Vi er interesseret i at finde ud af om vi kan benytte Michaelis-Menten-modellen til at beskrive variationen i reaktionshastigheden ud fra enzym og substratkoncentrationerne fra forsøget med gær og hydrogenpreoxid.

Vi starter med at indlæse data fra forsøget:

substratkoncentration hastighed substratkoncentration_inv hastighed_inv
0.9049774 0.8163265 1.105000 1.225
0.6787330 0.6666667 1.473333 1.500
0.4524887 0.5263158 2.210000 1.900
0.2262443 0.2222222 4.420000 4.500

Dernæst kan vi producere et punkt plot samt et lineweaver-burk plot for og få en ide om Michaelis-Menten-modellen er en fornuftig model til at beskrive data.

På trods af at vi kun har få observationer samt en smugle målestøj, ser vi fra lineweaver-burk plottet, at punkter approksimativt ligger på en ret linje. Dog kan vi allerede visuaisere at vi kan få problemer med negative estimater for interceptet (skæring med y-aksen)

Vi fitter nu den lineære model med alt data og estimere de tilhørende størrelser fra Michaelis-Menten-modellen.

## 
## Call:
## lm(formula = hastighed_inv ~ substratkoncentration_inv, data = df)
## 
## Coefficients:
##               (Intercept)  substratkoncentration_inv  
##                  -0.03205                    1.00487

Vi ser at vi får et negativt intercept estimat, hvilket vil resultere i at størrelserne fra mm modellen ikke vil give mening. for eksempel, kan vi se at maksimal hastigheden \(V_{max}\) bliver negativ idet den er givet ved:

\[V_{max} = \frac{1}{\alpha},\] hvor \(\alpha\) svare til intercept estimatet. Sætter vi \(\alpha = -0.03205\) får vi at \(V_{max} <0\), hvilket ikke giver mening ifht hastigheder er positive.

På samme måde får vi også at \(K_m\) bliver negativ idet

\[K_m = V_{max} \cdot \beta\]

hvor \(\beta\) svare til hældningen. Hvis \(V_{max} <0\) må også \(K_m < 0\) for \(\beta > 0\) antaget under modellen.

For at korrigere for dette, kan vi prøve at fjerne en af ydre observationerne (enten den med den laveste eller højeste substratkoncentration). Vi vælger at fjerne den observation svarende til den laveste substratkoncentration, og genestimere modellen.

Vi får altså et datasæt som ser ud som følgende:

substratkoncentration hastighed substratkoncentration_inv hastighed_inv
0.9049774 0.8163265 1.105000 1.225
0.6787330 0.6666667 1.473333 1.500
0.4524887 0.5263158 2.210000 1.900

De nye estimater:

## 
## Call:
## lm(formula = hastighed_inv ~ substratkoncentration_inv, data = df)
## 
## Coefficients:
##               (Intercept)  substratkoncentration_inv  
##                    0.5821                     0.6012

Vi kan nu estimere størrelserne i Michaelis-Menten-modellen (\(K_m\), \(V_{max}\))

## Maksimal hastighed - Vmax : 1.717791 
## 
##  Michaelis-Menten konstanten - km : 1.032674

kommentare til estimater… husk \(K_m\) svare til den substratkoncentration sådan at \(\frac{V_{max}}{2}\). \(K_m\) kan altså bruges som et mål for, hvor høj substratkoncentrationen skal være, for at man opnår en acceptabel reaktionshastighed.

Til sidst kan vi prøve at plotte modellen ind i lineweaver-burk plottet for og se hvordan den lineære funktion fitter data.

På trodes af få observationer, ser at modellen fitter data fornuftigt. Med andre ord kan vi tilnærmelsesvis godt beskrive variationen i reaktionshastigheden ud fra en mm model.