1.-Resuelva lo siguiente \(\\\\\)

  1. Suponga que la funci'on de riesgo de asociada a un tiempo de supervivencia es una funci'on \\(h(t) = a + b/(t + 1)\) donde \(a > 0\) y \(b > 0\). Obtenga: \(S(t)\), \(F(t)\) y \(f(t)\). Grafique las funciones para alg'un valor de a y b. \(\\\)

Respuesta

Sabemos que se tiene la siguiente relación: \[S(t) = exp\left\{\int_0^th(t)dt\right\}\] Por lo que nos interesa calcular dicha integral. Por cálculo directo, obtenemos que: \[\begin{align*} \int_0^th(t)dt &= \int_0^t(a+\frac{b}{t+1})dt = \left.au\right|_{0}^t + \int_0^t\frac{b}{t+1}dt = at + \left.blog(u+1)\right|_{0}^t = at + blog(t+1) \end{align*}\] De esta forma, pudimos concluir que \[S(t) = exp\left\{at + blog(t+1)\right\}\] También se tiene que \(f(t) = h(t)S(t)\), y que \(F(t) = 1-S(t)\). Haciendo uso de estas relaciones, graficamos usando \(a=1,b=3\): \(\\\\\)

  1. Suponga que una funci'on de supervivencia est'a definida por \(S(t) = 0.05(400 − t)^{1/2}\) para \(0 \leq t \leq 400\). Obtenga su funci'on de densidad \(f(t)\) y su funci'on de riesgo \(h(t)\). \(\\\)

Respuesta \(\\\)

Lo primero que debemos notar es que se trata de un caso continuo por lo que podemos usar la igualdad de \(\\\) \(f(t) = - \frac{dS(t)}{dt} = - \frac{d}{dt}( 0.05(400 − t)^{1/2}) = 0.025(400-x)^{- 1/2}\\\)

Por otro lado tenemos que

\(h(t) = -\frac{dlogS(t)}{dt} = - \frac{d}{dt}log(0.05(400 − t)^{1/2}) = 0.5(400-x)^{-1}\\\) \(f(t) = 0.025(400-x)^{- 1/2} y h(t) = 0.5(400-x)^{-1}\\\\\)

2.- Resume las siguientes distribuciones: Exponencial, Weibull, Log-Normal, Gamma, Gompertz, Log-Logística, Geométrica.

Resumen

[ \[\begin{array}{ccccc} T \sim & Parámetros & f(t) & S(t) & h(t) \\ Exp(\lambda)&\lambda>0&\lambda exp\{-\lambda t\}&exp\{-\lambda t\}&\lambda\\ Log-norm(\mu,\sigma^2) & \mu \in R, \sigma^2>0, t \geq 0 & \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}t} exp\{-\frac{(log(t)-\mu)^2}{2\sigma^2}\} & 1-\Phi\Big(\frac{log(t)-\mu}{\sigma}\Big) & \frac{\Big(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}t} exp\{-\frac{(log(t)-\mu)^2}{2\sigma^2}\} \Big)}{1-\Phi\big(\frac{log(t)-\mu}{\sigma}\big)}\\ Gamma(k, \lambda)& k,\lambda, t>0 & \frac{\lambda^kt^{k-1}e^{-\lambda t}}{\Gamma(k)} & 1-GI(k,\lambda t) & \frac{\Big(\frac{\lambda^kt^{k-1}e^{-\lambda t}}{\Gamma(k)}\Big)}{1-GI(k,\lambda t)}\\ Weibull(\alpha, \lambda)& \alpha,\lambda, t>0 & \lambda \alpha(\lambda t)^{\alpha-1}e^{-(\lambda t)^\alpha} & e^{-(\lambda t)^\alpha} & \alpha \lambda(\lambda t)^{\alpha-1}\\ Gompertz(\lambda ,\varphi)&\lambda ,\varphi,t>0 & \lambda\varphi^te^{\frac{\lambda}{log(\varphi)}(1-\varphi^t)} & e^{\frac{\lambda}{log(\varphi)}(1-\varphi^t)} & \lambda \varphi^t \\ LLogis(\lambda, \alpha)& \lambda, \alpha,t>0 &\frac{\frac{\alpha}{\lambda}(\frac{t}{\lambda})^{\alpha-1}}{(1+(\frac{t}{\lambda})^{\alpha})^2} & [1+(\frac{t}{\lambda})^\alpha]^{-1} & \frac{\frac{\alpha}{\lambda}(\frac{t}{\lambda})^{\alpha-1}}{1+(\frac{t}{\lambda})^{\alpha}}\\ Geom(p) & 0\leq p\leq1,t=0,1... & p(1-p)^t & (1-p)^{t+1}& \frac{p}{1-p} \end{array}\]

]

En el resumen, \(T\) es una variable aleatoria no negativa que representa el tiempo \(t\) de falla de los individuos en el estudio, en otras palabras, indica el tiempo de supervivencia entre el inicio del estudio y el momento de la falla.

Además:

\(f(t)\): Función de densidad.

\(S(t)\): Función de supervivencia.

\(h(t)\): Función de riesgo.

\(H(t)\): Función de riesgo acumulada.

Se toma en cuenta: \[H(t)=\int_0^t{h(u)}du = - log(S_t)\] \[h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}\] \[S(t) = P[T\geq t]=1-F(t)\]

\(\Phi\): Función de distribución de una Normal(0,1)

\(GI(k, x)\): Función gamma incompleta, definida como: \[GI(k,x)=\frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^x u^{k-1}e^{-u}du\] donde \[\Gamma (k)=\int_0^{\infty}e^{-n}n^{k-1}dn\]

Características Numéricas

[ \[\begin{array}{cccc} T \sim \ Parámetros & E(T) & V(T) & Mediana \\ Exp(\lambda)&\frac{1}{\lambda}&\frac{1}{\lambda^2}&\frac{ln2}{\lambda}\\ Log-norm(\mu,\sigma^2) & e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} & e^{2\mu+2\sigma^2} - e^{2\mu+\sigma^2} & t=e^\mu\\ Gamma(k, \lambda) & \frac{k}{\lambda} & \frac{k}{\lambda^2}\\ Weibull(\alpha, \lambda) & \frac{1}{\lambda}\Gamma(1+\frac{1}{\alpha}) & \frac{1}{\lambda^2}[\Gamma(1+\frac{2}{\alpha})-\Gamma^2(1+\frac{1}{\alpha})] & \lambda(ln(2))^{\frac{1}{\alpha}}\\ LLogis(\lambda, \alpha)& \frac{\lambda b}{sin(b)}, \alpha>1, b=\frac{\pi}{\alpha} & \alpha^2(\frac{2b}{sin(2b)-\frac{b^2}{sin^2(b)}}), \alpha>2 & \lambda \\ Geom(p) & \frac{1}{p} & \frac{1-p}{p^2} & \end{array}\]

]

Donde:

\(E(T)\): Media

\(V(T)\): Varianza

(a) ¿Qué distribuciones describen una tasa de riesgo constante?

La función de riesgo de una distribución Gamma es constante cuando \(k=1\), pues es el caso de una función exponencial.

La función de riesgo de una distribución Weibull es constante cuando \(\alpha=1\), pues,al igual que en una función Gamma, es el caso de una función exponencial.

La función de riesgo de una distribución Geométrica es constante para toda \(0\leq p \leq 1\). De acuerdo a la definición de h(t), la función no depende del tiempo, por tanto permanece constante.

(b) ¿Qué distribuciones describen una tasa de riesgo creciente? Identifica sus diferencias.

La función de riesgo de una función Gamma es creciente cuando \(k>1\), pues los valores de t crecen hasta que se hacen constantes \(( \lambda)\).

La función de riesgo de una función Weibull es creciente cuando \(\alpha>1\), pues los valores de t crecen hasta que se hacen constantes.

La función de riesgo de la distribución Gompertz es creciente cuando \(\varphi>1\), de hecho, \(\lim_{t \to \infty }h(t))=\infty\). Aún más, entre más grande sea \(\varphi\) más rápido diverge \(h(t).\)

La función de riesgo de la distribución log-logística es creciente cuando \(\alpha>1\) hasta alcanzar su máximo, después comienza a decrecer similar a la log-normal, la diferencia es que las colas son más pesadas, además este modelo considera censuras.

(c) ¿Qué distribuciones describen una tasa de riesgo decreciente? Identifica sus diferencias.

La función de riesgo de una función Gamma es decreciente cuando \(k<1\) pero decrecen hasta que se hacen constantes \(( \lambda)\).

La función de riesgo de una función Log-Normal es creciente sólo en los primeros instantes registrados pero es decreciente en el resto de ellos, es decir, el riesgo para t pequeños inician en cero pero crecen hasta que alcanzan un máximo (aproximadamente a partir de la mediana), sin embargo, después, para t grandes, decrecen y se aproximan a cero.

La función de riesgo de una función Weibull es decreciente cuando \(\alpha<1\) pero decrecen hasta que se hacen constantes.

La función de riesgo de la distribución Gompertz es decreciente cuando \(\varphi<1\), de hecho, \(\lim_{t \to \infty }h(t))=0\). Los riesgos que modela inician en \(\lambda\), es decir \(h(0)=\lambda\), y conforme transcurre el tiempo desaparecen.

La función de riesgo de la distribución log-logística es decreciente cuando \(\alpha<1\). Cuando \(\lambda <1\) tarda más en desaparecer el riesgo.

(d) Con R grafique las funciones S(t) y h(t) dando valores fijos para los parámetros de las funciones.

A continuación se muestran las funciones \(S(t)\) (Supervivencia) y \(h(t)\) (Riesgo), dando valores fijos a los parámetros. Del mismo modo se muestran ejemplos sobre las respuestas de las preguntas anteriores.

Distribución Exponencial

En lo que sigue, fijemos \(\lambda = 5\). Sabemos que \(S(t)=e^{-\lambda t}\), por lo que:

f <-function(t) rexp(t,5)
curve(f,lwd=2,col="orange",main="Función de supervivencia",ylab="S(t)",xlab="t")

También, se sabe que \(h(t) = \lambda\) para cualquier t, por lo que

f <-function(t) rexp(t,5)
curve(f,lwd=2,col="orange",main="Función de riesgo",ylab="S(t)",xlab="t")

Distribución Log-Normal

Distribución Gamma

Distribución Weibull

Distribución Gompertz

## function (x, y, ...) 
## UseMethod("plot")
## <bytecode: 0x73ebeb8>
## <environment: namespace:base>

*También se suele encontrar como \(\phi = e^r\) donde r es la tasa de mortalidad dependiente a la edad en estudios demográficos y biológicos.

Distribución Log-logística

Distribución Geométrica