Biblioteki

library(tidyverse)
library(kableExtra)
library(psych)
library(PerformanceAnalytics)
library(corrplot)

Zadanie 1

Poniżej zdefiniowano wektory oraz dla poszczególnych przypadków wyliczono średnią, medianę, wariację oraz odchylenie standardowe.

A <- (sin(pi/7))^(1/2)
B <- log(1024, 2)
C <- c(A, 2:B, A^2*B^2)
D <- C * exp(1)

c(
  średnia = mean(C),
  mediana = median(C),
  wariancja = var(C),
  `odchylenie standardowe` = sd(C)
)
##                średnia                mediana              wariancja 
##                8.91337                6.00000              139.30550 
## odchylenie standardowe 
##               11.80278
c(
  średnia = mean(D),
  mediana = median(D),
  wariancja = var(D),
  `odchylenie standardowe` = sd(D)
)
##                średnia                mediana              wariancja 
##               24.22905               16.30969             1029.33617 
## odchylenie standardowe 
##               32.08327

Zadanie 2

W poniższych przykładach wygenerowano:

a) przykładowy zestaw 30 liczb o średniej 50 i odchyleniu standardowym 5 (rozkład normalny).

rnorm(30, 50, 5)
##  [1] 50.18435 52.32381 55.45341 53.14530 43.53808 51.25920 50.31289 45.97629
##  [9] 40.43680 48.68092 48.97962 51.97129 57.19197 42.23191 43.96304 48.62074
## [17] 40.26700 51.17807 50.15069 40.17109 41.99990 48.45708 51.05802 49.32563
## [25] 47.74555 55.25466 43.49871 54.30240 48.91554 39.95377

b) Wartość prawdopodobieństwa rozkładu Poissona dla lambda 0.3 i n=0.

dpois(0, 0.3)
## [1] 0.7408182

c) liczbę wartości, które mieszczą się w N(0,1) w przedziale (0,1). Ogólnie raczej wartości jest nieskończona ilość, ale rozumiem, że chodziło o to?

34.1%

Zadanie 3

Rozkład T-Studenta to rozkład prawdopodobieństwa stosowany przy konstruowaniu przedziałów ufności, testowaniu hipotez statystycznych oraz do oceny błędu pomiaru.Stosujemy tylko w sytuacji gdy odchylenie standardowe jest nieznane, a ilość obserwacji jest mniejsza niż 30.

qt(0.99, 5)
## [1] 3.36493

Zadanie 4

W grupie 200 osób ilość czasu spędzanego nad książkami i przed telewizorem dane są rozkładami normalnymi kolejno Nks(4, 1.5) i Ntv(6, 2). Poniżej przedstawiono wykresy słupkowe dla:

Data <- tibble(
  Książka = Nks <- round(rnorm(200, 4, 1.5)),
  TV = Ntv <- round(rnorm(200, 6, 2))
)

1)ilości osób oglądających telewizję w kolejnych przedziałach czasowych godzinę.

Data %>% ggplot(aes(TV)) + 
  geom_bar(stat = "count") +
  scale_x_continuous(breaks = 0:100) +
  ylab("Ilość osób")

2) z uwzględnieniem czasu spędzonego na czytaniu książek. Nie do końca wiedziałam jak mam przedstawić ten czas, więc poszczególne punkty z tego nałożonego wykresu, to średni czas czytania książek.

Data %>% group_by(TV) %>% 
  summarise(`Ilość osób` = n(), Książka = mean(Książka)) %>% 
  ggplot(aes(TV)) + 
  geom_bar(aes(y = `Ilość osób`), stat = "identity") +
  geom_line(aes(y = Książka*8)) +
  geom_point(aes(y = Książka*8)) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:100) +
  scale_y_continuous(sec.axis = sec_axis(~.*(1/8), name = "Średni czas poświęcony na czytanie książek")) + 
  ylab("Ilość osób")
## `summarise()` ungrouping output (override with `.groups` argument)

3) wykres pudełkowy obrazujący rozrzut oglądalności telewizji dla poszczególnych liczb godzin spędzonych nad czytaniem książek.

Data %>% 
  ggplot(aes(Książka, TV, group = Książka)) + 
  geom_boxplot() +
  scale_x_continuous(breaks = 0:100)

Zadanie 5

Na podstawie zestawu danych Iris wygenerowano poniższe rzeczy. Zestaw danych pochodzi z pracy R.A. Fishera, statystyka i genetyka, który badał storczyki. Poszczególne kolumny odpowiadają pomiarom dokonanym w populacji właśnie tych kwiatków, czyli odległości pomiędzy kwiatkami(chyba tak mam interpretować sepal lenght i width), długość i szerokość płatka oraz gatunek.

a) zbiór danych Iris oraz jego pierwsze 5 wierszy

iris %>% head(5) %>% kable()
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
5.1 3.5 1.4 0.2 setosa
4.9 3.0 1.4 0.2 setosa
4.7 3.2 1.3 0.2 setosa
4.6 3.1 1.5 0.2 setosa
5.0 3.6 1.4 0.2 setosa 
describe(iris[, -5], quant = c(0.25, 0.5, 0.75)) %>% select(min, max, Q0.25, Q0.5, Q0.75)
##              min max Q0.25 Q0.5 Q0.75
## Sepal.Length 4.3 7.9   5.1 5.80   6.4
## Sepal.Width  2.0 4.4   2.8 3.00   3.3
## Petal.Length 1.0 6.9   1.6 4.35   5.1
## Petal.Width  0.1 2.5   0.3 1.30   1.8

b) Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu empirycznego cechy. Składa się z szeregu prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych. Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe (patrz: szereg rozdzielczy) wartości cechy, natomiast ich wysokość jest określona przez liczebności (lub częstości, ewentualnie gęstość prawdopodobieństwa) elementów wpadających do określonego przedziału klasowego.Właściwie to taki wykres słupkowy, tyle, że słupki są ‘sklejone’.

####Poniżej przedstawiono histogram dla kolumny ‘sepal.width’ i naniesiono gęstość rozkładu zmiennej.

iris %>% ggplot(aes(Sepal.Width)) + geom_histogram(aes(y = ..density..)) + geom_density(col = 2)
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

c) wykres rozrzutu dla wszystkich zmiennych

d) macierz koorelacji

chart.Correlation(iris %>% select(-Species))

corrplot.mixed(cor(iris[, -5]))

iris %>% ggplot(aes(Petal.Width, Petal.Length)) + geom_smooth(method = "lm") + geom_point()
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

Nie za bardzo wiem co znaczy, że mam uzasadnić wygląd tego wykresu. Ogólnie to chyba przedstawienie ‘reszt’ czyli odległość regresji od punktów jest sensownym przedstawieniem tej kwestii. Może jest jakaś inna, ale nie wiem jak.

d) Sprawdzono czy któRaś z wielkości ma rozkład normalny. Wykorzystano test Shapiro-Wilka. Sprawdzamy, czy p-value jest większa niż 0.05. Czyli jedynie ‘Sepal width’ ma rozkład normalny.

apply(iris[, -5], 2, shapiro.test)
## $Sepal.Length
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  newX[, i]
## W = 0.97609, p-value = 0.01018
## 
## 
## $Sepal.Width
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  newX[, i]
## W = 0.98492, p-value = 0.1012
## 
## 
## $Petal.Length
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  newX[, i]
## W = 0.87627, p-value = 7.412e-10
## 
## 
## $Petal.Width
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  newX[, i]
## W = 0.90183, p-value = 1.68e-08

Zadanie 6

a)Wykorzystano test odsetka proporcji. Metoda została wybrana, ponieważ po przeczytaniu opisu tego testu uznałam, że to jest mój przypadek, a dodatkowo w wikipedii było napisane: “Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład jeśli w grupie n osób jest m palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa p=p/n.”

prop.test(x = 30, n = 300, p = 0.07, correct = F)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  30 out of 300, null probability 0.07
## X-squared = 4.1475, df = 1, p-value = 0.0417
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.07
## 95 percent confidence interval:
##  0.07094791 0.13916646
## sample estimates:
##   p 
## 0.1

Z tego co zrozumiałam, odrzucamy hipotezę zerową, ponieważ p value jest równa 0.0417.

b) W tym przypadku wykorzystano test zgodności Chi-kwadrat.Wybrano go dlatego, że w internetowych źródłach wiedzy wybierano zazwyczaj ten test do problemów tego typu.O ile dobrze interpretuję to co mi wyrzuciło, to kostka jest dobrze skonstruowana.

chisq.test(c(6, 12, 9, 11, 15, 7), p = rep(1/6, 6))
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  c(6, 12, 9, 11, 15, 7)
## X-squared = 5.6, df = 5, p-value = 0.3471