Problema

Encontrar estimativas dos pontos de máximo e mínimo globais da função f:[-1,2]-> \(R\), f(x)=e^|x| usando a técnica de simulação de Monte Carlo (simulação por força bruta).

Solução proposta (por simulação de Monte Carlo)

A estratégia de Monte Carlo para a obtenção dos pontos de máximo e mínimo de uma função envolve a simulação de muitos valores \(xi\) no intervalo [-1,2], \(i\)-1,2,…,\(n\), retirados aleatóriamente do intervalo estabelecido, e a verificação de f(\(xi\)) para cada valor.

Sendo \(x*\) o ponto de mínimo, temos a função f(\(x\)) no R por f_min, temos:

f_min<-function (x){
  return(exp(abs(x)))
}

Implementando o processo para n=10000

options(digits=15)
set.seed(100)
x<-runif(10000,-1,2)
x<-f_min(-1:2)
y<-f_min(x)
min<-x[which.min(y)]


cat("Valor mínimo =",min,"\n")
## Valor mínimo = 1

Sendo \(x**\) o ponto de máximo, temos a função f(\(x\)) no R por f_max, temos:

f_max<-function (x){
  return(exp(abs(x)))
}

Implementando o processo para n=10000

options(digits=15)
set.seed(100)
x<-runif(10000,-1,2)
x<-f_max(-1:2)
y<-f_max(x)
max<-x[which.max(y)]


cat("Valor máximo =",max,"\n")
## Valor máximo = 7.38905609893065

Conclusão

Representando graficamente a função f(x)=e (mod(x)).

É possível identificar pelo gráfico os pontos de máximo e mínimo da funçao encontrados pelo método de Monte Carlo.

Referências

Prof. Adriano Azevedo Filho, Ph.D: Slides de aula.Topologia Euclidiana em Rn, Continuidade e Resultados Fundamentais Noções básicas e notação. Prof. Adriano Azevedo Filho, Ph.D: Publicação no RPubs: Ligação de 4 cidades de comprimento mínimo: análise de uma família de soluções.Disponível em: http://rpubs.com/adriano/quatrocidades.

Ajuda e Agradecimentos

Ana Goffredo, mestranda em Economia Aplicada -ESALQ/USP