Exercícios

Para os exercícios a seguir considere \(f'(x_0) =\) coeficiente angular da reta tangente à \(f\) no ponto \(x_0\).

  1. Vamos agora implementar o método visto em sala de aula. Para isso considere a função \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\).
    1. Qual o domínio da função \(f\)?
    2. Implemente uma função que recebe como entrada \(x_0 \in Dom(f)\) e o valor de \(\delta\) e retorna uma aproximação para \(f'(x_0)\) a partir do segundo método visto em sala de aula.
    3. Vamos implementar agora o algoritmo de forma recursiva. Para facilitar considere \(h\) um argumento de entrada da sua função. Dessa forma, implemente uma função recursiva que recebe como entrada \(x_0 \in Dom(f)\), o valor do \(\delta\) e \(h\), e retorna uma aproximação para \(f'(x_0)\) a partir do segundo método visto em sala de aula.
    4. Vamos verificar se as funções estão retornando o valor correto.
      1. A partir das duas funções implementadas, encontre aproximações para \(f'(0)\), \(f'(-\frac{1}{5})\) e \(f'(\frac{1}{3})\) e verifique se as respostas estão parecidas. Se tiverem diferentes parece que algo está estranho.
      2. Escolha uma função implementada e um dos valores de \(x_0\), \(0\), \(-\frac{1}{5}\) ou \(\frac{1}{3}\), ou até todos, e plot na mesma janela o gráfico de \(f\) e a reta cujo coeficiente angular seja \(f'(x_0)\) e passe pelo ponto \((x_0,f(x_0))\). Você consegue encontrar a equação dessa reta, só existe uma com essas características. Verifique se a reta de fato parece ser a reta tangente à \(f\) no ponto \(x_0\).
  2. Considere agora a função \(f(x) = ln(x^2+x-2)\).
    1. Qual o domínio da função \(f\)?
    2. Implemente uma função que recebe como entrada \(x_0 \in Dom(f)\) e o valor de \(\delta\), e retorna uma aproximação para \(f'(x_0)\) a partir do segundo método visto em sala de aula.
    3. Vamos implementar agora o algoritmo de forma recursiva. Para facilitar considere novamente \(h\) um argumento de entrada da sua função. Dessa forma, implemente uma função recursiva que recebe como entrada \(x_0 \in Dom(f)\), o valor de \(\delta\) e \(h\), e retorna uma aproximação para \(f'(x_0)\) a partir do segundo método visto em sala de aula.
    4. Vamos verificar se as funções estão retornando o valor correto.
      1. A partir das duas funções implementadas, encontre aproximações para \(f'(3)\), \(f'(-\frac{5}{2})\) e \(f'(\frac{4}{3})\) e verifique se as respostas estão parecidas. Se tiverem diferentes parece que algo está estranho.
      2. Escolha uma função implementada e um dos valores de \(x_0\), \(0\), \(-\frac{1}{5}\) ou \(\frac{1}{3}\), ou até todos, e plot na mesma janela o gráfico de \(f\) e a reta cujo coeficiente angular seja \(f'(x_0)\) e passe pelo ponto \((x_0,f(x_0))\). Você consegue encontrar a equação dessa reta, só existe uma com essas características. Verifique se a reta de fato parece ser a reta tangente à \(f\) no ponto \(x_0\).
  3. Considere agora \(f(x) = e^{-x/3}\left( 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \right) - 1\).
    1. Qual o domínio da função \(f\)?
    2. Primeiro implemente uma função que recebe como entrada \(x\) e retorna uma aproximação para \(f(x)\). Vamos chamar essa função de f .
    3. Implemente agora uma função que recebe como entrada \(x\) e retorna uma aproximação para \(f'(x)\) considerando \(\delta=10^{-3}\). Vamos chamar esse função de df.
    4. Nosso objetivo agora é usar o método da bisseção para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais de \(f\). Veja que esses pontos são os pontos \(x_0\) tais que \(f'(x_0)=0\). Para isso siga os itens a seguir.
      1. Digite plot(f,xlim=c(-3,5)) e plot(df,xlim=c(-3,5));abline(h=0) e, comparando os dois gráficos, veja onde estão os pontos \(x_0\) tais que \(f'(x_0)=0\). Para encontrais aproximações para tais pontos vamos buscar as raízes da função df.
      2. Use o método da bisseção para encontrar uma aproximação para o mínimo local de \(f\). A partir dos gráficos escolha valores para \(a\) e \(b\) de forma a garantir que o método converge para o mínimo local. Faça a sua função de forma que ela chame df já implementada.
      3. Use o método da bisseção para encontrar uma aproximação para o máximo local de \(f\). A partir dos gráficos escolha valores para \(a\) e \(b\) de forma a garantir que o método converge para o máximo local. Faça a sua função de forma que ela chame df já implementada.
      4. Vamos testar se deu certo. Guarde no objeto xmin a aproximação para o ponto de mínimo local e no objeto xmax a aproximação para o ponto de máximo local de \(f\). Agora digite a seguinte sequência de comandos e discuta o gráfico gerado.
plot(df,xlim=c(-3,5))
abline(h=0)
segments(x0=xmin,y0=2,x1=xmin,y1=-2,lty=2)
points(xmin,0,pch=19,cex=1.2)
segments(x0=xmax,y0=1,x1=xmax,y1=-1,lty=2)
points(xmax,0,pch=19,cex=1.2)