Caso XVII. Distribuciones binomiales:

Objetivo:

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.

Descripción:

Identificar dos casos de distribuciones de probabilidad binomial y hacer calculos de probabilidades utilizando las formulas y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, varianza y desviación.

Fundamento teorico:

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall et al., 2006)

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco caracteristicas:

    1. El experimento consiste en n intentos idénticos.
    1. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’.
    1. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1−p).
    1. Los intentos son independientes.
    1. El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x=0,1,2,…,n. (Mendenhall et al., 2006).

Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxito en n ensayos independientes (Walpole et al., 2012):

Fórmula:

prob(x=k)=(nk)⋅pk⋅q(n−k)

Para

x=0,1,2,3…n #### y recordando las combinacones (nk)=n!k!⋅(n−k)!

El valor esperado está dado por:

μ=n⋅p

La varianza y la desviación estándard se determinan mediante:

σ2=n⋅p⋅(1−p) #### y σ=σ2−−√

Proceso

  1. Cargar librerías
  2. Ejercicios
  • Ejercicio 1: Probabilidades, Varianza, Desviación
  • Ejercicio 2: Probabilidades, Varianza, Desviación
  1. Interpretación

1. Cargar librerías

  • Se carga función de servicio github o de manera local
library(dplyr)
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

2. Ejercicios

2. Ejercicio

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

    1. Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
    1. Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
    1. Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
    1. Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
    1. Determinar el valor esperado y su significado
    1. Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
    1. Interpretar

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

  • Inicializar valores
x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30
  • Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula
tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000
  • Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()
tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

  • Identificar la probabildiad cuando P(x=2) de la tabla
  • Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

  • Identificar la probabildiad cuando P(x=3) de la tabla
  • Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

  • Ahora usar la función acumulada por la pregunta
  • P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973
paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )
## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

e) Determinar el valor esperado y su significado

  • El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p
  • Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos
VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)
## [1] "El valor esperado es:  0.9"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado

  • La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  0.63"
  • La desviación σ=σ2−−√
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  0.79"

g) Interpretar el ejercicio

En el ejercicio 1 visualizamos la experiencia de un gerente el cual nos dio una probabilidad estimada de clientes la cual es de 0.30, donde la visualizamos con la distribuciones binomiales para su resolucion.

2.1. Ejercicio 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

    1. Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
x1 <- c(1,2,3,4,5,6)
n1 <- 6
exito1 <- 0.55
tabla3 <- data.frame(x1=x1, f.prob.x1 = f.prob.binom(x1,n1,exito1), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x1,n1,exito1)))
tabla3
##   x1  f.prob.x1   f.acum.x
## 1  1 0.06089428 0.06089428
## 2  2 0.18606586 0.24696014
## 3  3 0.30321844 0.55017858
## 4  4 0.27795023 0.82812881
## 5  5 0.13588678 0.96401559
## 6  6 0.02768064 0.99169623
    1. Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)
valor.x1 <- 4
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1
##   x1 f.prob.x1  f.acum.x
## 1  4 0.2779502 0.8281288
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )
## [1] "La probabilidad cuando x es  4  es igual a :  0.277950234375"
    1. Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)
valor.x1 <- 6
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1
##   x1  f.prob.x1  f.acum.x
## 1  6 0.02768064 0.9916962
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )
## [1] "La probabilidad cuando x es  6  es igual a :  0.027680640625"
    1. Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)
valor.x1 <- 2
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1
##   x1 f.prob.x1  f.acum.x
## 1  2 0.1860659 0.2469601
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )
## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.186065859375"
    1. Determinar el valor esperado VE
VE1 <- n1 * exito1
paste ("El valor esperado es: ", VE1)
## [1] "El valor esperado es:  3.3"
    1. Determinar la varianza y su desviación estándard
varianza1 <- n1 * exito1 *( 1 - exito1)
desviacion1.std <- sqrt(varianza1)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion1.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.22"

g. Interpretar el ejercicio

El ejercicio trata sobre un jugador que podia encesta con una probabilidad 0.55 lo cual nos deja claro que el tiene mas de la mitad de sus tiros son encestados, donde el tira 6 veces el porcentaje de fallar los 6 tiros es de 27%.

2.3. Ejercicio 3

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enferme dad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,

    1. Determine tabla de probabilidad de 1 al 15
x2 <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
n2 <- 15
exito2 <- 0.4
tabla3 <- data.frame(x2=x2, f.prob.x2 = f.prob.binom(x2,n2,exito2), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x2,n2,exito2)))
tabla3
##    x2    f.prob.x2   f.acum.x
## 1   1 4.701850e-03 0.00470185
## 2   2 2.194197e-02 0.02664382
## 3   3 6.338790e-02 0.09003172
## 4   4 1.267758e-01 0.21680752
## 5   5 1.859378e-01 0.40274537
## 6   6 2.065976e-01 0.60934297
## 7   7 1.770837e-01 0.78642663
## 8   8 1.180558e-01 0.90448241
## 9   9 6.121411e-02 0.96569651
## 10 10 2.448564e-02 0.99018215
## 11 11 7.419892e-03 0.99760205
## 12 12 1.648865e-03 0.99925091
## 13 13 2.536715e-04 0.99950458
## 14 14 2.415919e-05 0.99952874
## 15 15 1.073742e-06 0.99952982
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,
valor.x2 <- 10
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2
##   x2  f.prob.x2  f.acum.x
## 1 10 0.02448564 0.9901822
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2 )
## [1] "La probabilidad cuando x es  10  es igual a :  0.024485642108928"
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho, y
valor.x2 <- 8
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2
##   x2 f.prob.x2  f.acum.x
## 1  8 0.1180558 0.9044824
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2
)      
## [1] "La probabilidad cuando x es  8  es igual a :  0.11805577445376"
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?
valor.x2 <- 5
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2
##   x2 f.prob.x2  f.acum.x
## 1  5 0.1859378 0.4027454
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2)
## [1] "La probabilidad cuando x es  5  es igual a :  0.185937844764672"
    1. ¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?
VE2 <- n2 * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE2)
## [1] "El valor esperado es:  4.5"
    1. ¿Cual es la varianza y la desviación estándar?
varianza2 <- n2 * exito2 *( 1 - exito2)
desviacion2.std <- sqrt(varianza2)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion2.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.9"