Opgave 1

a)

Idet vi kender den faktiske længdefordeling på maskine 1, og at en acceptabel længde ligger i intervallet \([400 \ \textrm{cm}, 406 \ \textrm{cm} ]\) kan vi også regne chancen at et tilfældigt bræt på maskine 1 er acceptabelt.

Vi benytter fordelingsfunktionen i normalfordelingen som er indbygget i r som pnorm.

m.a.o skal vi regne:

\[P(400 \leq X_1 \leq 406) = P(X_1 \leq 406) - P(X_1 \leq 400)\]

pnorm(406, mean = 403, sd = 1) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1)
## [1] 0.9973002

Altså er chancen 99.73 % for at et tilfældigt bræt skåret på maskine 1 er acceptabelt

Vi bruger helt samme argumenter for maskine 2 - m.a.o

pnorm(406, mean = 403, sd = 1.5) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1.5)
## [1] 0.9544997

Altså er chancen 95.45 % for at et tilfældigt bræt skåret på maskine 2 er acceptabelt

b)

Det kan du godt tegne selv

Der kan ske to af følgende hændelser for at et tilfældigt udvalgt bræt er af uacceptabel længde

1 : Brættet er af uacceptabel længde og skåret på maskine 1

2: Brættet er af uacceptabel længde og skåret på maskine 2

m.a.o :

\(P(U) = P((U \cap M_1) \cup (U \cap M2) ) = P(U \cap M_1) + P(U \cap M_2)\)

Vi kan benytte de betingede ssh for at regne de ovenstående ssh

Idet vi fra opgave 1 regnede de acceptable ssh for begge maskiner, kan vi blot benytte komplimentærhændelserne til og finde de uacceptable ssh for begge maskiner. På samme måde kender vi også chancerne for at bræderne er skåret på hhv maskine 1 og 2.

m.a.o

# P(U)

(1 - (pnorm(406, mean = 403, sd = 1) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1)))*0.6  + (1 - (pnorm(406, mean = 403, sd = 1.5) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1.5)))*0.4  # P(U, M1) + P(U , M2)
## [1] 0.01981998

Altså er ssh for at et tilfældigt udvalgt bræt er uacceptabelt 1.98 %

Vi benytter formlerne for betingede ssh, m.a.o:

\[P(M1 | U) = \frac{P(M1 \cap U)}{P(U)}\] og

\[P(M2 | U) = \frac{P(M2 \cap U)}{P(U)}\]

Vi har regnet alle ssh fra de forgående opgaver, så vi sætter bare ind i formlerne:

#P(M1 | U)

((1 - (pnorm(406, mean = 403, sd = 1) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1)))*0.6) / 0.01981998
## [1] 0.08172953
#P(M2 | U)

((1 - (pnorm(406, mean = 403, sd = 1.5) - pnorm(400, mean = 403, sd = 1.5)))*0.4) / 0.01981998
## [1] 0.9182706

Vi kan altså med 91.8 % sikkerhed sige at hvis et brædt uacceptabelt skåret så må det komme fra maskine 2, og kun med 8.17 % sikkerhed fra maskine 1.

c)

Vi skal finde den andel af brædder skåret på maskine 1, sådan at vi med 98 % sikkerhed udvælger et tilfældigt skåret brædt som er acceptabelt. Hvis vi lader p betegne den andel, svare det til at løse ligningen

\[P(A) = P((A \cap M1) \cup (A \cap M2)) = P(A \cap M1) + P(A \cap M2) = P(A|M1) \cdot p + P(A|M2) \cdot (1 - p) = 0.98 \]

for p.

Vi har allerede fra opgave a) regnet de acceptable ssh - vi indsætter og løser for p.

\[0.9973002 \cdot p + 0.9544997 \cdot (1-p) = 0.98 \iff p = 0.59579\]

Vi skal altså sikre os at en andel på 59.579 % er skåret på maskine 1 sådan at \(P(A) = 0.98\).