Ejemplos y ejercicios desarrollados de hipótesis paramétricas

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Prueba de hipótesis para la media con varianza poblacional conocida

\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Ejemplo 1

Un productor de cápsulas de uña de gato afirma que la demanda promedio de su producto en el mercado es de 1000 cápsulas diarias, con desviación típica 360 cápsulas. Sin embargo, un estudio de la demanda de su producto en 60 días aleatorios da una media de 950cápsulas diarias. ¿Con el 95% de confianza, es esto suficiente evidencia para contradecir la afirmación de este productor?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=1000\) (La demanda promedio de su producto en el mercado es de 1000 cápsulas diarias)
\(H_a:\mu\neq1000\) (La demanda promedio de su producto en el mercado es diferente a 1000 cápsulas diarias)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.04999579

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.1,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.1,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=950\)
\(n=60\)
\(\sigma=360\)
\(\mu_0=1000\)

xbarra<-950
n<-60
sigma<-360
mu<-1000
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.04999579

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.1,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.1,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra entre ±',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -1.076 se encuentra entre ± 1.96 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para no contradecir \na la afirmación de este productor'))

Con el 95% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para no contradecir 
a la afirmación de este productor

Ejemplo 2

Un productor de cápsulas de uña de gato afirma que la demanda promedio de su producto en el mercado es de 1000 cápsulas diarias, con desviación típica 280 cápsulas. Sin embargo, un estudio de la demanda de su producto en 36 días aleatorios da una media de 850cápsulas diarias. ¿Con el 99% de confianza, es esto suficiente evidencia para contradecir la afirmación de este productor?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=1000\) (La demanda promedio de su producto en el mercado es de 1000 cápsulas diarias)
\(H_a:\mu\neq1000\) (La demanda promedio de su producto en el mercado es diferente a 1000 cápsulas diarias)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}01\)

alpha<-0.01

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.62,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.62,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=850\)
\(n=36\)
\(\sigma=280\)
\(\mu_0=1000\)

xbarra<-850
n<-36
sigma<-280
mu<-1000
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.62,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.62,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra fuera de ±',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -3.214 se encuentra fuera de ± 2.58 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 99% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para contradecir \na la afirmación de este productor'))

Con el 99% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para contradecir 
a la afirmación de este productor

Ejemplo 3

Los empleados del sector público afirman que en promedio laboran por lo menos 10 horas diarias. En estudio, se seleccionó una muestra aleatoria de 80 empleados, en la cual se obtuvo que en promedio laboran 8.5 horas diarias. Se conoce que el tiempo que laboran los empleados del sector público se aproxima a una distribución normal con desviación estándar igual a 3.12 horas diarias. Con el 90% de confianza, ¿Qué concluye usted?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq10\) (Los empleados del sector público afirman que en promedio laboran por lo menos 10 horas diarias)
\(H_a:\mu<10\) (Los empleados del sector público afirman que en promedio laboran menos 10 horas diarias)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(alpha)
p<-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.61,y=0.05,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=8{.}5\)
\(n=80\)
\(\sigma=3{.}12\)
\(\mu_0=10\)

xbarra<-8.5
n<-80
sigma<-3.12
mu<-10
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.61,y=0.05,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -4.3 es menor que -1.28 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que los empleados del sector público en \npromedio laboran menos 10 horas diarias'))

Con el 90% de confianza, se concluye que los empleados del sector público en 
promedio laboran menos 10 horas diarias

Ejemplo 4

Los directivos de una explotación minera en los andes peruanos, afirman que la actividad que realizan no contamina las aguas de un rio que pasa cerca del campamento de sus actividades. En una entrevista periodística el administrador, mencionó que el nivel promedio de concentración de sólidos en suspensión (TSS, por sus siglas en inglés, total suspended solids) en el agua de dicho rio es a lo mucho 850 mg/l. Sin embargo, en un estudio se recolectó 20 muestras de agua de un litro cada uno, luego del análisis de laboratorio se obtuvo en promedio 910 mg/l. Se sabe que el nivel de concentración de sólidos en suspensión sigue una distribución normal, con desviación típica de 180.9 mg/l. Con el 95% de confianza, ¿Esta usted de acuerdo con la afirmación del administrador de la mina?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\leq10\) (El nivel promedio de concentración de sólidos en suspensión (TSS) en el agua de dicho rio es a lo mucho 850 mg/l)
\(H_a:\mu>10\) (El nivel promedio de concentración de sólidos en suspensión (TSS) en el agua de dicho rio es mayor a 850 mg/l)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha)
p<-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.8,y=0.03,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=950\)
\(n=20\)
\(\sigma=180{.}9\)
\(\mu_0=850\)

xbarra<-910
n<-20
sigma<-180.9
mu<-850
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.8,y=0.03,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 1.483 es menor que 1.64 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que estar de acuerdo con la afirmación del administrador \nde la mina'))

Con el 95% de confianza, se concluye que estar de acuerdo con la afirmación del administrador 
de la mina

Ejercicio 1

Un fabricante de sistemas rociadores utilizados como protección contra incendios en edificios de oficinas afirma que la temperatura de activación del sistema promedio verdadera es de \(130^{\circ}F\). Una muestra de \(n=9\) sistemas, cuando se somete a prueba, da una temperatura de activación promedio de \(131{.}08^{\circ}F\). Si la distribución de los tiempos de activación es normal con desviación estándar de \(1{.}5^{\circ}F\), ¿contradicen los datos la afirmación del fabricante a un nivel de significación \(\alpha=0{.}01\)?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=130\) (La temperatura de activiación promedio del sistema es \(130^{\circ}F\))
\(H_a:\mu\neq130\) (La temperatura de activiación promedio del sistema no es \(130^{\circ}F\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}01\)

alpha<-0.01

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=131{.}08\)
\(n=9\)
\(\sigma=1{.}5\)
\(\mu_0=130\)

xbarra<-131.08
n<-9
sigma<-1.5
mu<-130
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra entre',round(-z,2),'y',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 2.16 se encuentra entre -2.58 y 2.58 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que los datos no contradicen la afirmación del fabricante'))

Con el 95% de confianza, se concluye que los datos no contradicen la afirmación del fabricante

Ejercicio 2

En Estados Unidos un hogar paga en promedio \(\$32{.}79\) mensuales por el servicio de internet (CNBC, 18 de enero de 2006). En una muestra de 50 hogares de un estado del sur, el pago medio fue \(\$34{.}63\) al mes. Sabiendo que los pagos mensuales por internet se aproxima a una distribución normal con varianza \(\$31{.}36^2\). ¿Existe suficiente evidencia para concluir de que el pago promedio por internet es superior a \(\$32{.}79\) mensual? Use \(\alpha=0{.}10\)

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\leq32{.}79\) (El pago promedio por internet en los Estados Unidos es \(\$32{.}79\) mensual)
\(H_a:\mu>32{.}79\) (El pago promedio por internet en los Estados Unidos es superior a \(\$32{.}79\) mensual)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha)
p<-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.6,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=34{.}63\)
\(n=50\)
\(\sigma=\sqrt{31{.}36}\)
\(\mu_0=32{.}79\)

xbarra<-34.63
n<-50
sigma<-sqrt(31.36)
mu<-32.79
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.6,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es mayor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 2.323 es mayor que 1.28 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para concluir de que \nel pago promedio por internet es superior a $32.79 mensual'))

Con el 90% de confianza, se concluye que existe suficiente evidencia para concluir de que 
el pago promedio por internet es superior a $32.79 mensual

Ejercicio 3

Según el organismo regulador del servicio de agua y desague de una región, indica que el consumo máximo de agua por familia en dicha región es 160 litros diarios. En un estudio realizado por la empresa prestadora del servicio de agua en la región, realizó un muestreo aleatorio de 70 familias, donde encontró que el consumo promedio diario es 170 litros. Sabiendo que el consumo de agua diario por familia se aproxima a una distribución normal con desviación típica igual a 30 litros. ¿Está Usted de acuerdo con el organismo regulador?Use \(\alpha=0{.}10\)

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\leq160\) (El consumo promedio de agua en dicha región es como máximo 160 litros diarios)
\(H_a:\mu>160\) (El consumo promedio de agua en dicha región es superior a 160 litros diarios)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha)
p<-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.6,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=170\)
\(n=70\)
\(\sigma=30\)
\(\mu_0=160\)

xbarra<-170
n<-70
sigma<-30
mu<-160
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.6,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es mayor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 2.789 es mayor que 1.28 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye no esta de acuerdo con con el organismo regulador, porque \nel consumo es suerior a 160 litros diarios'))

Con el 90% de confianza, se concluye no esta de acuerdo con con el organismo regulador, porque 
el consumo es suerior a 160 litros diarios

Ejercicio 4

Un determinado proceso de empaquetar un producto está controlado, para un peso medio del producto empaquetado sea 400 gramos. Si en una muestra aleatoria de 100 paquetes del producto se ha encontrado que el peso medio es de 395 gramos, ¿Se podría concluir que el proceso está fuera de control al nivel de significación \(\alpha=0{.}05\)?. Suponga que el peso de los productos empaquetados se distribuye normalmente con desviación estándar de 20 gramos.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=400\) (El peso medio del producto empaquetado es 400 gramos)
\(H_a:\mu\neq400\) (El peso medio del producto empaquetado no es 400 gramos)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.04999579

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2.2,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=-2.2,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=395\)
\(n=100\)
\(\sigma=20\)
\(\mu_0=400\)

xbarra<-395
n<-100
sigma<-20
mu<-400
zcal<-(xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.04999579

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2.2,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=-2.2,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra fuera de',round(z,2),'y',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -2.5 se encuentra fuera de 1.96 y 1.96 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que el proceso esta fuera de control'))

Con el 95% de confianza, se concluye que el proceso esta fuera de control

Prueba de hipótesis para la media con varianza poblacional desconocida

Caso 1: cuando \(n>30\)

\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Caso 2: cuando \(n\leq30\)

\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Ejemplo 1 (caso 2)

Un fabricante de pilas indica que el tiempo de duración de las pilas que fabrica sigue una distribución normal y que su duración promedio es al menos 55 horas. Un cliente mayorista de la calle Capón ha hecho un pedido de pilas, pero antes de aceptar el pedido, analiza una muestra de seis pilas, cuyos resultados son los siguientes: 55, 48, 46, 47, 50, 49 ¿Qué decisión tomará el mayorista al 5% de significación?

Solución

duracion<-c(55, 48, 46, 47, 50, 49)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq55\) (La duración promedio de las pilas es al menos 55 horas)
\(H_a:\mu<55\) (La duración promedio de las pilas es menos de 55 horas)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(duracion)
t<-qt(alpha,df = n-1)
p<-(1-pt(t,df=n-1))
ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = T)

[1] 0.04968514

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.2,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=49{.}17\)
\(n=6\)
\(s=3{.}1885\)
\(\mu_0=55\)

n<-length(duracion)
xbarra<-mean(duracion)
s<-sd(duracion)
mu<-55
tcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = T)

[1] 0.04968514

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.2,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(tcal,tcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que tcal=',round(tcal,3),'es menor que',round(t,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que tcal= -4.481 es menor que -2.02 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que la duración promedio de las pilas es menos de 55 \nhoras. La decisión del comerciante será no comprar las pilas porque no duran tal como indica \nel fabricante'))

Con el 95% de confianza, se concluye que la duración promedio de las pilas es menos de 55 
horas. La decisión del comerciante será no comprar las pilas porque no duran tal como indica 
el fabricante

duracion<-c(55, 48, 46, 47, 50, 49)
E1<-ttestGC(x = NULL,data = parent.frame(duracion),mean = mean(duracion),sd = sd(duracion),n = length(duracion),mu = 55,alternative = "less",var.equal = T,conf.level = 0.95,graph = T,verbose = TRUE)
E1

Inferential Procedures for One Mean mu:


Descriptive Results:

mean      sd        n          
49.167    3.189     6          


Inferential Results:

Estimate of mu:  49.17 
SE(x.bar):   1.302 

95% Confidence Interval for mu:

          lower.bound         upper.bound          
          -Inf                51.789672            

Test of Significance:

    H_0:  mu = 55 
    H_a:  mu < 55 

    Test Statistic:     t = -4.481 
    Degrees of Freedom:   5 
    P-value:        P = 0.003255 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E1$p.value,3),'>',alpha,') que no es razonable que el inspector multe al fabricante'))

Se concluye (p= 0.003 > 0.05 ) que no es razonable que el inspector multe al fabricante

Ejemplo 2 (propuesto)

Las cajas de cierto tipo de cereal procesadas por una fábrica deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Por una queja ante el defensor del consumidor de que tales cajas de cereal tienen menos contenido, un inspector tomó una muestra aleatoria de 10 cajas encontrando los siguientes pesos de cereal en gramos: 157, 157, 163, 158, 161, 159, 162, 159, 158, 156
¿Es razonable que el inspector multe al fabricante?. Utilice un nivel de significación del 10% y suponga que los contenidos tienen distribución normal.

Solución

Peso<-c(157,157,163,158,161,159,162,159,158,156)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq160\) (El contenido prmedio de las cajas de cereal es por lo menos 160 gramos)
\(H_a:\mu<160\) (El contenido prmedio de las cajas de cereal es menos de 160 gramos)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(Peso)
t<-qt(alpha,df = n-1)
p<-(1-pt(t,df=n-1))
ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = T)

[1] 0.1004493

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.5,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=159\)
\(n=10\)
\(s=2{.}3094\)
\(\mu_0=160\)

n<-length(Peso)
xbarra<-mean(Peso)
s<-sd(Peso)
mu<-160
tcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = T)

[1] 0.1004493

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.5,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(tcal,tcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que tcal=',round(tcal,3),'es menor que',round(t,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que tcal= -1.369 es menor que -1.38 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que no es razonable que el inspector multe al fabricante'))

Con el 95% de confianza, se concluye que no es razonable que el inspector multe al fabricante

Peso<-c(157,157,163,158,161,159,162,159,158,156)
E2<-ttestGC(x = NULL,data = parent.frame(Peso),mean = mean(Peso),sd = sd(Peso),n = length(Peso),mu = 160,alternative = "less",var.equal = T,conf.level = 0.90,graph = T,verbose = TRUE)
E2

Inferential Procedures for One Mean mu:


Descriptive Results:

mean      sd        n          
159.000   2.309     10         


Inferential Results:

Estimate of mu:  159 
SE(x.bar):   0.7303 

90% Confidence Interval for mu:

          lower.bound         upper.bound          
          -Inf                160.010021           

Test of Significance:

    H_0:  mu = 160 
    H_a:  mu < 160 

    Test Statistic:     t = -1.369 
    Degrees of Freedom:   9 
    P-value:        P = 0.102 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E2$p.value,3),'>',alpha,') que no es razonable que el inspector multe al fabricante'))

Se concluye (p= 0.102 > 0.1 ) que no es razonable que el inspector multe al fabricante

Ejemplo 3 (Caso 1)

Un fabricante produce un cable de alambre de cierto tipo, que tiene una resistencia a la ruptura no mayor de 300 kg. Se descubre un proceso nuevo y más barato que desea emplearse, siempre que el cable así producido tenga una resistencia media a la ruptura mayor de 300 kg. Si una muestra aleatoria de 36 cables producidos con el nuevo proceso ha dado una media 304.5 kg. y una desviación estándar de 15 kg. ¿Debería el fabricante adoptar el nuevo proceso, si está dispuesto a asumir un error tipo I del 5%?. Suponga que la distribución de la resistencia a la ruptura es normal.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\leq300\) (La resistencia promedio del cable con el nuevo proceso es no mayor de 300 kg)
\(H_a:\mu>300\) (La resistencia promedio del cable con el nuevo proceso es mayor que 300 kg)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha)
p<-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=304{.}5\)
\(n=36\)
\(s=15\)
\(\mu_0=300\)

xbarra<-304.5
n<-36
s<-15
mu<-300
zcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=2,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es mayor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 1.8 es mayor que 1.64 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que resistencia promedio del cable con el nuevo proceso \nes mayor que 300 kg. El fabricante si debe adoptar el nuevo proceso'))

Con el 95% de confianza, se concluye que resistencia promedio del cable con el nuevo proceso 
es mayor que 300 kg. El fabricante si debe adoptar el nuevo proceso

Ejercicio 1

Recientemente muchas compañias han experimentado con las “telecomunicaciones”, al permitir que sus empleados trabajaen en su casa en sus computadoras. Entre otros factores, se supone que la telecomunicación reduce las faltas por enfermedad. Suponga que en una compañía se sabe que en años pasados los empleados faltaron en promedio 5.4 días por enfermedad. Este año la compañía introduce las telecomunicaciones. La dirección elige una muestra aleatoria de 80 empleados para estudiarlos a detalle, y, al final del año, se obtuvo en promedio 4.5 días de faltas por enfermedad, con varianza 7.29 \(días^2\). ¿Se reduce las faltas por enfermedad usando las telecomunicaciones para hacer trabajo desde casa?. Use \(\alpha=0{.}05\)

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq5{.}4\) (Con el uso de la telecomunicación las faltas promedio por enfermedad es mayor o igual a 5.4 días)
\(H_a:\mu<5{.}4\) (Con el uso de la telecomunicación las faltas promedio por enfermedad es menor a 5.4 días)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(alpha)
p<-1-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=4{.}5\)
\(n=80\)
\(s=\sqrt{7{.}29}\)
\(\mu_0=5{.}4\)

xbarra<-4.5
n<-80
s<-sqrt(7.29)
mu<-5.4
zcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -2.981 es menor que -1.64 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que con el uso de la telecomunicación las faltas \npromedio por enfermedad es menor a 5.4 días; es decir, reduce las faltas promedio por \nenfermedad'))

Con el 95% de confianza, se concluye que con el uso de la telecomunicación las faltas 
promedio por enfermedad es menor a 5.4 días; es decir, reduce las faltas promedio por 
enfermedad

Ejercicio 2

El gerente de ventas de una tienda por departamento afirma que en enero del 2020 se ha realizado un descuento promedio de 15% en todas las compras. En un muestreo aleatorio de 15 ventas, se registró los descuentos a cada venta, los datos son los siguientes:

Con el 90% de confianza, ¿Existe suficiente evidencia para contradecir al gerente de ventas? Se asume que el descuento se aproxima a una distribución normal.

Solución

Dscto<-c(12.5,18.2,15.1,16.2,14.2,12.6,13.8,15.1,16.2,17.1,16.8,15.0,14.2,15.1,17.6)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=15\) (El descuento promedio en las ventas de enero de 2020 fue 15%)
\(H_a:\mu\neq15\) (El descuento promedio en las ventas de enero de 2020 no fue 15%)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(Dscto)
t<-qt(1-alpha/2,df=n-1)
p<-pt(t,df=n-1)-(1-pt(t,df=n-1))
ptGC(bound = c(round(-t,2),round(t,2)),region = "outside",df=n-1,graph = TRUE)

[1] 0.1002291

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.3,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.3,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=15{.}313\)
\(n=15\)
\(s=1{.}707491\)
\(\mu_0=15\)

xbarra<-mean(Dscto)
n<-length(Dscto)
s<-sd(Dscto)
mu<-15
tcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

ptGC(bound = c(round(-t,2),round(t,2)),region = "outside",df=n-1,graph = TRUE)

[1] 0.1002291

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.3,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.3,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(tcal,tcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que tcal=',round(tcal,3),'se encuentra entre',round(-z,2),'y',round(z,2),'. Por lo tanto,no se rechaza Ho'))

Dado que tcal= 0.711 se encuentra entre 1.64 y -1.64 . Por lo tanto,no se rechaza Ho

Cálculos

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que el descuento promedio en las ventas de enero de 2020 \nfue 15%'))

Con el 90% de confianza, se concluye que el descuento promedio en las ventas de enero de 2020 
fue 15%

Dscto<-c(12.5,18.2,15.1,16.2,14.2,12.6,13.8,15.1,16.2,17.1,16.8,15.0,14.2,15.1,17.6)
E3<-ttestGC(x = NULL,data = parent.frame(Dscto),mean = mean(Dscto),sd = sd(Dscto),n = length(Dscto),mu = 15,alternative = "two.side",var.equal = T,conf.level = 0.90,graph = T,verbose = TRUE)
E3

Inferential Procedures for One Mean mu:


Descriptive Results:

mean      sd        n          
15.313    1.707     15         


Inferential Results:

Estimate of mu:  15.31 
SE(x.bar):   0.4409 

90% Confidence Interval for mu:

          lower.bound         upper.bound          
          14.536821           16.089846            

Test of Significance:

    H_0:  mu = 15 
    H_a:  mu != 15 

    Test Statistic:     t = 0.7107 
    Degrees of Freedom:   14 
    P-value:        P = 0.4889 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E3$p.value,3),'>',alpha,') que no existe suficiente evidencia para contradecir al gerente \nde ventas'))

Se concluye (p= 0.489 > 0.1 ) que no existe suficiente evidencia para contradecir al gerente 
de ventas

Ejercicio 3

Un inspector midió el volumen de llenado de una muestra aleatoria de 100 latas de jugo, cuya etiqueta afirmaba que contenían 12 onzas. En la muestra se encontró que el volumen promedio fue de 11.98 onzas y desviación estándar de 0.19 onzas. ¿Estaría Usted de acuerdo con el volumen que indica en la etiqueta de las latas de jugo? Use \(\alpha=0{.}10\)

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=12\) (El contenido promedio en las latas de jugo es 12 onzas)
\(H_a:\mu\neq12\) (El contenido promedio en las latas de jugo no es 12 onzas)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.1010052

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=1.8,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=11{.}98\)
\(n=100\)
\(s=0{.}19\)
\(\mu_0=12\)

xbarra<-11.98
n<-100
s<-0.19
mu<-12
zcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.1010052

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=1.8,y=0.02,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra entre ',round(-z,2),'y',round(z,2),'. Por lo tanto,no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -1.053 se encuentra entre  -1.64 y 1.64 . Por lo tanto,no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que el contenido promedio en las latas de jugo es 12 onzas'))

Con el 90% de confianza, se concluye que el contenido promedio en las latas de jugo es 12 onzas

Ejercicio 4

Cuando está operando adecuadamente, una planta química tiene una producción promedio de por lo menos 740 toneladas. Para verificar la cantidad de promedio de producción, se selecciona aleatoriamente una muestra de 60 días, en la cual se obtuvo una producción promedio de 715 toneladas diarias y desviación típica igual a 24 toneladas diarias. ¿Está funcionando adecuadamente la planta química? Use \(\alpha=0{.}10\)

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq740\) (La planta química tiene una producción promedio de por lo menos 740 toneladas)
\(H_a:\mu<740\) (La planta química tiene una producción promedio inferior a 740 toneladas)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(Z_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(alpha)
p<-1-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=715\)
\(n=60\)
\(s=24\)
\(\mu_0=740\)

xbarra<-715
n<-60
s<-24
mu<-740
zcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.1002726

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -8.069 es menor que -1.28 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que planta química tiene una producción promedio inferior \na 740 toneladas; es decir, la planta química no esta funcionando adecuadamente'))

Con el 90% de confianza, se concluye que planta química tiene una producción promedio inferior 
a 740 toneladas; es decir, la planta química no esta funcionando adecuadamente

Ejercicio 5

Un jefe de recursos humanos de una empresa con más de 150 empleados, afirma que la experiencia laboral promedio de sus colaboradores es de por lo menos \(8{.}5\) años. Sin embargo, en una muestra de 25 empleados, se determinó que en promedio tenían \(11{.}2\) años de experiencia laboral y una desviación estándar de \(5{.}23\) años. Con el 95% de confianza, ¿Existe suficiente evidencia para concluir que la experiencia laboral promedio de los colaboradores es inferior a \(8{.}5\) años? Asumir que el tiempo de experiencia laboral promedio se aproxima a una distribución normal.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu\geq8{.}5\) (La experiencia laboral promedio de sus colaboradores es de por lo menos \(8{.}5\) años)
\(H_a:\mu<8{.}5\) (La experiencia laboral promedio de sus colaboradores es menos de \(8{.}5\) años)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-25
t<-qt(alpha,df=n-1)
p<-1-pt(t,df=n-1)
ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = TRUE)

[1] 0.05008269

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=11{.}2\)
\(n=25\)
\(s=5{.}23\)
\(\mu_0=8{.}5\)

xbarra<-11.2
n<-25
s<-5.23
mu<-8.5
tcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

ptGC(bound = round(t,2),region = "below",df = n-1,graph = TRUE)

[1] 0.05008269

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red",cex = 0.8)
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(tcal,tcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que tcal=',round(tcal,3),'es mayor que',round(t,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que tcal= 2.581 es mayor que -1.71 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que experiencia laboral promedio de sus colaboradores \nes de por lo menos 8.5 años'))

Con el 95% de confianza, se concluye que experiencia laboral promedio de sus colaboradores 
es de por lo menos 8.5 años

Ejercicio 6

El gerente de operaciones de una empresa distribuidora de artículos de primera necesidad, afirma que en promedio demoran 2 días en hacer la entrega del pedido desde que se hace hasta que se le entrega al cliente (bodega). En una muestra aleatoria de 10 pedidos, se registró los siguientes datos:

Con el 96% de confianza, ¿Existe suficiente evidencia para contradecir al gerente de operaciones? Se asume que el tiempo de demora en la entrega se aproxima a una distribución normal.

Solución

días<-c(1.8,2.0,2.1,1.9,2.1,2.5,1.5,2.1,1.9,2.3)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\mu=2\) (El tiempo promedio de demora en hacer entrega del pedido al cliente es 2 días)
\(H_a:\mu\neq2\) (El tiempo promedio de demora en hacer entrega del pedido al cliente no es 2 días)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}04\)

alpha<-0.04

Estadístico de prueba
\(t_{cal}=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\space{ }\thicksim t_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(días)
t<-qt(1-alpha/2,df = n-1)
p<-pt(t,df = n-1)-(1-pt(t,df = n-1))
ptGC(bound = c(round(-t,2),round(t,2)),region = "outside",df = n-1,graph = TRUE)

[1] 0.03989789

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.6,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.6,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{x}=2{.}02\)
\(n=10\)
\(s=0{.}2741\)
\(\mu_0=2\)

xbarra<-mean(días)
n<-length(días)
s<-sd(días)
mu<-2
tcal<-(xbarra-mu)/(s/sqrt(n))

Decisión

ptGC(bound = c(round(-t,2),round(t,2)),region = "outside",df = n-1,graph = TRUE)

[1] 0.03989789

text(x=0,y=0.15,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.6,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.6,y=0.015,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(tcal,tcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que tcal=',round(tcal,3),'se encuentra entre ',round(-t,2),'y',round(t,2),'. Por lo tanto,no se rechaza Ho'))

Dado que tcal= 0.231 se encuentra entre  -2.4 y 2.4 . Por lo tanto,no se rechaza Ho

Cálculos

cat(paste('Con el 96% de confianza, se concluye que tiempo promedio de demora en hacer entrega del pedido \nal cliente es 2 días; es decir, no existe evidencia suficiente para contradecir al gerente \nde operaciones'))

Con el 96% de confianza, se concluye que tiempo promedio de demora en hacer entrega del pedido 
al cliente es 2 días; es decir, no existe evidencia suficiente para contradecir al gerente 
de operaciones

días<-c(1.8,2.0,2.1,1.9,2.1,2.5,1.5,2.1,1.9,2.3)
E4<-ttestGC(x = NULL,data = parent.frame(días),mean = mean(días),sd = sd(días),n = length(días),mu = 2,alternative = "two.side",var.equal = T,conf.level = 0.96,graph = T,verbose = TRUE)
E4

Inferential Procedures for One Mean mu:


Descriptive Results:

mean      sd        n          
2.020     0.274     10         


Inferential Results:

Estimate of mu:  2.02 
SE(x.bar):   0.08667 

96% Confidence Interval for mu:

          lower.bound         upper.bound          
          1.812135            2.227865             

Test of Significance:

    H_0:  mu = 2 
    H_a:  mu != 2 

    Test Statistic:     t = 0.2308 
    Degrees of Freedom:   9 
    P-value:        P = 0.8227 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E4$p.value,3),'>',alpha,') que no existe suficiente evidencia para contradecir al gerente \nde operaciones'))

Se concluye (p= 0.823 > 0.04 ) que no existe suficiente evidencia para contradecir al gerente 
de operaciones

Prueba de hipótesis para una proporción de población normal

\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Ejemplo 1

De 100 compras efectuadas en una tienda, 10 fueron hechas por internet; según datos de ventas del año pasado proporcionados por el gerente. Este año se seleccionó una muestra de 200 compras para determinar qué proporción de compras se efectuaron por internet. Esta muestra indicó que el 18% de las compras fueron por internet. A nivel de significancia del 1% ¿Puede concluirse que la proporción de compras por internet en la tienda ha cambiado significativamente?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\pi=0{.}10\) (De las compras realizadas en una tienda, el 10% fueron por internet)
\(H_a:\pi\neq0{.}10\) (De las compras realizadas en una tienda, el 10% no fueron por internet)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}01\)

alpha<-0.01

Estadístico de prueba
\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(\bar{p}=0{.}18\)
\(n=200\)
\(\pi_0=0{.}10\)

pbarra<-0.18
n<-200
pi<-0.10
zcal<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n)

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra fuera de +-',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 3.771 se encuentra fuera de +- 2.58 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 99% de confianza, se concluye que de las compras realizadas en dicha tienda por tienda \nsi ha  cambiado significativamente'))

Con el 99% de confianza, se concluye que de las compras realizadas en dicha tienda por tienda 
si ha  cambiado significativamente

Ejercicio 1

El administrador de una cooperativa de caficultores, indica que por lo menos el 35% de los socios son mujeres. En una muestra aleatoria de 135 socios seleccionados al azar, 37 de ellos fueron mujeres. Con el 95% de confianza, ¿Existe evidencia suficiente para contradecir al administrador de la cooperativa?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\pi\geq0{.}35\) (Los socios caficultores de una cooperativa, por lo menos el 35% son mujeres)
\(H_a:\pi<0{.}35\) (Los socios caficultores de una cooperativa, menos del 35% son mujeres)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(alpha)
p<-1-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(n=135\)
\(x=37\)
\(\bar{p}=\dfrac{x}{n}=0{.}2741\)
\(\pi_0=0{.}35\)

n<-135
x<-37
pbarra<-x/n
pi<-0.35
zcal<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n)

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -1.85 es menor que -1.64 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 99% de confianza, se concluye existe evidencia suficiente para contradedir al administrador \nde dicha cooperativa'))

Con el 99% de confianza, se concluye existe evidencia suficiente para contradedir al administrador 
de dicha cooperativa

Ejercicio 2

El gerente de marketing de detergentes “lavadora” indica que en la región San Martín esta posicionada en el 30% de la población. Con el objetivo de incrementar el posicionamiento, se realiza un estudio, en el cual se entrevista a 350 amas de casa sobre el uso de detergente; se encontró que 25% usan detergente “lavadora”. Con el 99% de confianza, ¿Estaría usted de acuerdo con el gerente de marketing?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\pi=0{.}30\) (La marca de detergentes “lavadora” esta posicionada en el 30% de la población en la región San Martín)
\(H_a:\pi\neq0{.}30\) (La marca de detergentes “lavadora” no esta posicionada en el 30% de la población en la región San Martín)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}01\)

alpha<-0.01

Estadístico de prueba
\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha/2)
p<-pnorm(z)-(1-pnorm(z))
pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(n=350\)
\(\bar{p}=0{.}25\)
\(\pi_0=0{.}30\)

n<-350
pbarra<-0.25
pi<-0.30
zcal<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n)

Decisión

pnormGC(bound = c(round(-z,2),round(z,2)),region = "outside",graph = TRUE)

[1] 0.009880032

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
text(x=2.7,y=0.01,labels = "a/2",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'se encuentra entre',round(-z,2),'y',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -2.041 se encuentra entre -2.58 y 2.58 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 99% de confianza, se concluye que la marca de detergentes "lavadora" esta posicionada \nen el 30% de la población en la región San Martín'))

Con el 99% de confianza, se concluye que la marca de detergentes "lavadora" esta posicionada 
en el 30% de la población en la región San Martín

Ejercicio 3

Una agencia de turismo en Tarapoto, afirma que por lo menos el 60% de turistas que llegan a la región San Martín, visitan Laguna Azul. En un muestreo a 150 turistas, realizado en el aeropuerto de Tarapoto, se encontró que 105 de ellos han visitado o tenían planeado visitar Laguna Azul. Con el 96% de confianza, ¿Está usted de acuerdo con la afirmación de la agencia de turismo?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\pi\geq0{.}60\) (Por lo menos el 60% de turistas que llegan a la región San Martín, visitan laguna azul)
\(H_a:\pi<0{.}60\) (Menos del 60% de turistas que llegan a la región San Martín, visitan laguna azul)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}04\)

alpha<-0.04

Estadístico de prueba
\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(alpha)
p<-1-pnorm(z)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.04005916

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.9,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(n=150\)
\(x=105\)
\(\bar{p}=\dfrac{x}{n}=0{.}70\)
\(\pi_0=0{.}60\)

n<-150
x<-105
pbarra<-x/n
pi<-0.60
zcal<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n)

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "below",graph = TRUE)

[1] 0.04005916

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=-1.9,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es mayor que',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= 2.5 es mayor que -1.75 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 96% de confianza, se concluye que por lo menos el 60% de turistas que llegan a la \nregión San Martín, visitan laguna azul'))

Con el 96% de confianza, se concluye que por lo menos el 60% de turistas que llegan a la 
región San Martín, visitan laguna azul

Ejercicio 4

Actualmente los administradores de negocios tienen que conocer sobre analítica de negocios en las redes sociales. Según una noticia propalada por un diario de negocios, a lo mucho el 12% conocen o tienen conocimientos básicos sobre analítica de negocios en redes sociales. Si en un estudio a 400 administradores contactados a través de un cuestionario online, 38 de ellos respondieron que tienen conocimiento sobre analítica de negocios en redes sociales. Con el 95% de confianza, ¿Se confirma la noticia propalada en el diario?

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\pi\leq0{.}12\) (A lo mucho el 12% de los administradores de negocios conocen sobre analítica de negocios)
\(H_a:\pi>0{.}12\) (Más del 12% de los administradores de negocios conocen sobre analítica de negocios)

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(z_{cal}=\dfrac{\bar{p}-\pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_o*(1-\pi_o)}{n}}}\space{ }\thicksim N(0,1)\)

Región crítica / regla de decisión

z<-qnorm(1-alpha)
p<-pnorm(z,lower.tail = T)
pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")

Cálculos
Datos
\(n=400\)
\(x=38\)
\(\bar{p}=\dfrac{x}{n}=0{.}095\)
\(\pi_0=0{.}12\)

n<-400
x<-38
pbarra<-x/n
pi<-0.12
zcal<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n)

Decisión

pnormGC(bound = round(z,2),region = "above",graph = TRUE)

[1] 0.05050258

text(x=0,y=0.2,labels = "1-a",col = "red")
text(x=0,y=0.1,labels = "Región de no rechazo",col = "red")
text(x=0,y=0.05,labels = round(p,2),col = "red")
text(x=1.8,y=0.02,labels = "a",col = "blue")
lines(c(zcal,zcal),c(0,0.8),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que zcal=',round(zcal,3),'es menor que',round(z,2),'. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que zcal= -1.539 es menor que 1.64 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que lo mucho el 12% de los administradores de negocios \nconocen sobre analítica de negocios'))

Con el 95% de confianza, se concluye que lo mucho el 12% de los administradores de negocios 
conocen sobre analítica de negocios

Prueba de hipótesis para una varianza de una población normal

\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Ejemplo 1

En un proceso de fabricación, se plantea la hipótesis que la desviación estándar de las longitudes de cierto tipo de tornillo es 2.0 mm. En una muestra de diez tornillo elegidos al azar del proceso de producción se han encontrado las siguientes longitudes en milímetros: 71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69
Con estos datos, ¿se justifica la suposición que la desviación estándar verdadera es 2.00 mm? Use el nivel de significación \(\alpha=0{.05}\), y suponga que la distribución de las longitudes es normal.

Solución

longitud<-c(71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2=4\) (La varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo es \(4{.}0\space{ }mm^2\))
\(H_a:\sigma^2\neq4\) (La varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo es diferente a \(4{.}0\space{ }mm^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(longitud)
x2s<-qchisq(1-alpha/2,df = n-1)
x2i<-qchisq(alpha/2,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),25,0.01),25)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),25,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,25),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=9,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=9,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=20,y=0.005,labels = "a/2",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

pxi<-pchisq(round(x2i,2),df=n-1)
x<-c(0,seq(0,round(x2i,2),0.01),round(x2i,2))
y<-c(0,dchisq(seq(0,round(x2i,2),0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,25),add = T)
polygon(x,y,col = "skyblue")
p<-pxs-pxi
text(x=9,y=0.02,labels = round(p,4),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=2,y=0.005,labels = "a/2",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=10\)
\(s^2=6{.}7667\)
\(\sigma^2_o=4\)

n<-length(longitud)
s2<-var(longitud)
sigma2<-4
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2

Decisión

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),25,0.01),25)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),25,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,25),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=9,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=9,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=20,y=0.005,labels = "a/2",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

pxi<-pchisq(round(x2i,2),df=n-1)
x<-c(0,seq(0,round(x2i,2),0.01),round(x2i,2))
y<-c(0,dchisq(seq(0,round(x2i,2),0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,25),add = T)
polygon(x,y,col = "skyblue")
p<-pxs-pxi
text(x=9,y=0.02,labels = round(p,4),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=2,y=0.005,labels = "a/2",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'se encuentra entre',round(x2i,2),'y',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 15.225 se encuentra entre 2.7 y 19.02 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que la varianza de las longitudes de cierto tipo de \ntornillo es 4.0 mm^2'))

Con el 95% de confianza, se concluye que la varianza de las longitudes de cierto tipo de 
tornillo es 4.0 mm^2

longitud<-c(71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69)
E5<-sigma.test(x = longitud,sigmasq = 4,alternative = "two.side",conf.level = 0.95)
E5

    One sample Chi-squared test for variance

data:  longitud
X-squared = 15.225, df = 9, p-value = 0.1699
alternative hypothesis: true variance is not equal to 4
95 percent confidence interval:
  3.201427 22.552302
sample estimates:
var of longitud 
       6.766667 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E5$p.value,3),'>',alpha,') que la varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo \nes 4.0 mm^2'))

Se concluye (p= 0.17 > 0.05 ) que la varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo 
es 4.0 mm^2

Ejemplo 2

En un muestreo de 15 sobres de cierto producto cuyos pesos se distribuyen normalmente, se ha obtenido el peso (gramos) de cada sobre, los datos son los siguientes:

Utilizando un nivel de significación del 10%, ¿es válido inferir que la varianza de los pesos de tales sobres es mayor que 1.45 gramos2

Solución

sobre<-c(250.1,251.3,250.5,252.2,249.2,249.8,255.2,249.1,250.5,250.6,251.2,253.1,250.5,251.9,251.1)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2\leq1{.}45\) (La varianza de los pesos de tales sobres es como máximo \(1{.}45\space{ }gramos^2\))
\(H_a:\sigma^2>1{.}45\) (La varianza de los pesos de tales sobres es mayor que 1.45 gramos2 \(1{.}45\space{ }gramos^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(sobre)
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1,lower.tail = T)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),35,0.01),35)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),35,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,35),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=13,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=13,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=13,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=25,y=0.005,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=15\)
\(s^2=2{.}4527\)
\(\sigma^2_o=1{.}45\)

n<-length(sobre);n

[1] 15

s2<-var(sobre);s2

[1] 2.452667

sigma2<-1.45
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2;xcal

[1] 23.68092

Decisión

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1,lower.tail = T)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),35,0.01),35)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),35,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,35),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=13,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=13,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=13,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=25,y=0.005,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'es mayor que',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto, se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 23.681 es mayor que 21.06 . Por lo tanto, se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que la varianza de los pesos de tales sobres es \nmayor que 1.45 gramos2'))

Con el 90% de confianza, se concluye que la varianza de los pesos de tales sobres es 
mayor que 1.45 gramos2

sobre<-c(250.1,251.3,250.5,252.2,249.2,249.8,255.2,249.1,250.5,250.6,251.2,253.1,250.5,251.9,251.1)
E6<-sigma.test(x = sobre,sigmasq = 1.45,alternative = "greater",conf.level = 0.90)
E6

    One sample Chi-squared test for variance

data:  sobre
X-squared = 23.681, df = 14, p-value = 0.05005
alternative hypothesis: true variance is greater than 1.45
90 percent confidence interval:
 1.630132      Inf
sample estimates:
var of sobre 
    2.452667 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E6$p.value,3),'>',alpha,') que la varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo \nes 4.0 mm^2'))

Se concluye (p= 0.05 > 0.1 ) que la varianza de las longitudes de cierto tipo de tornillo 
es 4.0 mm^2

Ejercicio 1

El encargado de control de calidad en una planta que fabrica telas de algodón pima, esta dispuesto a aceptar una varianza máxima igual a 0.12 gramos\(^2\) por tonelada de tela. Para verificar que se esté cumpliendo dicha variabilidad, selecciona aleatoriamente a 12 lotes de 20 toneladas cada uno; donde encontró que la varianza fue 0.15. Con el 92% de confianza, ¿Se puede concluir que la varianza en el peso por tonelada es superior a 0.12 gramos\(^2\)? Asumir que el peso es una distribución normal.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2\leq0{.}12\) (La varianza en el peso por tonelada máxima admitida es \(0{.}12\space{ }gramos^2\))
\(H_a:\sigma^2>0{.}12\) (La varianza en le peso por tonelada es superior a \(0{.}12\space{ }gramos^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}08\)

alpha<-0.08

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-12
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1,lower.tail = T)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),30,0.01),30)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),30,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,30),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=10,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=10,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=10,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=20,y=0.005,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=12\)
\(s^2=0{.}15\)
\(\sigma^2_o=0{.}12\)

n<-12
s2<-0.15
sigma2<-0.12
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2

Decisión

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1,lower.tail = T)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),30,0.01),30)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),30,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,30),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=10,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=10,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=10,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=20,y=0.005,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'es menor que',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto,no se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 13.75 es menor que 18.07 . Por lo tanto,no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 92% de confianza, se concluye que la varianza en el peso por tonelada máxima admitida \nes 0.12 gramos2'))

Con el 92% de confianza, se concluye que la varianza en el peso por tonelada máxima admitida 
es 0.12 gramos2

Ejercicio 2

El gerente de un banco indica que la varianza sobre el tiempo de respuesta en el call center de dicho banco es a lo mucho 0.64 minutos2. En una muestra 45 llamadas se obtuvo que la varianza sobre el tiempo de respuesta fue igual a 0.42 minutos2. En base a esta información y con el 95% de confianza, ¿Existe evidencia suficiente para contradecir al gerente del banco? Asumir que el peso es una distribución normal.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2\leq0{.}64\) (La varianza sobre el tiempo de respuesta en el call center de dicho banco es a lo mucho 0.64 minutos\(^2\))
\(H_a:\sigma^2>0{.}64\) (La varianza sobre el tiempo de respuesta en el call center de dicho banco es más de 0.64 minutos\(^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}05\)

alpha<-0.05

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-45
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),80,0.01),80)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),80,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,80),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=42,y=0.015,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=42,y=0.01,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=42,y=0.005,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=63,y=0.0015,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=45\)
\(s^2=0{.}42\)
\(\sigma^2_o=0{.}64\)

n<-45
s2<-0.42
sigma2<-0.64
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2

Decisión

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),80,0.01),80)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),80,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,80),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=42,y=0.015,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=42,y=0.01,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=42,y=0.005,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=63,y=0.0015,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'es menor que',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto, no se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 28.875 es menor que 60.48 . Por lo tanto, no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 95% de confianza, se concluye que la varianza sobre el tiempo de respuesta en el \ncall center de dicho banco es a lo mucho 0.64 minutos^2'))

Con el 95% de confianza, se concluye que la varianza sobre el tiempo de respuesta en el 
call center de dicho banco es a lo mucho 0.64 minutos^2

Ejercicio 3

El jefe de operaciones de una aerolínea menciona que la puntualidad es uno de los valores que los caracteriza; por que afirma que la varianza máxima admitida en la llegada a su destino es 5 minutos2. En una muestra aleatoria de 20 vuelos a un determinado destino, se obtuvo una varianza igual a 2.5 minutos2. Con el 90% de confianza, ¿Se puede decir que se esta cumpliendo lo mencionado por el jefe de operaciones? Asuma que el peso se aproxima a una distribución normal.

Solución

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2\leq5\) (La varianza máxima admitida en la llegada a su destino es 5 minutos\(^2\))
\(H_a:\sigma^2>5\) (La varianza en la llegada a su destino es superior a 5 minutos\(^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}10\)

alpha<-0.10

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-20
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),40,0.01),40)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),40,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,40),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=18,y=0.02,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=18,y=0.015,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=18,y=0.01,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=30,y=0.008,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=20\)
\(s^2=2{.}5\)
\(\sigma^2_o=0{.}64\)

n<-45
s2<-2.5
sigma2<-5
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2

Decisión

n<-20
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),40,0.01),40)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),40,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,40),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=18,y=0.02,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=18,y=0.015,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=18,y=0.01,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=30,y=0.008,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'es menor que',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto,no se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 22 es menor que 27.2 . Por lo tanto,no se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 90% de confianza, se concluye que la varianza máxima admitida en la llegada \na su destino es 5 minutos^2'))

Con el 90% de confianza, se concluye que la varianza máxima admitida en la llegada 
a su destino es 5 minutos^2

Ejercicio 4

El jefe de control de calidad de una fábrica de quesos, sospecha que la varianza sobre el peso (kilogramos) de los quesos es superior al límite admitido que es 0.01 kilogramos2. Para confirmar, selecciona aleatoriamente 12 quesos y los pesa en una balanza electrónica. Los pesos (gramos) son los siguientes:

Con el 97% de confianza, ¿Se confirma la sospecha del jefe de control de calidad? Asuma que el peso se aproxima a una distribución normal.

Solución

Peso<-c(1000,998,987,1001,1000,997,978,987,1002,1001,987,999)

Planteamiento de hipótesis
\(H_0:\sigma^2\leq5\) (La varianza máxima admitida sobre el peso de los quesos es 10 gramos\(^2\))
\(H_a:\sigma^2>5\) (La varianza sobre el peso de los quesos es superior a 10 gramos\(^2\))

Nivel de significancia
\(\alpha=0{.}03\)

alpha<-0.03

Estadístico de prueba
\(X^2_{cal}=\dfrac{(n-1)*s^2}{\sigma^2_o}\space{ }\thicksim X^2_{n-1}\)

Región crítica / regla de decisión

n<-length(Peso)
x2s<-qchisq(1-alpha,df = n-1)

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),30,0.01),30)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),30,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,30),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=11,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=11,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=11,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=22,y=0.003,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)

Cálculos
Datos
\(n=12\)
\(s^2=61{.}84091\)
\(\sigma^2_o=10\)

n<-length(Peso)
s2<-var(Peso)
sigma2<-10
xcal<-((n-1)*s2)/sigma2

Decisión

pxs<-pchisq(round(x2s,2),df=n-1)
x<-c(round(x2s,2),seq(round(x2s,2),30,0.01),30)
y<-c(0,dchisq(seq(round(x2s,2),30,0.01),df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim = c(0,30),main=" ")
polygon(x,y,col = "skyblue")
text(x=11,y=0.04,labels = "1-a",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=11,y=0.03,labels = "Región de no rechazo",font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=11,y=0.02,labels = round(pxs,2),font = 2,col = "red",cex = 0.8)
text(x=22,y=0.003,labels = "a",font = 2,col = "black",cex = 0.8)
lines(c(xcal,xcal),c(0,0.1),col="red",lwd=3)

cat(paste('Dado que xcal=',round(xcal,3),'es mayor que',round(x2s,2),
      '. Por lo tanto,se rechaza Ho'))

Dado que xcal= 68.025 es mayor que 21.34 . Por lo tanto,se rechaza Ho

Conclusión

cat(paste('Con el 97% de confianza, se concluye que la varianza sobre el peso de los quesos es superior \na 10 gramos^2; es decir, se confirma la sospecha del jefe de control de calidad'))

Con el 97% de confianza, se concluye que la varianza sobre el peso de los quesos es superior 
a 10 gramos^2; es decir, se confirma la sospecha del jefe de control de calidad

Peso<-c(1000,998,987,1001,1000,997,978,987,1002,1001,987,999)
E7<-sigma.test(x = Peso,sigmasq = 10,alternative = "greater",conf.level = 0.97)
E7

    One sample Chi-squared test for variance

data:  Peso
X-squared = 68.025, df = 11, p-value = 2.895e-10
alternative hypothesis: true variance is greater than 10
97 percent confidence interval:
 31.87439      Inf
sample estimates:
var of Peso 
   61.84091 

cat(paste('Se concluye (p=',round(E7$p.value,3),'<',alpha,') se concluye que la varianza sobre el peso de los quesos es \nsuperior a 10 gramos^2; es decir, se confirma la sospecha del jefe de control de calidad'))

Se concluye (p= 0 < 0.03 ) se concluye que la varianza sobre el peso de los quesos es 
superior a 10 gramos^2; es decir, se confirma la sospecha del jefe de control de calidad

Bibliografía

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10ma. ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial (5ta. ed.). Moshera S.R.L.
Devore, J. L. (2008). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias (7ma. ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
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Citar como

Vancouver

[1] Villalobos P. Ejemplos y ejercicios desarrollados de hipótesis. Perú; 2020.

APA 7

Villalobos, P. (2020). Ejemplos y ejercicios desarrollados de hipótesis [Guía de clase].

IEEE

[1] P. Villalobos, «Ejemplos y ejercicios desarrollados de hipótesis», Perú, dic. 10, 2020.