Distribución Normal

Objetivo

Identificar en una distribución normal, los valores de la curva o los valores de la función de densidad, graficar el área bajo la curva y calcular probabildiades.

Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad normal a partir de valores iniciales de los ejercicios identificando y visualizando la función de densidad y calculando probabilidades.

1. Cargar las librerias

library(dplyr)
## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.0.3
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(mosaic)
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(readr)
## Warning: package 'readr' was built under R version 4.0.3
library(ggplot2)  
library(knitr)

*Cargar Datos

datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")

2. Ejercicios

datos <- as.data.frame(datos)

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")

# Solo nos interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
  • Los primeros 6 registros
head(datos)
##   estatura peso genero
## 1    174.0 65.6      1
## 2    175.3 71.8      1
## 3    193.5 80.7      1
## 4    186.5 72.6      1
## 5    187.2 78.8      1
## 6    181.5 74.8      1
tail(datos)
##     estatura peso genero
## 502    157.5 76.8      0
## 503    176.5 71.8      0
## 504    164.4 55.5      0
## 505    160.7 48.6      0
## 506    174.0 66.4      0
## 507    163.8 67.3      0
Visualiar la dispersión de los datos
  • Diagrama de dispersión del peso
ggplot(datos, aes(x = 1:nrow(datos), y = peso)) +
  geom_point(colour = "red")

  • Diagrama de dispersión de la estatura
ggplot(datos, aes(x = 1:nrow(datos), y = estatura)) +
  geom_point(colour = "blue")

Histrogramas
  • Histograma del peso
ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = peso))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

  • Histograma de la estatura
ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = estatura))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Identificar medias y desviaciones (necesarias)
  • Estadísticos de la variable peso
datos$genero <- as.factor(datos$genero)

masculinos <- filter(datos, genero == 1)

femeninos <- filter(datos, genero == 0)

media.peso.m <- mean(masculinos$peso)
desv.std.peso.m <- sd(masculinos$peso)


media.peso.f <- mean(femeninos$peso)
desv.std.peso.f <- sd(femeninos$peso)
  • Estadísticos de la variable estatura
media.estatura.m <- mean(masculinos$estatura)
desv.std.estatura.m <- sd(masculinos$estatura)


media.estatura.f <- mean(femeninos$estatura)
desv.std.estatura.f <- sd(femeninos$estatura)
Calcular probabilidades
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor o igual de 60 kilogramos?

  • Graficar la función en donde x<60

  • Grafíca de desidad

plotDist("norm", mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m, groups = x <= 60, type = "h", xlab = "Peso Hombres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 60, mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de: 4.218 %"
b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor o igual de 50 kilogramos?

  • Graficar la función en donde x<=50

  • Grafíca de desidad

plotDist("norm", mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f, groups = x <= 50, type = "h", xlab = "Peso Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 50, mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 50 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 50 kilogramos es de: 13.5143 %"
C) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?
  • Graficar la función en donde x>=180
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 37.6814 %"
d) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?
  • Graficar la función en donde x>=190
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 4.4012 %"
e) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros?
  • Graficar la función en donde 160≤x≤170
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 13.3723 %"
f) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros?
  • Graficar la función en donde 190≤x≤195
  • Grafíca de desidad
prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 3.5858 %"
g) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?
  • Graficar la función en donde x>=180
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 1.0403 %"
h) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?
  • Graficar la función en donde x>=190
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 0.0062 %"
i) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros?
  • Graficar la función en donde 160≤x≤170
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 55.5039 %"
j) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros?
  • Graficar la función en donde 190≤x≤195
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190 & x <= 195, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 0.006 %"
k) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros?
  • Graficar la función en donde 160≤x≤170
  • Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura), groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres y Mujeres", ylab = "Densidad" )

prob <- pnorm(q = 170, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura)) - pnorm(q = 160, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura))
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros es de: 33.3526 %"

EJERCICIO 2.

Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles.

¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?(matemovil, n.d.)

  • Se busca: 1000≤x≤1550
media <- 1200
desv.stadandar <- 200
plotDist("norm", mean = media, sd = desv.stadandar, groups = x >= 1000 & x <= 1550, type = "h", xlab = "Ganancias de trabajadores en soles", ylab = "Densidad" )

Cálculo de la probabilidad
  • ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?
prob <- pnorm(q = 1550, mean = media, sd = desv.stadandar) - pnorm(q = 1000, mean = media, sd = desv.stadandar)
paste("La probabilidad de que una persona gane entre 1000 y 1550 soles es de:", round(prob * 100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persona gane entre 1000 y 1550 soles es de: 80.1286 %"

INTERPRETACION DEL CASO:

En el caso numero 20 de habla sobre la distribucion normal, los valores que tiene la curva y las graficas que se veran al igual que en casos anteriores con dos ejercicios los cuales nos ayudara a comprender mejor estos temas a grandes rasgos. Esta distrubucion es en forma de campana donde las desviaciones estandar sucesivas con respcto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. En el ejercicio numero 1 habla sobre un conjunto de personas con peso, estatura y genero diferente en los cuales se muestran diagramas para una mejor comprension de los datos: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor o igual de 60 kilogramos? aqui es donde se desea encontrar el peso masculino el cual debe ser menor a 60 que dio la probabilidad de 4.2% B) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor o igual de 50 kilogramos? aqui se tomo la media del peso pero esta ves de las mujeres donde se dio uso de la desviacion estandar que dio 13.5% C) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros? Aqui con uso de la grafica nos dio como resultado del 37.6% D) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros? aqui haciendo uso de la funcion x>=190 se dio la probabilidad de 4.4%

En el ejercicio numero 2 el cual trata sobre los sueldos mensulaes los cuale sigue la empresa y el uso de la distribucion normal que da media de 1200 soles y su desviacion estandar de 200 soles. ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles? Aqui como los datos se crean a partir de los que nos otrogaron se dio la probabilidad de 80.12%.