p5

La matriz de transición de compone de 5 estados de los diferentes tipos de productos:congelados, conservas, curados, harina de pescado y aceite respectivamente\(S=\{1,2,3,4,5\}\), los cuales se pueden modelar en R, gracias a la librería markovchain.

library(markovchain)

## Package:  markovchain
## Version:  0.8.5-2
## Date:     2020-09-07
## BugReport: https://github.com/spedygiorgio/markovchain/issues

library(igraph)

## 
## Attaching package: 'igraph'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     decompose, spectrum

## The following object is masked from 'package:base':
## 
##     union

# Cargamos la matriz de transición en un paso una fila (row) a la vez
P1 = matrix (c(0.1429,0.8571,0,0,0,
               0.25,0.5,0.25,0,0,
               0,0,0.5,0.5,0,
               0,0,0,0.375,0.625,
               0,0,0.3333,0.3333,0.3334), nrow=5, byrow = TRUE)
# Creamos un objeto tipo markovchain llamado cm1 
# Describimos su conjunto de estados con el parámetro states
# Le damos el nombre: Cadena de Markov No. 1 con el parámetro name
mc1 = new("markovchain", transitionMatrix = P1, states = c("1","2","3","4","5"), name = "Cadena de Markov No. 1")
# Generamos el diagrama de transición en un paso para una mejor visualización de la cadena mc1
plot(mc1, layout=layout_with_gem, vertex.color = "white", vertex.size = 40, edge.color = "blue", vertex.frame.color = "red", vertex.label.cex = 2, edge.arrow.size = 0.5, edge.curved = 0, edge.label.cex = 1.5, edge.label.x = NA, edge.label.y = NA, edge.label.color = "black")

summary(mc1)

## Cadena de Markov No. 1  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## 3 4 5 
## Recurrent classes: 
## {3,4,5}
## Transient classes: 
## {1,2}
## The Markov chain is not irreducible 
## The absorbing states are: NONE

A largo plazo, ¿Cuáles son los porcentajes de preferencias en los SKUs?

Con la ayuda de R, comprobamos que la cadena recurrente {3,4,5} y aperiódica (1),por lo que es Ergodica e Irreducible . Por lo cual, podemos hacer uso del teorema de la distribución estacionaria.\

\[ \begin{equation*} \begin{bmatrix} \pi_{3} & \pi_{4} & \pi_{5}& \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & 0.5 & 0.5 & 0\\ &0 & 0.375 & 0.625\\ & 0.333 & 0.333 & 0.334\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pi_{3} & \pi_{4} & \pi_{5} \end{bmatrix} \end{equation*} \]

sujeto a la restricción: \[ \pi_{3}+\pi_{4} + \pi_{5} = 1 \] Planteamos el sistema de ecuaciones:

\[ 0.5\pi_{3} + 0\pi_{4} + 0.333\pi_{5}= \pi_{3} \]

\[ 0.5\pi_{3} + 0.375\pi_{4} + 0.333\pi_{5}= \pi_{4} \]

\[ 0\pi_{3} + 0.625\pi_{4} + 0.334\pi_{5}= \pi_{5} \]

\[ \left[\pi_{3},\pi_{4},\pi_{5}\right] = \left[0.2438935,0.3902296 ,0.3658769\right] \]

Comparemos con R,

#Calculamos la distribucion estacionaria con R
steadyStates(mc1)

##      1 2         3         4         5
## [1,] 0 0 0.2438935 0.3902296 0.3658769

Se determina que los porcentajes de los SKU´s son:

\[ \pi_{1}=0 \\ \pi_{2}=0 \\ \pi_{3}=24.38\\ \pi_{4}=39.02 \\ \pi_{5}=36.59 \\ \]