\frac{1}{m^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}Var(X_{ij}-Y_{ij})\\ &=\frac{1}{m^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\bigg(Var(X_{ij})+Var(Y_{ij})\bigg)\\ &= \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{n}\bigg(\frac{i}{\lambda_{1}^2}+\frac{i}{\lambda_{2}^2}\bigg)=\frac{n(n+1)}{2m}\bigg(\frac{1}{\lambda_1^2}+\frac{1}{\lambda_2^2}\bigg).\tag{10} \end{align} \]
## Variancia do Custo Amostral
Var_Custo.est<-function(n,m,l1,l2){(n*(n+1)/(2*m))*(1/l1^2+1/l2^2)}3.4 Distribuição do Custo Amostral
\[ \hat{C}_{opt}\sim N\bigg(E(\hat{C}_{opt}),Var(\hat{C}_{opt})\bigg), \] em que \[E(\hat{C}_{opt})=C_{opt}\qquad \mbox{e}\qquad Var(\hat{C}_{opt})=\frac{n(n+1)}{2m}\bigg(\frac{1}{\lambda_1^2}+\frac{1}{\lambda_2^2}\bigg),\] conforme calculado anteriormente.
\(C_{opt}\) é o Custo Teórico (obtido pela soma da distância esperada \(E[|X_k-Y_k|]\)).
3.5 Convergência pela Lei dos Grandes Números
A Lei dos Grandes Números garante a seguinte convergência em probabilidade
\[ \begin{align}\hat{C}_{opt} \overset{P}{\to} C_{opt}, \quad m\to \infty \tag{11} \end{align} \]
set.seed(12345)
par(mfrow=c(1,1))
l1<-0.55
l2<-0.95
m<-40:2000
C_est<-sapply(m,Custo.est,n=10,l1,l2)
C_Teo<-Custo_teorico(10,l1,l2)
plot(m,C_est,xlab="m (n=10)",ylab="Custo",main="Convergência do Custo Amostral")
legend("topright", expression(lambda[1]~"= 0.55, "~lambda[2]~" = 0.95"),inset=0.02)
legend("bottomright",inset=0.02,legend=c("Custo Esperado","Custo Amostral"),
col=c("red","black"),lty=c(1,1),cex=0.8)
abline(h=C_Teo,col="red")
3.6 Custo Amostral versus Custo Esperado
par(mfrow=c(1,2))
l1<-0.95 ; l2<-0.90
n<-100:130
CUSTO<-sapply(n,Custo_teorico,l1=l1,l2=l2)
set.seed(12345)
CUSTO.est<-sapply(n,Custo.est,m=100,l1=l1,l2=l2)
## Plote dos Gráficos
plot(n,CUSTO.est,type="l",ylab="Custo",xlab="n (m=100)")
lines(n,CUSTO,col="red")
title(main="Custo Esperado X Custo Amostral")
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.90"))
legend("bottomright",inset=0.02,legend=c("Custo Esperado","Custo Amostral"),
col=c("red","black"),lty=c(1,1),cex=0.8)
plot(n,CUSTO.est,pch=1,ylab="Custo",xlab="n (m=100)",main = "Custo Esperado X Custo Amostral")
lines(n,CUSTO, col="red")
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.90"))
legend("bottomright",inset=0.02,legend=c("Custo Esperado","Custo Amostral"),
col=c("red","black"),lty=c(1,1),cex=0.8)
3.7 Quantidade Pivotal baseada na Estatística \(\hat{C}_{opt}\)
Defina-se a variável aleatória \(Z\) como segue
\[ \begin{align} Z:=\frac{\hat{C}_{opt}-E\big[\hat{C}_{opt}\big]}{\sqrt{Var(\hat{C}_{opt})}}, \tag{12} \end{align} \]
em que \(E\big[\hat{C}_{opt}\big]=C_{opt}\), conforme mostrado anteriormente.
Desse modo \(Z\overset{a}{\sim} N(0,1)\). Logo, \(Z\) é uma quantidade pivotal. Utilizaremos-a para construir um IC para o Custo Teórico.
3.7.1 Verificando o ajuste ao Modelo Normal
Q_Pivo<-function(n,m,l1,l2){
res<-(Custo.est(n,m,l1,l2)- Custo_teorico(n,l1,l2))/sqrt(Var_Custo.est(n,m,l1,l2))
return(res)
}
Qtd_Pivotal<-sapply(100:1000,Q_Pivo,m=100,l1=0.95,l2=0.90)
#install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
ajuste_normal<-fitdist(Qtd_Pivotal,"norm")
plot(ajuste_normal)
Pelos gráficos da densidade e da Função de Distribuição Acumulada, existem fortes evidências de um bom ajuste ao Modelo Normal.
Os gráficos Q-Q plot e P-P plot indicam, respectivamente, um bom ajuste nas caudas e nos centros das distribuições.
3.8 Construção do Intervalo de Confiança (IC)
Definição (Intervalo de Confiança) Seja \(X_1,\cdots,X_n\) uma amostra aleatória da densidade \(f(\cdot,\theta)\). Seja
\(T_1 = \mathcal{t}_1(X_1,\cdots,X_n)\) e \(T_2=\mathcal{t}_{2}(X_1,\cdots,X_n)\) duas estatísticas que satisfaçam \(T_1<T_2\) para as quais
\(P_{\theta}\big[T_1<\tau(\theta)<T_2\big]\equiv \gamma\), onde \(\gamma\) não depende de \(\theta\); então o intervalo aleatório\((T_1,T_2)\) é chamado de Intervalo de Confiança (IC) a \(100\gamma\) por cento para \(\tau(\theta)\).
E, \(\gamma=1-\alpha\) é o coeficiente (ou nível) de confiança (denominado também probabilidade de cobertura); \(T_1\) e \(T_2\) são os
limites inferior e superior, respectivamente, para \(\tau(\theta)\). (Obs.: Em teste de hipótese, \(\alpha\) é o nível de significância).
Um valor \((s_1,s_2)\) do intervalo aleatório \((T_1,T_2)\) também é chamado de Intervalo de Confiança (IC).
Obs.: Supondo \(\theta=C_{opt}\) desconhecido e \(\tau(\cdot)\) sendo a função identidade; temos que \(T_1=\mathcal{t}_1(X_1,\cdots,X_n)\) e \(T_2= \mathcal{t}_2(X_1,\cdots,X_n)\) são
\[T_1=\hat{C}_{opt}-z_{(1-\alpha/2)}\sqrt{Var(\hat{C}_{opt})} \qquad \mbox{e} \qquad T_2=\hat{C}_{opt}+z_{(1-\alpha/2)}\sqrt{Var(\hat{C}_{opt})}\;\;.\]
Exemplo de Intervalo de Confiança para média populacional
No nosso caso, \(\mu=C_{opt}\) e \(\bar{X}=\hat{C}_{opt}\).
Ilustração Gráfica de um Intervalo de Confiança
Definição (Quantidade Pivotal) Seja \(X_1,\cdots,X_n\) uma amostra aleatória de uma densidade \(f(\cdot,\theta)\).
Seja \(Q=\mathcal{q}(X_1,\cdots,X_n;\theta)\), isto é, \(Q\) é uma função de \(X_1,\cdots,Xn\) e de \(\theta\). Se \(Q\) tem uma
distribuição que não depende de \(\theta\), então \(Q\) é uma Quantidade Pivotal.
Intervalo de Confiança A partir da Quantidade Pivotal, pode-se mostrar que o seguinte Intervalo de Confiança (IC) para o Custo Teórico \(C_{opt}\) \[ \begin{align} IC_{100(1-\alpha)\%}\big(C_{opt}\big)=\bigg[\;\hat{C}_{opt}-z_{(1-\alpha/2)}\sqrt{Var(\hat{C}_{opt})}\;,\;\hat{C}_{opt}+z_{(1-\alpha/2)}\sqrt{Var(\hat{C}_{opt})}\;\bigg] \end{align} \]
é válido.
#install.packages("ggplot2") ; install.packages("gridExtra")
library(ggplot2)
## Intervalo de Confiança ao nível de 95%
Intervalo<-function(n,m,l1,l2){
int<-Custo.est(n,m,l1,l2)+c(-1,1)*qnorm(0.975)*sqrt(Var_Custo.est(n,m,l1,l2))
return( int )
}
set.seed(12345) ; n<-1200:1250
Int<-sapply(n,Intervalo,m=100,l1=0.95,l2=0.9)
LI<-Int[1,]
LS<-Int[2,]
set.seed(12345)
CUSTO<-sapply(n,Custo_teorico,l1=0.95,l2=0.90)
df0 <- data.frame( n = n,
custo = CUSTO,
li = LI,
ls = LS
)
grafico0<-ggplot(df0, aes(n, custo)) +
geom_point() +
geom_line() +
geom_errorbar(aes(ymin = li, ymax = ls)) +
labs(x = "n ( m=100 )",
y = "Custo",
title = "Custo Mínimo Esperado e Intervalo de Confiança ao nível 95%") +
theme( plot.title = element_text(size=11) )
N<-rep(n,3)
Custo<-c(LS,CUSTO,LI)
Legenda<-rep( c("Limite Superior", "Custo Esperado","Limite Inferior"),each= length(n))
df<-data.frame(n=N,Legenda,Custo)
grafico1<-ggplot(df, aes(x = n, y = Custo)) +
geom_line(aes(color = Legenda, linetype = Legenda)) +
scale_color_manual(values = c("red", "black","blue"))+
labs( x="n ( m=100 )",
title = "Custo Mínimo Esperado e Intervalo de Confiança ao nível 95%")+
theme(legend.position = c(0.20, 0.85),
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
plot.title = element_text(size=11) )
gridExtra::grid.arrange(grafico0, grafico1, ncol=2)
3.9 Simulação para Intervalo de Confiança
INT <- function(n,m,l1,l2,cl) {
# cl: nivel de confianca
alpha <- 1-cl/100
# CI para Custo Teorico (Esperado)
dp_am <-sqrt(Var_Custo.est(n,m,l1,l2)) # desvio padrao amostral
z_s <- qnorm(1 - alpha/2) # quantil da normal
li <- Custo.est(n,m,l1,l2) - z_s*dp_am # limite inferior
ls <- Custo.est(n,m,l1,l2) + z_s*dp_am # limite superior
c(limite_Inferior=li, limite_superior=ls)
}
# Gerar N vezes os Intervalos para Custo Teorico
simulacao <- function(N,n,m,l1,l2,cl){
set.seed(123)
sim<-t(replicate(N, INT(n,m,l1,l2,cl)))
return(list("Qtd de Intervalos que Contêm o Custo"=N*mean(sim[,1] <= Custo_teorico(n,l1,l2) &
sim[,2]>= Custo_teorico(n,l1,l2)),"Total de Intervalos"=N))
}### Simulacao
library(knitr)
## Exemplo: Gerar 10^3 intervalos no ponto n=100 (100 primeiros tempos de chegada), a partir de amostras de tamanho m=100.
set.seed(123)
simulacao(1000,100,100,0.8,0.5,95)## $`Qtd de Intervalos que Contêm o Custo`
## [1] 952
##
## $`Total de Intervalos`
## [1] 10004 Tabelas para o Custo de Transporte
#install.packages("knitr")
library(knitr)
set.seed(12345)
C_est<-Custo.est(100:110,m=100,0.95,0.90)
C_Teo<-Custo_teorico(100:110,0.95,0.90)
set.seed(12345)
Int<-sapply(100:110,Intervalo,m=100,l1=0.95,l2=0.90)
LI<-Int[1,]
LS<-Int[2,]
dados1<-data.frame(n=100:110,
Custo_Amostral=C_est,
Custo_Esperado=C_Teo,
LI=LI,
LS=LS
)
kable(dados1,digits = 2,caption=" Tabela para o Custo de Transporte (Taxa 1=0.95 ; Taxa 2=0.90 e m=100)")| n | Custo_Amostral | Custo_Esperado | LI | LS |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 857.33 | 852.62 | 836.01 | 878.64 |
| 101 | 872.81 | 865.77 | 851.28 | 894.34 |
| 102 | 869.58 | 878.99 | 847.83 | 891.32 |
| 103 | 896.09 | 892.28 | 874.13 | 918.04 |
| 104 | 908.71 | 905.65 | 886.54 | 930.88 |
| 105 | 922.99 | 919.09 | 900.61 | 945.37 |
| 106 | 934.09 | 932.60 | 911.50 | 956.68 |
| 107 | 952.63 | 946.19 | 929.83 | 975.44 |
| 108 | 961.40 | 959.85 | 938.39 | 984.42 |
| 109 | 977.73 | 973.58 | 954.51 | 1000.96 |
| 110 | 983.61 | 987.38 | 960.17 | 1007.05 |
l2<-c(0.90,0.92,0.94,0.95)
C_teo<-sapply(l2,Custo_teorico,n=100,l1=0.95)
set.seed(12345)
C_est<-sapply(l2,Custo.est,m=10^4,n=100,l1=0.95)
set.seed(12345)
Int<-sapply(l2,Intervalo,n=100,m=10^4,l1=0.95)
LI<-Int[1,]
LS<-Int[2,]
tx1<-rep(0.95,4) ; tx2<-c(0.90,0.92,0.94,0.95)
dados2<-data.frame(Taxa_1=tx1,
Taxa_2=tx2,
Custo_Amostral=C_est,
Custo_Esperado=C_teo,
LI=LI,
LS=LS
)
kable(dados2,digits = 2,caption=" Tabela para o Custo de Transporte (n=100 e m=10^4)")| Taxa_1 | Taxa_2 | Custo_Amostral | Custo_Esperado | LI | LS |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.95 | 0.90 | 852.66 | 852.62 | 850.53 | 854.80 |
| 0.95 | 0.92 | 819.98 | 820.29 | 817.88 | 822.09 |
| 0.95 | 0.94 | 800.75 | 800.39 | 798.67 | 802.84 |
| 0.95 | 0.95 | 795.91 | 794.81 | 793.83 | 797.98 |
set.seed(12345)
l1<-seq(0.90,2,length.out = 70)
l2<-seq(0.80,1.5,length.out = 70)
Int<-mapply(Intervalo,l1,l2,MoreArgs = list(n=100,m=10^4))
set.seed(12345)
CUSTO.est<-mapply(Custo.est,l1,l2,MoreArgs = list(n=100,m=10^4))
CUSTO<-mapply(Custo_teorico,l1,l2,MoreArgs = list(n=100))
#install.packages("DT") ; install.packages('dplyr')
library(DT) ; library(dplyr)
dados3<-matrix(c(l1,l2,CUSTO.est,CUSTO,Int[1,],Int[2,]), ncol=6)
colnames(dados3)<-c("Taxa 1", "Taxa 2", "Custo Amostral", "Custo Esperado", "LI", "LS")
dados3 %>%
datatable(extensions = 'Buttons',
options = list(dom='Blfrtip',
buttons=c('copy','csv','excel','pdf','print'),
lengthMenu=list(c(10,20,40,-1),
c(10,20,40,'Todas'))),
caption = "Tabela para o Custo Mínimo de Transporte (n=100 e m=10^4)") %>%
formatRound(columns = all(),digits=3)Bibliografia
Casella, George, and Roger L Berger. 2002. Statistical Inference. Vol. 2. Duxbury Pacific Grove, CA.
Kranakis, Evangelos. 2014. “On the Event Distance of Poisson Processes with Applications to Sensors.” Discrete Applied Mathematics 179: 152–62.
R Core Team. 2020. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/.
Ross, Sheldon M. 1996. Stochastic Processes. Vol. 2.
Shao, Jun. 2003. “Mathematical Statistics.” Springer.
Universidade de Brasília, xxxxx@yyyy.com↩︎
Universidade de Brasília, adolfomanoel@hotmail.com↩︎