Procesos Estocásticos: Trabajo Final

Planteamiento

Una empresa del sector aeronáutico cuenta con un departamento de metrología. El departamento se divide en varios laboratorios en donde que se encuentra un laboratorio de magnitudes eléctricas al cual llegan varios multímetros para ser calibrados. El proceso se compone de varios sub pasos internos hasta que es entregado al cliente de nuevo.

A continuación se describen brevemente los pasos que deben ser realizados. El multímetro en primera instancia comienza en el almacén, en esta parte el multímetro se limpia y se etiqueta con la información del mismo instrumento y del cliente. Del almacén, el instrumento es asignado a un metrólogo para iniciar con la calibración; en este punto, internamente existen cuatro posibilidades que han sido modeladas a partir de un histórico calibraciones.

Modelo	Cantidad	Probabilidad
FLUKE 115	60 Unidades	\(14.15 \%\)
FLUKE 179	89 Unidades	\(20.99 \%\)
FLUKE 87-V	82 Unidades	\(19.34 \%\)
Otros	194 Unidades	\(45.52 \%\)

El metrólogo tiene una probabilidad de \(14.15 \%\) de ser asignado para calibrar un multímetro FLUKE 115, una probabilidad de \(20.99 \%\) para un FLUKE 179, de \(19.34 \%\) para un FLUKE 87-V y de \(45.52 \%\) para el resto de multímetros. Cuando ya se tiene asignado el instrumento se realiza un proceso de inspección funcional inicial; en este punto el metrólogo tiene la posibilidad de determinar si el instrumento es apto para la calibración, o si por el contrario cuenta con algún defecto irreparable o cuenta con alguna condición que no le permite ser calibrado.

Una vez el instrumento pasa la inspección preliminar, el instrumento empieza a ser calibrado; en este punto, la indicación del multímetro en sus diferentes magnitudes es comparada con la referencia establecida por un instrumento patrón. En este paso, existen otras tres posibilidades; la primera es que el instrumento sea calibrado con éxito y pase a la fase de revisión del certificado; la segunda consiste en que la indicación del instrumento exceda el error máximo permitido referenciado por el manual del fabricante y deba ser ajustado. En el segundo caso, el instrumento pasará por el proceso de ajuste e inmediatamente volverá a ser calibrado de nuevo hasta cumplir con los requerimientos de medición establecidos. El tercer caso en el que el instrumento requiera reparación, este pasará por el departamento de mantenimiento en el cual se examinará a detalle la falla y se tratará de arreglar. En caso que sea posible arreglar, el instrumento pasará de nuevo al proceso de calibración, en caso contrario, será devuelto al cliente sin ser calibrado por fallas irreparables.

Finalmente, el equipo pasará por un proceso de revisión del certificado, en esta última parte del proceso, el certificado del instrumento bajo calibración será revisado de tal forma que cumpla con los lineamientos propuestos en la norma ISO/IEC 17025. En este punto, existe la posibilidad que el certificado deba ser corregido y por ende, ser revisado de nuevo; existe una segunda y en esta se culmina el proceso de calibración. En este paso, el multímetro es revisado con exito y se procede a ser entrega al cliente de nuevo.

Alt text Del diagrama de grafos se puede determinar que existen dos estados absorbentes, que serán el estado en que el instrumento deba devolverse al cliente o cuanto se culmine el proceso y el multímetro sea entregado calibrado. El resto de estados podrían entenderse como estados transitorios.

Desarrollo del Planteamiento

A partir del planteamiento propuesto para el desarrollo logìstico del proceso de calibración. Se propone una matriz de Markov diseñada a partir del diagrama de grafos formulado. Los estados se denotaron de la forma:

Símbolo	Estado
A	Almacén
M1	DMM 115
M2	DMM 179
M3	DMM 87-V
MO	DMM Otros
Cal	Calibración
Mtto	Mantenimiento
Adj	Ajuste
No Cal	No Calibrado
Rev. C	Revisión de Certificado
Cliente	Entrega al Cliente

library(expm)

Alpha <- c(1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0) #Distribución Inicial
P <- matrix(c(0.0, 0.1415, 0.2099, 0.1934, 0.4552, 0.00, 0.000, 0.00, 0.00, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.98, 0.000, 0.00, 0.02, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.99, 0.000, 0.00, 0.01, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.99, 0.000, 0.00, 0.01, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.95, 0.000, 0.00, 0.05, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.00, 0.005, 0.01, 0.00, 0.985, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.90, 0.000, 0.00, 0.10, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 1.00, 0.000, 0.00, 0.00, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.00, 0.000, 0.00, 1.00, 0.000, 0.00,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.00, 0.000, 0.00, 0.00, 0.050, 0.95,
              0.0, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.00, 0.000, 0.00, 0.00, 0.000, 1.00),nrow = 11,byrow = T)
States <- c("A","M1","M2","M3","MO","Cal","Mtto","Adj","No Cal","Rev. C","Cliente")
rownames(P) <- States
colnames(P) <- States
P

##         A     M1     M2     M3     MO  Cal  Mtto  Adj No Cal Rev. C Cliente
## A       0 0.1415 0.2099 0.1934 0.4552 0.00 0.000 0.00   0.00  0.000    0.00
## M1      0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.98 0.000 0.00   0.02  0.000    0.00
## M2      0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.99 0.000 0.00   0.01  0.000    0.00
## M3      0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.99 0.000 0.00   0.01  0.000    0.00
## MO      0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.95 0.000 0.00   0.05  0.000    0.00
## Cal     0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.005 0.01   0.00  0.985    0.00
## Mtto    0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.90 0.000 0.00   0.10  0.000    0.00
## Adj     0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.00 0.000 0.00   0.00  0.000    0.00
## No Cal  0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.000 0.00   1.00  0.000    0.00
## Rev. C  0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.000 0.00   0.00  0.050    0.95
## Cliente 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.000 0.00   0.00  0.000    1.00

P2 <- P %^% 2
P2

##         A M1 M2 M3 MO      Cal    Mtto    Adj   No Cal  Rev. C Cliente
## A       0  0  0  0  0 0.970377 0.00000 0.0000 0.029623 0.00000 0.00000
## M1      0  0  0  0  0 0.000000 0.00490 0.0098 0.020000 0.96530 0.00000
## M2      0  0  0  0  0 0.000000 0.00495 0.0099 0.010000 0.97515 0.00000
## M3      0  0  0  0  0 0.000000 0.00495 0.0099 0.010000 0.97515 0.00000
## MO      0  0  0  0  0 0.000000 0.00475 0.0095 0.050000 0.93575 0.00000
## Cal     0  0  0  0  0 0.014500 0.00000 0.0000 0.000500 0.04925 0.93575
## Mtto    0  0  0  0  0 0.000000 0.00450 0.0090 0.100000 0.88650 0.00000
## Adj     0  0  0  0  0 0.000000 0.00500 0.0100 0.000000 0.98500 0.00000
## No Cal  0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 1.000000 0.00000 0.00000
## Rev. C  0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 0.000000 0.00250 0.99750
## Cliente 0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 0.000000 0.00000 1.00000

P10 <- P %^% 10
P10

##         A M1 M2 M3 MO          Cal         Mtto          Adj       No Cal
## A       0  0  0  0  0 4.289558e-08 0.000000e+00 0.000000e+00 0.0301153272
## M1      0  0  0  0  0 0.000000e+00 2.166048e-10 4.332096e-10 0.0204972095
## M2      0  0  0  0  0 0.000000e+00 2.188151e-10 4.376301e-10 0.0105022831
## M3      0  0  0  0  0 0.000000e+00 2.188151e-10 4.376301e-10 0.0105022831
## MO      0  0  0  0  0 0.000000e+00 2.099740e-10 4.199481e-10 0.0504819888
## Cal     0  0  0  0  0 6.409734e-10 0.000000e+00 0.000000e+00 0.0005073567
## Mtto    0  0  0  0  0 0.000000e+00 1.989228e-10 3.978456e-10 0.1004566210
## Adj     0  0  0  0  0 0.000000e+00 2.210253e-10 4.420506e-10 0.0005073566
## No Cal  0  0  0  0  0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 1.0000000000
## Rev. C  0  0  0  0  0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.0000000000
## Cliente 0  0  0  0  0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.0000000000
##               Rev. C   Cliente
## A       1.758950e-07 0.9698845
## M1      5.155311e-08 0.9795027
## M2      5.207917e-08 0.9894977
## M3      5.207917e-08 0.9894977
## MO      4.997496e-08 0.9495180
## Cal     2.630261e-09 0.9994926
## Mtto    4.734470e-08 0.8995433
## Adj     5.260522e-08 0.9994926
## No Cal  0.000000e+00 0.0000000
## Rev. C  9.765625e-14 1.0000000
## Cliente 0.000000e+00 1.0000000

P1000 <- P %^% 1000
P1000

##         A M1 M2 M3 MO Cal Mtto Adj       No Cal Rev. C   Cliente
## A       0  0  0  0  0   0    0   0 0.0301153272      0 0.9698847
## M1      0  0  0  0  0   0    0   0 0.0204972095      0 0.9795028
## M2      0  0  0  0  0   0    0   0 0.0105022831      0 0.9894977
## M3      0  0  0  0  0   0    0   0 0.0105022831      0 0.9894977
## MO      0  0  0  0  0   0    0   0 0.0504819888      0 0.9495180
## Cal     0  0  0  0  0   0    0   0 0.0005073567      0 0.9994926
## Mtto    0  0  0  0  0   0    0   0 0.1004566210      0 0.8995434
## Adj     0  0  0  0  0   0    0   0 0.0005073567      0 0.9994926
## No Cal  0  0  0  0  0   0    0   0 1.0000000000      0 0.0000000
## Rev. C  0  0  0  0  0   0    0   0 0.0000000000      0 1.0000000
## Cliente 0  0  0  0  0   0    0   0 0.0000000000      0 1.0000000

A partir del estado estacionario del sistema es posible dar sustento a la clasificación de los estados realizada. Al final, los instrumentos tendrán una mayor probabilidad de ser enviados al cliente calibrados. Los porcentajes de este suceso dependen del modelo de multímetro asignado. El mismo fenomeno sucede con la probabilidad que el equipo no se pueda calibrar.

A partir de la matriz de transición es posible obtener valores de interés tales como la probabilidad que un equipo no pueda ser calibrado en el proceso de asignación del equipo, o la probabilidad que el equipo no pueda ser calibrado depués de haber pasado por un ciclo de calibración y mantenimiento.

\(P(X_2 = No~Cal) = (\alpha \cdot P^{2})_{9} = 0.029623 = 2.9623 \%\)

##      A M1 M2 M3 MO      Cal Mtto Adj   No Cal Rev. C Cliente
## [1,] 0  0  0  0  0 0.970377    0   0 0.029623      0       0

## [1] 0.029623

\(P(X_4 = No~Cal^{*}) = (\alpha \cdot P^{4})_{9} - (\alpha \cdot P^{2})_{9} = 0.03010819 - 0.029623 = 0.00048519 = 0.0485 \%\)

##      A M1 M2 M3 MO        Cal Mtto Adj     No Cal     Rev. C   Cliente
## [1,] 0  0  0  0  0 0.01407047    0   0 0.03010819 0.04779107 0.9080303

## [1] 0.03010819

## [1] 0.00048519

La información adquirida de la matriz de transición de sustento a la compañía para tomar desiciones que minimicen riesgos atribuidos a los instrumentos. También es posible determinar probabilidades de suceso, dado un suceso anterior. Por ejemplo, es posible determinar la probabilidad que un instrumento sea entregado a un cliente, dado que en dos ciclos anteriores tuvo que ser ajustado; en dado caso, la probabilidad se determinaria de la siguiente forma:

\(P(X_2 = Cliente~|~X_0 = Adj) = (P^{2})_{(8,11)}\)

P2 <- P %^% 2
P2

##         A M1 M2 M3 MO      Cal    Mtto    Adj   No Cal  Rev. C Cliente
## A       0  0  0  0  0 0.970377 0.00000 0.0000 0.029623 0.00000 0.00000
## M1      0  0  0  0  0 0.000000 0.00490 0.0098 0.020000 0.96530 0.00000
## M2      0  0  0  0  0 0.000000 0.00495 0.0099 0.010000 0.97515 0.00000
## M3      0  0  0  0  0 0.000000 0.00495 0.0099 0.010000 0.97515 0.00000
## MO      0  0  0  0  0 0.000000 0.00475 0.0095 0.050000 0.93575 0.00000
## Cal     0  0  0  0  0 0.014500 0.00000 0.0000 0.000500 0.04925 0.93575
## Mtto    0  0  0  0  0 0.000000 0.00450 0.0090 0.100000 0.88650 0.00000
## Adj     0  0  0  0  0 0.000000 0.00500 0.0100 0.000000 0.98500 0.00000
## No Cal  0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 1.000000 0.00000 0.00000
## Rev. C  0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 0.000000 0.00250 0.99750
## Cliente 0  0  0  0  0 0.000000 0.00000 0.0000 0.000000 0.00000 1.00000

\(P(X_2 = Cliente~|~X_0 = Adj) = 0 \%\)

P2[8,11]

## [1] 0

Adicionalmente, también es posible determinar los valores esperados en ciertas etapas del proceso, tal como el valor esperado en el ciclo 3, en donde por lógica se puede determinar que hay mayor probabilidad que el instrumento esté en proceso de revisión.

\(E(X_3) = \sum^{11}_{i=1} i~ \cdot P(X_{3}=i) = \sum^{11}_{i=1} i~ \cdot (\alpha ~ \cdot ~ P^{3})_{i}\)

library(expm)

E_3 <- Alpha %*% (P %^% 3)
E_3

##      A M1 M2 M3 MO Cal        Mtto        Adj   No Cal    Rev. C Cliente
## [1,] 0  0  0  0  0   0 0.004851885 0.00970377 0.029623 0.9558213       0

VE_3 = 1*E_3[1]+2*E_3[2]+3*E_3[3]+4*E_3[4]+5*E_3[5]+6*E_3[6]+7*E_3[7]+8*E_3[8]+9*E_3[9]+10*E_3[10]+11*E_3[11]
VE_3

## [1] 9.936414

\(E(X_3) = 7 \cdot 0.004851885 + 8 \cdot 0.00970377 + 9 \cdot 0.029623 + 10 \cdot 0.9558213 = 9.936414\)

Representando a los estados como números, se afirma que el valor esperado en el ciclo 3 equivale a 9.9, el cual se aproxima al número 10, que corresponde al proceso de revisión de certificados, tal como se había previsto

Procesos Estocásticos: Trabajo Final

Jose Felipe Hurtado

15/12/2020

Planteamiento

Desarrollo del Planteamiento