Objetivo

Identificar en una distribución normal, los valores de la curva o los valores de la función de densidad, graficar el área bajo la curva y calcular probabildiades.

Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad normal a partir de valores iniciales de los ejercicios identificando y visualizando la función de densidad y calculando probabilidades.

Fundamento teórico

Pendiente

Fórmula de la función de densidad Para distribución n normal estándard com media igual a 0 y desviación = 1 Para distribución normal ## Ejercicios Las librerías

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(mosaic)
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.0.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(readr)
## Warning: package 'readr' was built under R version 4.0.3
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos

Ejercicios

Ejercicio 1. Caso de mediciones del cuerpo humano (Peso y Estatura)

Cargar los datos

datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")

datos <- as.data.frame(datos)

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")

# Solo nos interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)

Ver los primeros seis y últimos seis registros

head(datos)
##   estatura peso genero
## 1    174.0 65.6      1
## 2    175.3 71.8      1
## 3    193.5 80.7      1
## 4    186.5 72.6      1
## 5    187.2 78.8      1
## 6    181.5 74.8      1
tail(datos)
##     estatura peso genero
## 502    157.5 76.8      0
## 503    176.5 71.8      0
## 504    164.4 55.5      0
## 505    160.7 48.6      0
## 506    174.0 66.4      0
## 507    163.8 67.3      0

Visualiar la dispersión de los datos Diagrama de dispersión del peso

ggplot(datos, aes(x = 1:nrow(datos), y = peso)) +
  geom_point(colour = "red")

Diagrama de dispersión de la estatura

ggplot(datos, aes(x = 1:nrow(datos), y = estatura)) +
  geom_point(colour = "blue")

Histrogramas Histograma del peso

ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = peso))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Histograma de la estatura

ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = estatura))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Identificar medias y desviaciones necesarias Estadísticos de la variable peso

datos$genero <- as.factor(datos$genero)

masculinos <- filter(datos, genero == 1)

femeninos <- filter(datos, genero == 0)

media.peso.m <- mean(masculinos$peso)
desv.std.peso.m <- sd(masculinos$peso)


media.peso.f <- mean(femeninos$peso)
desv.std.peso.f <- sd(femeninos$peso)

Estadísticos de la variable estatura

media.estatura.m <- mean(masculinos$estatura)
desv.std.estatura.m <- sd(masculinos$estatura)


media.estatura.f <- mean(femeninos$estatura)
desv.std.estatura.f <- sd(femeninos$estatura)

Calcular probabilidades a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor o igual de 60 kilogramos? Graficar la función en donde x<60

Grafíca de desidad

plotDist("norm", mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m, groups = x <= 60, type = "h", xlab = "Peso Hombres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 60, mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de: 4.218 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor o igual de 50 kilogramos? Graficar la función en donde x<60 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f, groups = x <= 60, type = "h", xlab = "Peso Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 60, mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 50 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 50 kilogramos es de: 47.5107 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros? Graficar la función en donde x>=180 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 37.6814 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros? Graficar la función en donde x>=190 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 4.4012 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros? Graficar la función en donde 160≤x≤170 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 13.3723 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros? Graficar la función en donde 190≤x≤195 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 190 & x <= 195, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 3.5858 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros? Graficar la función en donde x>=180 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 1.0403 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros? Graficar la función en donde x>=190 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 0.0062 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros? Graficar la función en donde 160≤x≤170 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 55.5039 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros? Graficar la función en donde 190≤x≤195 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190 & x <= 195, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 0.006 %"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros? Graficar la función en donde 190≤x≤195 Grafíca de desidad
plotDist("norm", mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura), groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres y Mujeres", ylab = "Densidad" )

Calcular la probabilidad

prob <- pnorm(q = 170, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura)) - pnorm(q = 160, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura))
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 33.3526 %"

Ejercicio 2.

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas (focos) de luz que tienen una duración, antes de quemarse (fundirse), que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas. Walpole et al. (2012)].

Inicializar valores μ=800 σ=40

Se busca:

778≤x≤834

media <- 800
desv.stadandar <- 40

La gráfica de la distribución normal

plotDist("norm", mean = media, sd = desv.stadandar, groups = x >= 778 & x <= 834, type = "h", xlab = "Distribución de la duración bombillas (focos)", ylab = "Densidad" )

Cálculo de la probabilidad La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas.

prob <- pnorm(q = 834, mean = media, sd = desv.stadandar) - pnorm(q = 778, mean = media, sd = desv.stadandar)
paste("La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas es:", round(prob * 100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas es: 51.1178 %"

Ejercicio 3.

Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles.

¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?(matemovil, n.d.)

Inicializar valores μ=1200 σ=200

Se busca: 1000≤x≤1550

media <- 1200
desv.stadandar <- 200

La gráfica de la distribución normal

plotDist("norm", mean = media, sd = desv.stadandar, groups = x >= 1000 & x <= 1550, type = "h", xlab = "Ganancias de trabajadores en soles", ylab = "Densidad" )

Cálculo de la probabilidad ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?

prob <- pnorm(q = 1550, mean = media, sd = desv.stadandar) - pnorm(q = 1000, mean = media, sd = desv.stadandar)
paste("La probabilidad de que una persoan gane entre 1000 y 1550 soles es de:", round(prob * 100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persoan gane entre 1000 y 1550 soles es de: 80.1286 %"

Interpretacion Caso 20

Ejercicio 1

como podemos darnos cuenta en este primer ejercicio trata de las mediciones del cuerpo humano que seria peso y estatura, en este ejercicio como podemos notar trabaja con los primeras 6 personas y con las ultimas 6, de lo cual de estos, el que tuvo mayor estatura y peso fue el numero 3 con 193.5 de estatura y 80.7 kilos de peso y de los ultimos 6 del registro del cual el total de registro fue 507personas que se conforma tanto como de hombres como de mujeres , de los ultimos 6 el que tuvo mayor estatura y peso fue el numero 503 el cual tiene una estatura de 176.5 y un peso de 71.8 tambien de la misma manera nos indica que ahi una mayoria de personas que tienen un peso entre 65 a 85 kilos de la misma manera se realizo una grafica de dispersion con las estaturas de todo el conjunto total de personas, en la cual nos dice que ahi una mayor cantidad de personas que estan entre las estaturas de1.70 a 1.95 metros, asi mismo se dieron a conocer las probabilidades obtenidas, la probabilidad de encontrar a una persona masculina que sea menor de 60 kilos es de 4.218 %, la probabilidad de encontarr una persona femenina que pese menos de 50 kilos es de 47.5107 %, la probabilidad de encontrar una persona de estatura mayor o igual a 1,80 es de 37.68 %, la probabilidad de que alla personas masculinas con estatura de 1,90 es de 4.4012 %, La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 13.3723 %, La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 3.5858 %, La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 1.0403 %, La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 0.0062 %, La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 55.5039 %, La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 0.006 %, La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 33.3526 %.

Ejercicio 2

en este ejercicio dice que una empresa de material electrico fabrica bombillas, con lo realizado del ejercicio se dio a conocer que ,dado que la probabilidad de el área bajo la curva de una distribución normal es del 100% y solicitan la probabilidad en el intérvalo entre 778 y 834, entonces se resta la probabilidad de 834 menos la probabilidad de 778 para encontrar el área bajo la curva de este intervalo de esa variable aleatoria. En la gráfica el color rosa es el área bajo la curva del intérvalo, la probabilidad de que un foco se funda en un rango entre 778 horas y 834 horas es de 51.1178 %

Ejercicio 3

en este ejercicio se tranaja con los sueldos mensuales de una empresa, como resultado de esto se dio a conocer lo siguiente que , La probabilidad de que una persona gane entre 1000 y 1550 soles es de:“, 80.1286,”%" que es el porcentaje de trabajadores que ganan en ese intérvalo.

Referencias Bibliograficas

matemovil. (n.d.). Probabilidad condicional, ejercicios resueltos. https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.