Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.

Descripción

Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.

Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.

Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 15 encontrados en la literatura, se pueden apoyar de los mismos ejercicios del caso 14.

  1. Cargar librerías Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3
library(stringr)  # String
library(stringi)  # String
## Warning: package 'stringi' was built under R version 4.0.3
library(gtools)
## Warning: package 'gtools' was built under R version 4.0.3
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)
## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.3
library(gtools)

options(scipen = 999) # Notación normal
  1. Ejercicios Para cada ejercicio, se describe y define el contexo. Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada. Se determina el valor esperado de cada ejercicio Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas. 2.1. Ejercicio 1 Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Hero, n.d.)

Tabla de probabilidad

discretas <- c(0,1)   # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")
Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x
0 4950 0.99 0.99 0.00
1 50 0.01 1.00 0.01

Valor esperado Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: μ=∑xP(x)

VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)

VE
## [1] 0.01

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01

Varianza Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x VE x-VE.cuad.f.prob.x
0 4950 0.99 0.99 0.00 0.01 0.000099
1 50 0.01 1.00 0.01 0.01 0.009801

α2=∑(x−μ)2P(x)

varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza
## [1] 0.0099

Desviación estándard de una distribución discreta La raiz cuadrada de la varianza α=α2−−√

desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std
## [1] 0.09949874

La tabla con las sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla), c(1,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")
Tabla de probabilidad con sumatorias
x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x VE x-VE.cuad.f.prob.x
0 4950 0.99 0.99 0.00 0.01 0.000099
**** 50 0.01 **** 0.01 **** 0.009801
1 5000 1.00 1.99 0.01 0.02 0.009900

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

2.1. Ejercicio 2 Venta de autmóviles de Pelican Ford

Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.

La variable discreta venta de aumóviles: 0,1,2,3,4 el sábado. Los valores de la probabilida son : 0.1,0.2,0.3,0.3,0.1, previamente definidos.

Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.

¿De qué tipo de distribución se trata? ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal? ¿Cuál es la varianza de la distribución? (Lind et al., 2015).

Tabla de probabilidad

discretas <- 0:4   

# casos <- c(4950,50)
# n <- sum(casos)

# probabilidades <- casos / n
casos <- rep('?', 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")
Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x
0 ? 0.1 0.1 0.0
1 ? 0.2 0.3 0.2
2 ? 0.3 0.6 0.6
3 ? 0.3 0.9 0.9
4 ? 0.1 1.0 0.4

Valor esperado Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: μ=∑xP(x)

VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)

VE
## [1] 2.1

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

Varianza Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x VE x-VE.cuad.f.prob.x
0 ? 0.1 0.1 0.0 2.1 0.441
1 ? 0.2 0.3 0.2 2.1 0.242
2 ? 0.3 0.6 0.6 2.1 0.003
3 ? 0.3 0.9 0.9 2.1 0.243
4 ? 0.1 1.0 0.4 2.1 0.361

α2=∑(x−μ)2P(x)

varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza
## [1] 1.29

Desviación estándard de una distribución discreta La raiz cuadrada de la varianza α=α2−−√

desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std
## [1] 1.135782

La tabla con las sumatorias

#tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
#tabla.sumatorias[nrow(tabla), c(1,4,6)] <- '****'

#kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

2.3. Caso Hombre y Mujeres. Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género. Sea x igual al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. (???) * Haciendo las combinacones * M = Mujer * H = Hombre

personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral 
##       [,1] [,2]
##  [1,] "H1" "H2"
##  [2,] "H1" "H3"
##  [3,] "H1" "M1"
##  [4,] "H1" "M2"
##  [5,] "H2" "H3"
##  [6,] "H2" "M1"
##  [7,] "H2" "M2"
##  [8,] "H3" "M1"
##  [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"

Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y sus desviación estándard. Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.

Ejercicio 1

El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.

Ejercicio 2

Se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos”.

El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.

El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja 50 sábados en un año, puede esperar vender (50)(2.1) o 105 automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado (Lind et al., 2015)

El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de 1.135782.

¿Cómo se interpreta la variación? El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas