Caso 18. Distribuciones de Poisson

Objetivo

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

Descripción

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especifi cado en una unidad determinada de tiempo o espacio (Mendenhall et al., 2006).

Proceso

    1. Cargar librerías
    1. Ejercicios
    • Ejercicio 1: Probabilidades, Varianza, Desviación
    • Ejercicio 2: Probabilidades, Varianza, Desviación
    1. Interpretación

1. Cargar las librerías

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")
  • Cargar funciones

2. Ejercicios

Se decriben ejercicios en donde se encuentra la función de distribución

2.1 Ejercicio

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(Anderson et al., 2008)

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
a) Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos,x=5,y se obtiene:
  • Uilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(10, 5),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)
## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
  • Utilizando la funcón dpois()
prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = 10),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)
## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
b) Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
datos <- data.frame(x=1:20, f.prob.x = round(dpois(x = 1:20, lambda = 10),4))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   1   0.0005   0.0005
## 2   2   0.0023   0.0028
## 3   3   0.0076   0.0104
## 4   4   0.0189   0.0293
## 5   5   0.0378   0.0671
## 6   6   0.0631   0.1302
## 7   7   0.0901   0.2203
## 8   8   0.1126   0.3329
## 9   9   0.1251   0.4580
## 10 10   0.1251   0.5831
## 11 11   0.1137   0.6968
## 12 12   0.0948   0.7916
## 13 13   0.0729   0.8645
## 14 14   0.0521   0.9166
## 15 15   0.0347   0.9513
## 16 16   0.0217   0.9730
## 17 17   0.0128   0.9858
## 18 18   0.0071   0.9929
## 19 19   0.0037   0.9966
## 20 20   0.0019   0.9985
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

c) ¿Cual es la probabilidad de que sea x menor o igual a diez?

P(x≤10)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=10)

datos$f.acum[10]
## [1] 0.5831
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", datos$f.acum[10])
## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.5831"
e) Media diferente

En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:
10=15

? = 3

Entonces, la probabilidad de $x4 llegadas en un lapso de 3 minutos con μ=2 está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

f(x)=e−22xx!
Entonces ….
prob <- round(dpois(x = 1, lambda = 2),4)
paste("La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del: 27.07 %"
f) El valor de la esperanza media
La esperanza es igual a: 10
g) La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623

2.2 Ejercicio

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí (Walpole et al., 2012).

n <- 400
prob <- 0.005
media <- n * prob
La media es 2
La variable aleatoria son los dias desde x=1…hasta x=n
a) La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2
datos <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
  • P(x=1)
  • Recorddar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
x <- 1
prob <- datos$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?
  • El indice en la taba comienza en cero
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

2.3 Ejercicio

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5 (Walpole et al., 2012).

a) La tabla de distribuci´n cuando media igual a 5
media <- 5
datos <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
datos
##     x   f.prob.x   f.acum.x
## 1   0 0.00673795 0.00673795
## 2   1 0.03368973 0.04042768
## 3   2 0.08422434 0.12465202
## 4   3 0.14037390 0.26502592
## 5   4 0.17546737 0.44049329
## 6   5 0.17546737 0.61596066
## 7   6 0.14622281 0.76218347
## 8   7 0.10444486 0.86662833
## 9   8 0.06527804 0.93190637
## 10  9 0.03626558 0.96817195
## 11 10 0.01813279 0.98630474
## 12 11 0.00824218 0.99454692
## 13 12 0.00343424 0.99798116
## 14 13 0.00132086 0.99930202
## 15 14 0.00047174 0.99977376
## 16 15 0.00015725 0.99993101
## 17 16 0.00004914 0.99998015
## 18 17 0.00001445 0.99999460
## 19 18 0.00000401 0.99999861
## 20 19 0.00000106 0.99999967
## 21 20 0.00000026 0.99999993
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
  • P(X≤3)
  • P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"
c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
  • 1−P(X≤1)
  • 1−(P(X=0)+P(x=1))
x <- 1
prob <- 1 - datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

Interpretacion del caso

En este caso se vio el tema distribuciones de poisson las cuales son las de las mas importantes distribuciones de la variable discreta, la cual se aplica a las ocurrebcias de algún suceso durante un intervalo determinado. Dado que nuestra variable aleatoria x representara el numero de ocurrencias de un suceso en dicho intervalo el cual en este caso se utilizo una unidad derivada del tiempo, volumen, area etc. De tal forma que se generaron ciertos datos los cuales en los ejercicos se queiso dar la probabilidad de un accidente y tambien sobre la catastrofe que puede causar un automovil por sus fallas de las forma que se dieron los resultados segun la pregunta planteada. Como seria en el inciso a el cal nos dio como resultado 0.378 de que llegue 5 automoviles en 15 minutos, y tambien para el ejercicio 3 en el inciso b el cual dio como resultado 26.5026 el cual es la probabilidad de que tres automoviles causen una catastrofe en el mismo año.