Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial
Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.
El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall et al., 2006)
Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:
El experimento consiste en n intentos idénticos. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1−p). Los intentos son independientes. El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x=0,1,2,…,n. (Mendenhall et al., 2006). Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxito en n ensayos independientes (Walpole et al., 2012):
Fórmula:
\[prob(x=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)}\]
Para
\[x = 0,1,2,3...n\]
y recordando las combinacones
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\]
El valor esperado está dado por:
\[\mu = n \cdot p\]
La varianza y la desviación estándard se determinan mediante:
\[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]
y
\[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionsource("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.
x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 2 es igual a : 0.189"valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 3 0.027 1paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 3 es igual a : 0.027"valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a 2 es igual a : 0.973"VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)## [1] "El valor esperado es: 0.9"varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 0.63"desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 0.79"La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra, describe el número de éxitos al realizar n experimentos o ensayos de Bernoulli independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. En este caso se muestra la situacion de una tienda de ropa con una probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30. se encontro la probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, con su respectiva tabla de probabilidad incluyendo la probabilidad cumulada junto con la probabilidad de que compren dos clientes, que compren los tres próximos clientes, que sean menor o igual que dos y por ultimo se determino el valor esperado y su significado junto con la varianza y la desviación estándar.
Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,
_La distribución binomial o de bernoulli. (n.d.). https://www.profesor10demates.com/2014/04/la-distribucion-binomial-o-de-bernoulli_3.html_
Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2006). Introducción a la probabilidad y estadística (13a Edición).
Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.