2. Probabilidad

  1. En la actualidad una compañía de exploración petrolera tiene dos proyectos activos: uno en Asia y el otro en Europa. Sea A el evento en que el proyecto asiático tiene éxito y B el evento en que el proyecto europeo tiene éxito. Suponga que A y B son eventos independientes con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7.
pa <- 0.4
pe <- 0.7

Si el proyecto asiático no tiene éxito, ¿cuál es la probabilidad de que el europeo tampoco lo tenga?

1-pe
## [1] 0.3

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos proyectos tenga éxito?

pa+pe-pa*pe
## [1] 0.82

Dado que al menos uno de los dos proyectos tiene éxito, ¿cuál es la probabilidad de que sólo el proyecto asiático lo tenga?

(pa*(1-pe))/(pa+pe-pa*pe)
## [1] 0.1463415

7. Intervalos estadísticos basados en una sola muestra

  1. Los desórdenes y síntomas de ansiedad con frecuencia pueden ser tratados exitosamente con benzodiazepina. Se sabe que los animales expuestos a estrés exhiben una disminución de la ligadura del receptor de benzodiazepina en la corteza frontal. El artículo “Decreased Benzodiazepine Receptor Binding in Prefrontal Cortex in Combat-Related Posttraumatic Stress Disorder” (Amer. J. of Psychiatry, 2000: 1120–1126) describe el primer estudio de ligadura del receptor de benzodiazepina en individuos que sufren Trastorno por estrés postraumático (PTSD, por sus siglas en inglés). Los datos anexos sobre una medición de ligadura al receptor (volumen de distribución ajustado) se tomaron de una gráfica en el artículo.
ptsd <- c(10, 20, 25, 28, 31, 35, 37, 38, 38, 39, 39, 42, 46)
sanos <- c(22,39,40,41,42,48,52,58,62,65,66,70,72)
n <- length(sanos)
  1. ¿Es aceptable que la distribución de la población de la cual se seleccionó esta muestra es normal?

Una gráfica de probabilidad normal puede ayudarnos a verificar el supuesto de normalidad

qqnorm(sanos)

Observamos, a partir de la gráfica, que es posible afirmar que los datos siguen una distribución normal.

  1. Calcule un intervalo con el cual pueda tener 95% de confianza de que al menos 95% de todos los individuos saludables en la población tienen volúmenes de distribución ajustados que quedan entre los límites del intervalo.

Requerimos un intervalo de tolerancia.

Un intervalo de tolerancia para capturar al menos \(k\%\) de los valores en una población con una distribución normal y con un nivel de confianza de 95% tiene la forma \(x\pm\) (valor crítico de tolerancia)*\(s\)

A partir de tablas, con 95% de confianza, \(k=95\), y \(n=13\) el valor crítico de tolerancia (vct) es 3.081.

vct <- 3.081
c(mean(sanos)-vct*sd(sanos), mean(sanos)+vct*sd(sanos))
## [1]  6.07704 98.07681
  1. Pronostique el volumen de distribución ajustado de un solo individuo saludable calculando un intervalo de predicción de 95%. ¿Cómo se compara el ancho de este intervalo con el ancho del intervalo calculado en el inciso b)?
valort <- round(qt(0.975,n-1),3)
valort
## [1] 2.179
c(mean(sanos)-valort*sd(sanos)*sqrt(1+1/n), mean(sanos)+valort*sd(sanos)*sqrt(1+1/n))
## [1] 18.31598 85.83787

8. Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra

8.3 Prueba \(t\) de una sola muestra

  1. Los datos que acompañan la fuerza del cubo de compresión (MPa) de probetas de hormigón apareció en el artículo “Experimental Study of Recycled Rubber-Filled High-Strength Concrete” (Magazine of Concrete Res., 2009: 549-556):
mpa <- c(112.2, 97.0, 92.8, 86.0, 102.0, 99.4, 95.8, 103.5, 89.0, 86.8)
mean(mpa)
## [1] 96.45
  1. ¿Es posible que la resistencia a la compresión para este tipo de concreto tenga una distribución normal?
qqnorm(mpa)

  1. Suponga que el concreto se utilizará para una aplicación particular, a menos que haya una fuerte evidencia de que la fuerza promedio real es inferior a 100 MPa. ¿Podría utilizarse el concreto? Realice una prueba de hipótesis adecuada.
t.test(mpa,alternative="less",mu=100,conf.level=0.95)  
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  mpa
## t = -1.3645, df = 9, p-value = 0.1028
## alternative hypothesis: true mean is less than 100
## 95 percent confidence interval:
##     -Inf 101.219
## sample estimates:
## mean of x 
##     96.45

No hay evidencia fuerte de que la resistencia media real sea inferior a 100 MPa. El concreto debe ser utilizado.