Para visualizar y comprender los modelos GARCH (note que esto incluye los modelos ARCH) vamos a simular una serie de tiempo a partir de un modelo GARCH(1,1) con parametros α0=0.1, α1=0.5 y β1=0.3.

La grafica de la serie resultante se encuentra en el siguiente slide.

Como era de esperar se evidencia una media constante, pero se presenta volatildad. Esto es, una varianza que es mayor en algunos lapsos de tiempo y menor en otros lapsos.

Para visualizar la volatilidad es necesario analizar la correlacion de los datos al cuadrado.

Se evidencia correlacion.

La funcion garch() de R da una aproximacion de los parametros del modelo GARCH(1,1) por defecto que se ajustan mejor a la serie que se le pasa como parametro.

Ajuste de la serie simulada:

##        2.5 %    97.5 %
## a0 0.0881771 0.1082223
## a1 0.4324471 0.5099929
## b1 0.3002190 0.3732767

Como era de esperar, los parametros ajustados son aproximadamente los originales.

Recordar que si los correlogramas de los residuos de los modelos GARCH ajustados sugieren que los residuos son ruidos blancos entonces se ha tenido un buen ajuste.

Correlograma de los residuos

Correlograma de los residuos al cuadrado

Ahora vamos a ajustar un modelo GARCH a la serie SP500, la cual es una serie de tiempo de un indice financiero en los estados unidos para la decada de los años 90’s que esta disponible en la libreria MASS de R.

Note que la serie tiene media constante pero presenta volatilidad. Es decir, periodos de mayor varianza. Entonces procedemos a analizar su correlograma.

Para visualizar la correlacion de los datos es necesario visualizar el correlograma de los datos de la serie al cuadrado

Se evidencia correlacion entre los datos.

Ajuste de la serie SP500:

##          2.5 %      97.5 %
## a0 0.002172243 0.006412594
## a1 0.041273729 0.058834759
## b1 0.937363634 0.956181870

Note que los parametros α0 y α1 no son significativamente mayores que 0. Por lo tanto, se concluye que el modelo GARCH ajustado tiene parametros α0=α1=0 y β1=0.9.

Correlograma de los residuos

Correlograma de los residuos al cuadrado