Exercícios

  1. Primeiro vamos aplicar o método em uma função que sabemos fazer as contas na mão, usando apenas áreas de figuras geométricas. Seja \(f(x) = |x-3| - 2\).

    1. Na mão, sem usar o computador, faça um esboço do gráfico de \(f\) e hachure a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo [0,5].
    2. Ainda na mão, calcule o valor da área hachurada. Lembre-se de considerar sinal positivo para área acima do eixo e sinal negativo para área abaixo dele. Esse é o valor que queremos aproximar.
    3. Implemente uma função que recebe como entrada o valor \(n\) e retorna uma aproximação para a área hachurada dada pela a soma das áreas dos \(n\) retângulos. Escolha como quiser a definição da altura dos retângulos: valor da função no ponto à esquerda; valor da função no ponto à direita, maior valor da função; menor valor da função. OBS: Nessa questão ainda não é para fazer o algoritmo visto em sala de aula, que retorna a aproximação dada pela média ente a soma das áreas dos retângulos acima e abaixo da curva de \(f\).
    4. Usando a função implementadas no item acima, encontre uma aproximação para a área hachurada com: (i) 50 retângulos; (ii) 100 retângulos; (iii) 150 retângulos. Compare os resultados das 3 aproximações obtidas com o valor exato para a área encontrado no item b.

  2. Implemente uma função denominada IntegralDominioReal que recebe como entrada uma função \(f\) com domínio real, valores \(a\) e \(b\) e o valor erro \(\varepsilon\). Essa função retorna uma aproximação para a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([a,b]\), com erro menor que \(\varepsilon\). A sua implementação será testada nas questões a seguir. Veja que como a função tem domínio real, não é preciso se preocupar em verificar se os pontos estão no domínio de \(f\).

  3. Agora vamos aplicar a implementação feita no Exercício 2 para encontrar aproximações de áreas de duas funções de domínio real.

    1. Seja \(f(x) = x^2-x-1\). Encontre uma aproximação para a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([-1,1]\), com erro menor que \(0,005\). Depois de encontrada a aproximação compare o resultado obtido com o valor exato, que é \(-4/3\).
    2. Seja \(g(x) = xe^{x^2}\). Encontre uma aproximação para a área entre a curva de \(g\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([0,2]\), com erro menor que \(0,01\). Depois de encontrada a aproximação compare o resultado obtido com o valor exato, que é \((e^4 - 1)/2\). OBS: esse item pode levar tempo para rodar, no meu computador ele demorou mais de 1 minuto para terminar o método. Tenha paciência.

  4. Modifique a função implementada no Exercício 2 de forma que ela passe a retornar uma lista com dois objetos. O primeiro objeto da lista é a aproximação para a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([a,b]\), com erro menor que \(\varepsilon\). O segundo objeto da lista é o número de retângulos usados para conseguir essa aproximação, isto é, o valor final de \(n\).

  5. Usando a função implementada no Exercício 4, encontre o número de retângulos usados para encontrar as aproximações dos dois itens do Exercício 3.

  6. Implemente o algoritmo visto em sala de aula que recebe como entrada uma função \(f\) com domínio \(\mathbb{R}^+\), valores \(a\) e \(b\) e o valor erro \(\varepsilon\). Essa função retorna uma aproximação para a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([a,b]\), com erro menor que \(\varepsilon\). A sua implementação será testada nas questões a seguir. Veja que como a função não tem domínio real, é preciso se preocupar em verificar se os pontos estão no domínio de \(f\).

  7. Agora vamos aplicar a implementação feita no Exercício 6 para encontrar aproximações de áreas de duas funções de domínio \(\mathbb{R}^+\).

    1. Seja \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Encontre uma aproximação para a área entre a curva de \(f\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([1,2]\), com erro menor que \(0,0001\). Depois de encontrada a aproximação compare o resultado obtido com o valor dado pela a função integrate do R, que é \(2,301763\).
    2. Seja \(g(x) = \dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{x}\). Encontre uma aproximação para a área entre a curva de \(g\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \(\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]\), com erro menor que \(0,0001\). Depois de encontrada a aproximação compare o resultado obtido com o valor dado pela integração exata, que é \(0,5568449\).

  8. Seja \(h(x) = \ln(x-1)\).

    1. Qual o domínio da função \(h\)?
    2. Implemente uma função que recebe como entrada uma função os valores de \(a\) e \(b\), e o valor erro \(\varepsilon\) e retorna uma aproximação para a área entre a curva de \(h\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([a,b]\), com erro menor que \(\varepsilon\). .
    3. Encontre uma aproximação para a área entre a curva de \(h\) e o eixo horizontal, limitada no intervalo \([3,5]\), com erro menor que \(0,0001\). Depois de encontrada a aproximação compare o resultado obtido com o valor dado pela integração exata, que é \(2,158883\).